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6. 某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型号新能源汽车、2辆紧凑型号新能源汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型号新能源汽车比3辆中级型号新能源汽车的进价少40万元。
(1)分别求中级型号新能源汽车和紧凑型号新能源汽车的进货单价。
(2)该经销商准备购进中级型号新能源汽车和紧凑型号新能源汽车共100辆，已知中级型号新能源汽车的售价为27万元/辆，紧凑型号新能源汽车的售价为20万元/辆。根据销售经验，购进中级型号新能源汽车的数量不低于25辆。设购进a辆中级型号新能源汽车，100辆新能源汽车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型号新能源汽车和紧凑型号新能源汽车各多少辆，才能使获利最大？获利最大为多少万元？
(1)分别求中级型号新能源汽车和紧凑型号新能源汽车的进货单价。
(2)该经销商准备购进中级型号新能源汽车和紧凑型号新能源汽车共100辆，已知中级型号新能源汽车的售价为27万元/辆，紧凑型号新能源汽车的售价为20万元/辆。根据销售经验，购进中级型号新能源汽车的数量不低于25辆。设购进a辆中级型号新能源汽车，100辆新能源汽车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型号新能源汽车和紧凑型号新能源汽车各多少辆，才能使获利最大？获利最大为多少万元？
答案
6. 解:(1)设中级型号新能源汽车的进货单价为 x 万元/辆,紧凑型号新能源汽车的进货单价为 y 万元/辆,
由题意得 $\begin{cases}3x+2y=104,\\3x-2y=40,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=24,\\y=16,\end{cases}$
所以中级型号新能源汽车的进货单价为 24 万元/辆,紧凑型号新能源汽车的进货单价为 16 万元/辆。
(2)由题意可得,25≤a≤100,W=a(27-24)+(100-a)(20-16)=-a+400,因为-1＜0,
所以 W 随 a 的增大而减小,所以当 a=25 时,W 有最大值,为 375,
所以该经销商应购进中级型号新能源汽车 25 辆,紧凑型号新能源汽车 75 辆,此时获利最大,获利最大为 375 万元。
由题意得 $\begin{cases}3x+2y=104,\\3x-2y=40,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x=24,\\y=16,\end{cases}$
所以中级型号新能源汽车的进货单价为 24 万元/辆,紧凑型号新能源汽车的进货单价为 16 万元/辆。
(2)由题意可得,25≤a≤100,W=a(27-24)+(100-a)(20-16)=-a+400,因为-1＜0,
所以 W 随 a 的增大而减小,所以当 a=25 时,W 有最大值,为 375,
所以该经销商应购进中级型号新能源汽车 25 辆,紧凑型号新能源汽车 75 辆,此时获利最大,获利最大为 375 万元。
解析
【分析】
(1) 本题要求两种型号汽车的进货单价，题干给出了两个关于进价的等量关系，因此可采用二元一次方程组求解：首先设中级、紧凑型号汽车的进货单价分别为x万元/辆、y万元/辆，将“3辆中级+2辆紧凑进价共104万元”“3辆中级比2辆紧凑进价多40万元”转化为两个二元一次方程，联立成方程组求解即可得到两种车型的进货单价。
(2) 本题要求最大获利，属于一次函数最值问题：首先根据“总利润=单辆利润×销售数量”，分别计算两种车型的单辆利润，进而写出总获利W关于中级车购进数量a的函数关系式；再根据“中级型号购进数量不低于25辆”确定a的取值范围；最后根据一次函数的增减性判断W取最大值时a的取值，代入计算即可得到最大获利和对应的购进方案。
【解析】
(1) 设中级型号新能源汽车的进货单价为x万元/辆，紧凑型号新能源汽车的进货单价为y万元/辆，
由题意得：$\begin{cases}3x+2y=104\\3x-2y=40\end{cases}$
将两个方程相加得$6x=144$，解得$x=24$，
把$x=24$代入$3x-2y=40$，得$72-2y=40$，解得$y=16$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=24\\y=16\end{cases}$
(2) 由题意可知，中级型号购进数量不低于25辆，因此$25≤ a≤100$。
单辆中级车的利润为$27-24=3$万元，单辆紧凑车的利润为$20-16=4$万元，
因此总获利$W=3a+4(100-a)=-a+400$。
因为一次函数$W=-a+400$中，$k=-1＜0$，所以W随a的增大而减小，
因此当a取最小值25时，W取得最大值，最大值为$-25+400=375$，
此时紧凑型号汽车的购进数量为$100-25=75$辆。
【答案】
(1) 中级型号新能源汽车的进货单价为24万元/辆，紧凑型号新能源汽车的进货单价为16万元/辆；
(2) 购进中级型号新能源汽车25辆，紧凑型号新能源汽车75辆时获利最大，最大获利为375万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的增减性
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，将方程与函数知识结合考查，既需要学生从题干中准确提取等量关系求解基础量，也需要学生结合一次函数的增减性解决最值问题，是高频考查题型。
【难度系数】
0.7
(1) 本题要求两种型号汽车的进货单价，题干给出了两个关于进价的等量关系，因此可采用二元一次方程组求解：首先设中级、紧凑型号汽车的进货单价分别为x万元/辆、y万元/辆，将“3辆中级+2辆紧凑进价共104万元”“3辆中级比2辆紧凑进价多40万元”转化为两个二元一次方程，联立成方程组求解即可得到两种车型的进货单价。
(2) 本题要求最大获利，属于一次函数最值问题：首先根据“总利润=单辆利润×销售数量”，分别计算两种车型的单辆利润，进而写出总获利W关于中级车购进数量a的函数关系式；再根据“中级型号购进数量不低于25辆”确定a的取值范围；最后根据一次函数的增减性判断W取最大值时a的取值，代入计算即可得到最大获利和对应的购进方案。
【解析】
(1) 设中级型号新能源汽车的进货单价为x万元/辆，紧凑型号新能源汽车的进货单价为y万元/辆，
由题意得：$\begin{cases}3x+2y=104\\3x-2y=40\end{cases}$
将两个方程相加得$6x=144$，解得$x=24$，
把$x=24$代入$3x-2y=40$，得$72-2y=40$，解得$y=16$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x=24\\y=16\end{cases}$
(2) 由题意可知，中级型号购进数量不低于25辆，因此$25≤ a≤100$。
单辆中级车的利润为$27-24=3$万元，单辆紧凑车的利润为$20-16=4$万元，
因此总获利$W=3a+4(100-a)=-a+400$。
因为一次函数$W=-a+400$中，$k=-1＜0$，所以W随a的增大而减小，
因此当a取最小值25时，W取得最大值，最大值为$-25+400=375$，
此时紧凑型号汽车的购进数量为$100-25=75$辆。
【答案】
(1) 中级型号新能源汽车的进货单价为24万元/辆，紧凑型号新能源汽车的进货单价为16万元/辆；
(2) 购进中级型号新能源汽车25辆，紧凑型号新能源汽车75辆时获利最大，最大获利为375万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；一次函数的应用；一次函数的增减性
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，将方程与函数知识结合考查，既需要学生从题干中准确提取等量关系求解基础量，也需要学生结合一次函数的增减性解决最值问题，是高频考查题型。
【难度系数】
0.7
7. 甲、乙两辆汽车同时从相距330 km的A,B两地沿同一条公路相向而行(甲由B到A,乙由A到B),s(km)表示汽车离A地的距离,t(min)表示汽车行驶的时间,如图5-4-11,$l_1$,$l_2$分别表示甲、乙两辆汽车的s与t之间的关系。
(1)求甲、乙两辆汽车的s与t之间的关系式;
(2)2 h后,两车相距多少千米?
(3)点P的实际意义是什么?此时甲车行驶的路程是多少千米?
(1)求甲、乙两辆汽车的s与t之间的关系式;
(2)2 h后,两车相距多少千米?
(3)点P的实际意义是什么?此时甲车行驶的路程是多少千米?
答案
7. 解:(1)设 $l_1:s_1=kt+b$,把(0,330),(60,240)代入得
$\begin{cases}b=330,\\60k+b=240,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}k=-1.5,\\b=330,\end{cases}$ 所以 $s_1=-1.5t+330$。
设 $l_2:s_2=k't$,把(60,60)代入得 60k'=60,所以 k'=1。所以 $s_2=t$。
(2)当 t=120 时,$s_1=150,s_2=120$,所以 150-120=30(km),所以 2 h 后,两车相距 30 km。
(3)由题图可得,点 P 的实际意义是甲、乙两车相遇。当 $s_1=s_2$ 时,-1.5t+330=t,所以 t=132。所以此时甲车离 A 地的路程是 132 km。所以甲车行驶的路程为 330-132=198(km)。
$\begin{cases}b=330,\\60k+b=240,\end{cases}$ 所以 $\begin{cases}k=-1.5,\\b=330,\end{cases}$ 所以 $s_1=-1.5t+330$。
设 $l_2:s_2=k't$,把(60,60)代入得 60k'=60,所以 k'=1。所以 $s_2=t$。
(2)当 t=120 时,$s_1=150,s_2=120$,所以 150-120=30(km),所以 2 h 后,两车相距 30 km。
(3)由题图可得,点 P 的实际意义是甲、乙两车相遇。当 $s_1=s_2$ 时,-1.5t+330=t,所以 t=132。所以此时甲车离 A 地的路程是 132 km。所以甲车行驶的路程为 330-132=198(km)。
解析
【分析】
(1) 要求甲、乙两车s与t的关系式，观察图像可知$l_1$、$l_2$均为一次函数，使用待定系数法求解：先分别找到两条直线经过的已知点坐标，代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到解析式。
(2) 先将2小时换算为120分钟（与t的单位统一），再将t=120分别代入两个解析式，求出此时两车距离A地的距离，二者的差值即为两车的距离。
(3) 两个函数图像的交点P表示同一时刻两车距离A地的距离相等，也就是两车相遇；先联立两个解析式求出相遇的时间t，再用总路程减去此时甲车距离A地的距离，即可得到甲车行驶的路程。
【解析】
(1) 设甲车的s与t的关系式为$s_1=kt+b$，
由图可知$l_1$过点$(0,330)$和$(60,240)$，代入得：
$\begin{cases}b=330\\60k+b=240\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1.5\\b=330\end{cases}$，故甲车的关系式为$s_1=-1.5t+330$。
设乙车的s与t的关系式为$s_2=k't$，
由图可知$l_2$过点$(60,60)$，代入得$60k'=60$，解得$k'=1$，故乙车的关系式为$s_2=t$。
(2) $2\mathrm{h}=120\mathrm{min}$，将$t=120$分别代入两个解析式：
$s_1=-1.5×120+330=150$，$s_2=120$，
两车相距$150-120=30(\mathrm{km})$。
(3) 点P是$l_1$和$l_2$的交点，实际意义是甲、乙两车在行驶途中相遇。
相遇时$s_1=s_2$，即$-1.5t+330=t$，解得$t=132$，
此时甲车距离A地132km，故甲车行驶的路程为$330-132=198(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) 甲车：$\boldsymbol{s_1=-1.5t+330}$，乙车：$\boldsymbol{s_2=t}$；
(2) 30 km；
(3) 点P的实际意义是甲、乙两车相遇，此时甲车行驶了198 km。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数交点的意义
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂函数图像横纵坐标、特殊点的实际含义，掌握待定系数法求函数解析式的方法，计算时注意单位的统一，理清路程与距离起点距离的关系。
【难度系数】
0.7
(1) 要求甲、乙两车s与t的关系式，观察图像可知$l_1$、$l_2$均为一次函数，使用待定系数法求解：先分别找到两条直线经过的已知点坐标，代入一次函数一般式，解方程组求出系数即可得到解析式。
(2) 先将2小时换算为120分钟（与t的单位统一），再将t=120分别代入两个解析式，求出此时两车距离A地的距离，二者的差值即为两车的距离。
(3) 两个函数图像的交点P表示同一时刻两车距离A地的距离相等，也就是两车相遇；先联立两个解析式求出相遇的时间t，再用总路程减去此时甲车距离A地的距离，即可得到甲车行驶的路程。
【解析】
(1) 设甲车的s与t的关系式为$s_1=kt+b$，
由图可知$l_1$过点$(0,330)$和$(60,240)$，代入得：
$\begin{cases}b=330\\60k+b=240\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1.5\\b=330\end{cases}$，故甲车的关系式为$s_1=-1.5t+330$。
设乙车的s与t的关系式为$s_2=k't$，
由图可知$l_2$过点$(60,60)$，代入得$60k'=60$，解得$k'=1$，故乙车的关系式为$s_2=t$。
(2) $2\mathrm{h}=120\mathrm{min}$，将$t=120$分别代入两个解析式：
$s_1=-1.5×120+330=150$，$s_2=120$，
两车相距$150-120=30(\mathrm{km})$。
(3) 点P是$l_1$和$l_2$的交点，实际意义是甲、乙两车在行驶途中相遇。
相遇时$s_1=s_2$，即$-1.5t+330=t$，解得$t=132$，
此时甲车距离A地132km，故甲车行驶的路程为$330-132=198(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) 甲车：$\boldsymbol{s_1=-1.5t+330}$，乙车：$\boldsymbol{s_2=t}$；
(2) 30 km；
(3) 点P的实际意义是甲、乙两车相遇，此时甲车行驶了198 km。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；一次函数交点的意义
【点评】
本题结合行程问题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂函数图像横纵坐标、特殊点的实际含义，掌握待定系数法求函数解析式的方法，计算时注意单位的统一，理清路程与距离起点距离的关系。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
8. 小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市后16天全部销售完。小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第$ x $天（$ x $取整数）时，日销售量$ y $（单位：kg）与$ x $之间的函数关系式为$ y=\begin{cases}12x&(0≤ x≤10),\\-20x+320&(10＜ x≤16)。\end{cases} $ 草莓价格$ m $（单位：元/kg）与$ x $之间的关系如图5-4-12所示。
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；
(2)求当$ 4≤ x≤12 $时，草莓价格$ m $与$ x $之间的关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多。
8. 小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市后16天全部销售完。小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第$ x $天（$ x $取整数）时，日销售量$ y $（单位：kg）与$ x $之间的函数关系式为$ y=\begin{cases}12x&(0≤ x≤10),\\-20x+320&(10＜ x≤16)。\end{cases} $ 草莓价格$ m $（单位：元/kg）与$ x $之间的关系如图5-4-12所示。
(1)求第14天小颖家草莓的日销售量；
(2)求当$ 4≤ x≤12 $时，草莓价格$ m $与$ x $之间的关系式；
(3)试比较第8天与第10天的销售金额哪天多。
答案
8. 解:(1)因为当 10≤x≤16 时,y=-20x+320,所以当 x=14 时,y=-20×14+320=40,所以第 14 天小颖家草莓的日销售量是 40 kg。
(2)当 4≤x≤12 时,设草莓价格 m 与 x 之间的关系式为 m=kx+b,因为点(4,24),(12,16)在 m=kx+b 的图象上,所以 $\begin{cases}4k+b=24,\\12k+b=16,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=28,\end{cases}$ 所以 m 与 x 之间的关系式为 m=-x+28。
(3)当 0≤x≤10 时,y=12x,所以当 x=8 时,y=12×8=96,当 x=10 时,y=12×10=120;当 4≤x≤12 时,m=-x+28,所以当 x=8 时,m=-8+28=20,当 x=10 时,m=-10+28=18,所以第 8 天的销售金额为 96×20=1920(元),第 10 天的销售金额为 120×18=2160(元)。因为 2160＞1920,所以第 10 天的销售金额多。
(2)当 4≤x≤12 时,设草莓价格 m 与 x 之间的关系式为 m=kx+b,因为点(4,24),(12,16)在 m=kx+b 的图象上,所以 $\begin{cases}4k+b=24,\\12k+b=16,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-1,\\b=28,\end{cases}$ 所以 m 与 x 之间的关系式为 m=-x+28。
(3)当 0≤x≤10 时,y=12x,所以当 x=8 时,y=12×8=96,当 x=10 时,y=12×10=120;当 4≤x≤12 时,m=-x+28,所以当 x=8 时,m=-8+28=20,当 x=10 时,m=-10+28=18,所以第 8 天的销售金额为 96×20=1920(元),第 10 天的销售金额为 120×18=2160(元)。因为 2160＞1920,所以第 10 天的销售金额多。
解析
【分析】
(1) 求第14天的日销售量，先判断x=14所属的日销售量分段区间：10＜14≤16，对应解析式为y=-20x+320，代入x=14计算即可。
(2) 当4≤x≤12时，由图像可知m是关于x的一次函数，采用待定系数法，选取图像上的已知点(4,24)和(12,16)代入一次函数一般式m=kx+b，解方程组得到k、b的值即可得到函数关系式。
(3) 销售金额=日销售量×草莓价格，先根据第8天、第10天的x值所属区间，分别找到对应的y和m的解析式，代入计算出两天的y、m值，相乘得到销售金额后比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由日销售量的分段函数可知，当10＜x≤16时，$y=-20x+320$，
将$x=14$代入得：$y=-20×14+320=40$。
(2) 当$4≤x≤12$时，设草莓价格$m$与$x$的函数关系式为$m=kx+b(k≠0)$，
由图像可知直线过点$(4,24)$和$(12,16)$，代入得：
$\begin{cases}4k+b=24\\12k+b=16\end{cases}$
两式相减得$8k=-8$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$4k+b=24$，解得$b=28$，
故$m$与$x$的关系式为$m=-x+28$。
(3) 分别计算两天的销售金额：
① 第8天：$x=8$属于$0≤x≤10$，代入$y=12x$得$y=12×8=96\ \mathrm{kg}$；
$x=8$属于$4≤x≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-8+28=20\ \mathrm{元/kg}$；
第8天销售金额：$96×20=1920$元。
② 第10天：$x=10$属于$0≤x≤10$，代入$y=12x$得$y=12×10=120\ \mathrm{kg}$；
$x=10$属于$4≤x≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-10+28=18\ \mathrm{元/kg}$；
第10天销售金额：$120×18=2160$元。
因为$2160＞1920$，所以第10天销售金额更多。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40\ \mathrm{kg}}$；
(2) $\boldsymbol{m=-x+28\ (4≤x≤12)}$；
(3) $\boldsymbol{第10天的销售金额多}$。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，分段函数应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数相关知识，解题核心是根据自变量的取值范围匹配对应的函数解析式代入计算，能锻炼学生利用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求第14天的日销售量，先判断x=14所属的日销售量分段区间：10＜14≤16，对应解析式为y=-20x+320，代入x=14计算即可。
(2) 当4≤x≤12时，由图像可知m是关于x的一次函数，采用待定系数法，选取图像上的已知点(4,24)和(12,16)代入一次函数一般式m=kx+b，解方程组得到k、b的值即可得到函数关系式。
(3) 销售金额=日销售量×草莓价格，先根据第8天、第10天的x值所属区间，分别找到对应的y和m的解析式，代入计算出两天的y、m值，相乘得到销售金额后比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 由日销售量的分段函数可知，当10＜x≤16时，$y=-20x+320$，
将$x=14$代入得：$y=-20×14+320=40$。
(2) 当$4≤x≤12$时，设草莓价格$m$与$x$的函数关系式为$m=kx+b(k≠0)$，
由图像可知直线过点$(4,24)$和$(12,16)$，代入得：
$\begin{cases}4k+b=24\\12k+b=16\end{cases}$
两式相减得$8k=-8$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$4k+b=24$，解得$b=28$，
故$m$与$x$的关系式为$m=-x+28$。
(3) 分别计算两天的销售金额：
① 第8天：$x=8$属于$0≤x≤10$，代入$y=12x$得$y=12×8=96\ \mathrm{kg}$；
$x=8$属于$4≤x≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-8+28=20\ \mathrm{元/kg}$；
第8天销售金额：$96×20=1920$元。
② 第10天：$x=10$属于$0≤x≤10$，代入$y=12x$得$y=12×10=120\ \mathrm{kg}$；
$x=10$属于$4≤x≤12$，代入$m=-x+28$得$m=-10+28=18\ \mathrm{元/kg}$；
第10天销售金额：$120×18=2160$元。
因为$2160＞1920$，所以第10天销售金额更多。
【答案】
(1) $\boldsymbol{40\ \mathrm{kg}}$；
(2) $\boldsymbol{m=-x+28\ (4≤x≤12)}$；
(3) $\boldsymbol{第10天的销售金额多}$。
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，分段函数应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查一次函数相关知识，解题核心是根据自变量的取值范围匹配对应的函数解析式代入计算，能锻炼学生利用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
