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(7)过直线$ l $外一点$ P $作直线$ l $的垂线$ PQ $. 下列尺规作图中，不正确的是（
D
）答案
1. (7) D
解析
【分析】
要判断哪个尺规作图不正确，首先回忆过直线外一点作已知直线垂线的原理：作出的直线PQ需要是直线l上某条线段的垂直平分线，这样PQ就与l垂直。解题时逐个分析选项的作图过程，结合垂直平分线的性质判断PQ是否与l垂直即可。
【解析】
过直线l外一点P作l的垂线的核心原理是：构造直线l上的两点，使P、Q到这两点的距离都相等，那么PQ就是这两点连线的垂直平分线，自然垂直于l。
选项A：以P为圆心画弧交l于两点，再以这两点为圆心作弧交于l下方的Q点，P、Q到l上两交点距离相等，PQ是l上两交点连线的垂直平分线，故PQ⊥l，作图正确。
选项B：分别以l上两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径作弧，上下交于P、Q，PQ是l上两交点连线的垂直平分线，故PQ⊥l，作图正确。
选项C：以P为圆心画弧交l于两点，再作弧交于Q点，所得PQ满足垂直于l的要求，作图正确。
选项D：l上选取的两个点都在过P的l的垂线的右侧，按此方法作出的PQ是右侧这两个点连线的垂直平分线，不与l垂直，作图错误。
【答案】
D
【知识点】
尺规作垂线；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查基本尺规作图的判断，解题的关键是理解过直线外一点作已知直线垂线的作图原理，熟悉基本作图的步骤，不要混淆作图时弧的圆心和半径要求。
【难度系数】
0.7
要判断哪个尺规作图不正确，首先回忆过直线外一点作已知直线垂线的原理：作出的直线PQ需要是直线l上某条线段的垂直平分线，这样PQ就与l垂直。解题时逐个分析选项的作图过程，结合垂直平分线的性质判断PQ是否与l垂直即可。
【解析】
过直线l外一点P作l的垂线的核心原理是：构造直线l上的两点，使P、Q到这两点的距离都相等，那么PQ就是这两点连线的垂直平分线，自然垂直于l。
选项A：以P为圆心画弧交l于两点，再以这两点为圆心作弧交于l下方的Q点，P、Q到l上两交点距离相等，PQ是l上两交点连线的垂直平分线，故PQ⊥l，作图正确。
选项B：分别以l上两个交点为圆心，大于两交点距离一半的长度为半径作弧，上下交于P、Q，PQ是l上两交点连线的垂直平分线，故PQ⊥l，作图正确。
选项C：以P为圆心画弧交l于两点，再作弧交于Q点，所得PQ满足垂直于l的要求，作图正确。
选项D：l上选取的两个点都在过P的l的垂线的右侧，按此方法作出的PQ是右侧这两个点连线的垂直平分线，不与l垂直，作图错误。
【答案】
D
【知识点】
尺规作垂线；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查基本尺规作图的判断，解题的关键是理解过直线外一点作已知直线垂线的作图原理，熟悉基本作图的步骤，不要混淆作图时弧的圆心和半径要求。
【难度系数】
0.7
(8)将一个正方形纸片依次按图a，b中的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪成图d所示的样式. 将纸展开铺平后得到的图形是 (
第1(8)题
A
B
C
D
D
)第1(8)题
A
B
C
D
答案
1. (8) D
解析
【分析】
遇到这类折纸裁剪问题，核心思路是利用轴对称的性质求解，也可通过实际操作验证。首先要明确：每次对折的折痕都是对称轴，裁剪后的图案在展开时，每展开一次，就需要将已有的裁剪图案沿折痕作轴对称复制，最终得到的完整展开图会关于所有折痕对称。本题中正方形共对折2次，存在2条互相垂直的对称轴，因此裁剪的图案展开后会形成4组关于这两条对称轴对称的相同图案，结合裁剪的位置逐一比对选项即可得到答案。
【解析】
1. 明确对折规律：两次对折后，原正方形被分成4个完全重合的小正方形区域，两条折痕为互相垂直的对称轴。
2. 分析裁剪特征：图d中裁剪的图案位于折叠后小正方形远离两条折痕的侧边位置，根据轴对称性质，展开后该裁剪图案会在另外3个与它对称的区域各复制1个，最终共有4个相同的裁剪图案，且关于两条折痕对称。
3. 比对选项：
选项A、B的图案数量不符合4个对称图案的特征，直接排除；
选项C的图案位置不符合裁剪位置的对称规律，排除；
选项D的图案完全符合两次对折后裁剪展开的轴对称特征，正确。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，图形折叠与展开
【点评】
本题既可以通过轴对称性质推理得到答案，也可以通过动手操作折叠裁剪快速验证，主要考查空间想象能力和对轴对称变换的应用能力。
【难度系数】
0.7
遇到这类折纸裁剪问题，核心思路是利用轴对称的性质求解，也可通过实际操作验证。首先要明确：每次对折的折痕都是对称轴，裁剪后的图案在展开时，每展开一次，就需要将已有的裁剪图案沿折痕作轴对称复制，最终得到的完整展开图会关于所有折痕对称。本题中正方形共对折2次，存在2条互相垂直的对称轴，因此裁剪的图案展开后会形成4组关于这两条对称轴对称的相同图案，结合裁剪的位置逐一比对选项即可得到答案。
【解析】
1. 明确对折规律：两次对折后，原正方形被分成4个完全重合的小正方形区域，两条折痕为互相垂直的对称轴。
2. 分析裁剪特征：图d中裁剪的图案位于折叠后小正方形远离两条折痕的侧边位置，根据轴对称性质，展开后该裁剪图案会在另外3个与它对称的区域各复制1个，最终共有4个相同的裁剪图案，且关于两条折痕对称。
3. 比对选项：
选项A、B的图案数量不符合4个对称图案的特征，直接排除；
选项C的图案位置不符合裁剪位置的对称规律，排除；
选项D的图案完全符合两次对折后裁剪展开的轴对称特征，正确。
【答案】
D
【知识点】
轴对称的性质，图形折叠与展开
【点评】
本题既可以通过轴对称性质推理得到答案，也可以通过动手操作折叠裁剪快速验证，主要考查空间想象能力和对轴对称变换的应用能力。
【难度系数】
0.7
(9)如图，在四边形ABCD中，$∠ BAD=120°$，$∠ B=∠ D=90°$. 在BC，CD上分别找点M，N，使$△ AMN$的周长最小，则$∠ AMN+∠ ANM$的度数为 （
第1(9)题
A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$
B
）第1(9)题
A.$130°$
B.$120°$
C.$110°$
D.$100°$
答案
1. (9) B
解析
【分析】
要使△AMN的周长最小，需利用“两点之间线段最短”的原理，通过作点A关于BC、CD的对称点，将AM、AN分别转化为对称点到M、N的线段，此时连接两个对称点与BC、CD的交点即为所求的M、N；再结合轴对称的性质得到角的等量关系，利用三角形内角和定理推导∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
1. 作点A关于BC的对称点$A_1$，关于CD的对称点$A_2$，连接$A_1A_2$，分别交BC、CD于点M、N，此时△AMN的周长最小，周长最小值等于$A_1A_2$的长度。
2. 根据轴对称的性质可得：$∠BAM=∠BA_1M$，$∠DAN=∠DA_2N$，结合三角形外角的性质（外角等于不相邻两个内角和），可推得$∠AMN=2∠BAM$，$∠ANM=2∠DAN$。
3. 设$∠BAM=x$，$∠DAN=y$，$∠MAN=z$，由$∠BAD=120°$可得：
$x + y + z = 120°$ ①
4. 在△AMN中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠AMN + ∠ANM + z = 180°$，即$2x + 2y + z = 180°$ ②
5. 把①变形为$x + y = 120° - z$，代入②得：$2(120° - z) + z = 180°$，解得$z=60°$。
6. 因此$∠AMN + ∠ANM = 180° - z = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是最短路径与角度计算结合的典型题型，解题关键是掌握作对称点找最短周长的方法，再利用轴对称的性质实现角度的转化，结合三角形内角和求解，对几何转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
要使△AMN的周长最小，需利用“两点之间线段最短”的原理，通过作点A关于BC、CD的对称点，将AM、AN分别转化为对称点到M、N的线段，此时连接两个对称点与BC、CD的交点即为所求的M、N；再结合轴对称的性质得到角的等量关系，利用三角形内角和定理推导∠AMN+∠ANM的度数。
【解析】
1. 作点A关于BC的对称点$A_1$，关于CD的对称点$A_2$，连接$A_1A_2$，分别交BC、CD于点M、N，此时△AMN的周长最小，周长最小值等于$A_1A_2$的长度。
2. 根据轴对称的性质可得：$∠BAM=∠BA_1M$，$∠DAN=∠DA_2N$，结合三角形外角的性质（外角等于不相邻两个内角和），可推得$∠AMN=2∠BAM$，$∠ANM=2∠DAN$。
3. 设$∠BAM=x$，$∠DAN=y$，$∠MAN=z$，由$∠BAD=120°$可得：
$x + y + z = 120°$ ①
4. 在△AMN中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠AMN + ∠ANM + z = 180°$，即$2x + 2y + z = 180°$ ②
5. 把①变形为$x + y = 120° - z$，代入②得：$2(120° - z) + z = 180°$，解得$z=60°$。
6. 因此$∠AMN + ∠ANM = 180° - z = 180° - 60° = 120°$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是最短路径与角度计算结合的典型题型，解题关键是掌握作对称点找最短周长的方法，再利用轴对称的性质实现角度的转化，结合三角形内角和求解，对几何转化思想有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1)如图，O是△ABC内部一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC交BC于点D，连接OA。若OD=5，AB=20，则△AOB的面积为
50
。答案
2. (1) 50
解析
【分析】
要求△AOB的面积，已知底AB的长，只需得到AB边上的高即可。已知BO是∠ABC的角平分线，且OD⊥BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点O到AB的距离等于OD的长度，再代入三角形面积公式就能求出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB，垂足为E。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE = OD = 5（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OE = \frac{1}{2} × 20 × 5 = 50$
【答案】
50
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是利用角平分线的性质求出三角形未知的高，再结合面积公式完成计算，需要熟练掌握角平分线的性质并能灵活运用于求线段长度的场景中。
【难度系数】
0.8
要求△AOB的面积，已知底AB的长，只需得到AB边上的高即可。已知BO是∠ABC的角平分线，且OD⊥BC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点O到AB的距离等于OD的长度，再代入三角形面积公式就能求出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB，垂足为E。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE = OD = 5（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × AB × OE = \frac{1}{2} × 20 × 5 = 50$
【答案】
50
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是基础应用题，解题核心是利用角平分线的性质求出三角形未知的高，再结合面积公式完成计算，需要熟练掌握角平分线的性质并能灵活运用于求线段长度的场景中。
【难度系数】
0.8
(2)如图，直线$l_1$，$l_2$交于点O，点P关于$l_1$，$l_2$的对称点分别为点$P_1$，$P_2$.若$OP=8$，$P_1P_2=14$，则$△ P_1OP_2$的周长为
第2(2)题
30
.第2(2)题
答案
2. (2) 30
解析
【分析】
解题时先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个端点的距离相等。首先由点P关于$l_1$的对称点为$P_1$，可得$OP_1=OP$；再由点P关于$l_2$的对称点为$P_2$，可得$OP_2=OP$，由此得到$OP_1$、$OP_2$的长度，最后将$△ P_1OP_2$的三边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵ 点P与点$P_1$关于直线$l_1$对称，直线$l_1$垂直平分线段$PP_1$，点O在$l_1$上，
∴ $OP_1 = OP = 8$，
同理，点P与点$P_2$关于直线$l_2$对称，直线$l_2$垂直平分线段$PP_2$，点O在$l_2$上，
∴ $OP_2 = OP = 8$，
已知$P_1P_2=14$，
∴ $△ P_1OP_2$的周长 = $OP_1 + OP_2 + P_1P_2 = 8 + 8 + 14 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
轴对称的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用轴对称的性质得到相等的线段，不需要复杂的推理计算，只要熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，这条直线是两点连线的垂直平分线，垂直平分线上的点到两个端点的距离相等。首先由点P关于$l_1$的对称点为$P_1$，可得$OP_1=OP$；再由点P关于$l_2$的对称点为$P_2$，可得$OP_2=OP$，由此得到$OP_1$、$OP_2$的长度，最后将$△ P_1OP_2$的三边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵ 点P与点$P_1$关于直线$l_1$对称，直线$l_1$垂直平分线段$PP_1$，点O在$l_1$上，
∴ $OP_1 = OP = 8$，
同理，点P与点$P_2$关于直线$l_2$对称，直线$l_2$垂直平分线段$PP_2$，点O在$l_2$上，
∴ $OP_2 = OP = 8$，
已知$P_1P_2=14$，
∴ $△ P_1OP_2$的周长 = $OP_1 + OP_2 + P_1P_2 = 8 + 8 + 14 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
轴对称的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用轴对称的性质得到相等的线段，不需要复杂的推理计算，只要熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
