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(1)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
A
）答案
1. (1) A
(2)在直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，D为AB上一点. 将$△ ABC$沿CD折叠，点A恰好落在BC上的点E处. 若$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，则$△ BDE$的周长为 
A.6
B.7
C.8
D.9
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
1. (2) A
解析
【分析】
本题是折叠类几何周长计算问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质，得到折叠前后两组对应边相等：AC=CE、AD=DE；接下来写出△BDE的周长表达式：BD+DE+BE，将DE替换为AD，BE替换为BC-CE（CE与AC相等），即可把周长转化为已知边长AB、BC、AC的组合，直接代入数值计算即可。
【解析】
由折叠的性质可得△ACD≌△ECD，
∴ $CE=AC=3$，$DE=AD$，
∴ $BE=BC-CE=4-3=1$，
△BDE的周长为：
$C_{△ BDE}=BD+DE+BE$，
把$DE=AD$代入上式可得：
$C_{△ BDE}=BD+AD+BE=AB+BE$，
已知$AB=5$，$BE=1$，
∴ $C_{△ BDE}=5+1=6$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题考查折叠性质的基础应用，核心是利用折叠前后对应边相等的特点，将未知的三角形边长转化为已知的三角形边长，体现了几何计算中的转化思想，掌握折叠的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是折叠类几何周长计算问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质，得到折叠前后两组对应边相等：AC=CE、AD=DE；接下来写出△BDE的周长表达式：BD+DE+BE，将DE替换为AD，BE替换为BC-CE（CE与AC相等），即可把周长转化为已知边长AB、BC、AC的组合，直接代入数值计算即可。
【解析】
由折叠的性质可得△ACD≌△ECD，
∴ $CE=AC=3$，$DE=AD$，
∴ $BE=BC-CE=4-3=1$，
△BDE的周长为：
$C_{△ BDE}=BD+DE+BE$，
把$DE=AD$代入上式可得：
$C_{△ BDE}=BD+AD+BE=AB+BE$，
已知$AB=5$，$BE=1$，
∴ $C_{△ BDE}=5+1=6$。
【答案】
A
【知识点】
折叠的性质，全等三角形的性质，三角形周长计算
【点评】
本题考查折叠性质的基础应用，核心是利用折叠前后对应边相等的特点，将未知的三角形边长转化为已知的三角形边长，体现了几何计算中的转化思想，掌握折叠的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(3)在联欢会上，有三名同学在玩抢凳子游戏. 要求三人分别站在$△ ABC$的三个顶点处，$△ ABC$内部放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜. 为使游戏公平，凳子应放在（
A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三条角平分线的交点处
C.$△ ABC$三边上高线的交点处
D.$△ ABC$三边垂直平分线的交点处
D
）A.$△ ABC$三条中线的交点处
B.$△ ABC$三条角平分线的交点处
C.$△ ABC$三边上高线的交点处
D.$△ ABC$三边垂直平分线的交点处
答案
1. (3) D
解析
【分析】
要使抢凳子游戏公平，需保证凳子到三名同学所在的A、B、C三个顶点的距离相等，因此我们需要先回忆三角形中各类特殊交点的性质，逐一比对选项，找到满足“到三角形三个顶点距离相等”的交点即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到△ABC三个顶点A、B、C的距离相等，我们逐项分析：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是将每条中线分为长度比为2:1的两段，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三角形三边上高线的交点是垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D. 三角形三边垂直平分线的交点是外心，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC的三个顶点A、B、C的距离都相等，满足游戏公平的要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 三角形外心性质
3. 游戏公平判定
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查三角形特殊点的性质，解题的关键是将游戏公平的实际要求转化为“到三角形三个顶点距离相等”的数学条件，同时要准确区分三角形重心、内心、垂心、外心的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
要使抢凳子游戏公平，需保证凳子到三名同学所在的A、B、C三个顶点的距离相等，因此我们需要先回忆三角形中各类特殊交点的性质，逐一比对选项，找到满足“到三角形三个顶点距离相等”的交点即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到△ABC三个顶点A、B、C的距离相等，我们逐项分析：
A. 三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是将每条中线分为长度比为2:1的两段，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，不是到三个顶点距离相等，不符合要求；
C. 三角形三边上高线的交点是垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合要求；
D. 三角形三边垂直平分线的交点是外心，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC的三个顶点A、B、C的距离都相等，满足游戏公平的要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 三角形外心性质
3. 游戏公平判定
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查三角形特殊点的性质，解题的关键是将游戏公平的实际要求转化为“到三角形三个顶点距离相等”的数学条件，同时要准确区分三角形重心、内心、垂心、外心的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.7
(4)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，对角线BD平分∠ABC。若BC=5，AD=3，则△BCD的面积为（
A.6
B.7.5
C.12
D.15
B
）A.6
B.7.5
C.12
D.15
答案
1. (4) B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：BD是∠ABC的角平分线，∠A=90°即AD是点D到AB的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点D到BC的距离等于AD的长度，该长度就是△BCD中BC边上的高，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵ BD平分∠ABC，∠A=90°（DA⊥AB），DE⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE = AD = 3。
已知BC = 5，根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质得到△BCD的高，将分散的已知条件整合到所求三角形中，是角平分线性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：BD是∠ABC的角平分线，∠A=90°即AD是点D到AB的距离，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出点D到BC的距离等于AD的长度，该长度就是△BCD中BC边上的高，再代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵ BD平分∠ABC，∠A=90°（DA⊥AB），DE⊥BC，
∴ 根据角平分线的性质可得：DE = AD = 3。
已知BC = 5，根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC × DE = \frac{1}{2} × 5 × 3 = 7.5$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是灵活运用角平分线的性质得到△BCD的高，将分散的已知条件整合到所求三角形中，是角平分线性质的典型基础应用。
【难度系数】
0.7
(5)如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，以点A为圆心、任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M和点N为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧相交于点G，作射线AG交BC于点D。已知$BD=5$，$CD=3$，P为AB上一动点，则PD的最小值为（
A.2
B.3
C.5
D.8
B
）A.2
B.3
C.5
D.8
答案
1. (5) B
解析
【分析】
解题可分三步思考：①先识别尺规作图的类型，题中的作图步骤是作角平分线的标准步骤，因此可得AD是∠BAC的角平分线；②要求AB上动点P到D的最小距离，根据垂线段最短的性质，可知当PD垂直AB时，PD的长度最小；③结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知DC垂直AC，因此D到AB的垂线段长度等于CD的长，即可求出PD的最小值。
【解析】
解：①由尺规作图的步骤可知，射线AG是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
②根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得：当DP⊥AB时，PD的长度取最小值。
③已知∠C=90°，即DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，点D在角平分线AD上，DC⊥AC，若DP⊥AB，根据角平分线的性质，得DP=CD，
又
∵CD=3，
∴PD的最小值为3。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图、垂线段最短、角平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图识别、几何最值、角平分线性质相结合，解题的核心是先判断出AD为角平分线，再准确找到PD取最小值的位置，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
解题可分三步思考：①先识别尺规作图的类型，题中的作图步骤是作角平分线的标准步骤，因此可得AD是∠BAC的角平分线；②要求AB上动点P到D的最小距离，根据垂线段最短的性质，可知当PD垂直AB时，PD的长度最小；③结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知DC垂直AC，因此D到AB的垂线段长度等于CD的长，即可求出PD的最小值。
【解析】
解：①由尺规作图的步骤可知，射线AG是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。
②根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”，可得：当DP⊥AB时，PD的长度取最小值。
③已知∠C=90°，即DC⊥AC，
∵AD平分∠BAC，点D在角平分线AD上，DC⊥AC，若DP⊥AB，根据角平分线的性质，得DP=CD，
又
∵CD=3，
∴PD的最小值为3。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图、垂线段最短、角平分线的性质
【点评】
本题将尺规作图识别、几何最值、角平分线性质相结合，解题的核心是先判断出AD为角平分线，再准确找到PD取最小值的位置，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
(6)如图，已知△ABC，求作一点P，使点P到∠BAC两边的距离相等，且PA=PB。下列确定点P的方法中，正确的是
（
）
A.P为∠BAC，∠ABC的平分线的交点
B.P为AB，AC上高线的交点
C.P为AB，AC的垂直平分线的交点
D.P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点
（
）A.P为∠BAC，∠ABC的平分线的交点
B.P为AB，AC上高线的交点
C.P为AB，AC的垂直平分线的交点
D.P为∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点
答案
1. (6) D
解析
【分析】
解题时先拆分题目给出的两个条件，分别对应学过的几何性质推导点P的位置：①要满足点P到∠BAC两边的距离相等，根据角平分线的性质，可确定点P在∠BAC的角平分线上；②要满足PA=PB，根据线段垂直平分线的性质，可确定点P在线段AB的垂直平分线上。两个条件同时满足时，点P就是两条线的交点，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：分析“点P到∠BAC两边的距离相等”这个条件：
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等，可得点P在∠BAC的角平分线上。
第二步：分析“PA=PB”这个条件：
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得点P在线段AB的垂直平分线上。
综上，点P是∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是考查两个几何性质的区分与应用，只要准确掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，就能快速定位点P的位置，解题时注意不要混淆两个性质的适用场景。
【难度系数】
0.8
解题时先拆分题目给出的两个条件，分别对应学过的几何性质推导点P的位置：①要满足点P到∠BAC两边的距离相等，根据角平分线的性质，可确定点P在∠BAC的角平分线上；②要满足PA=PB，根据线段垂直平分线的性质，可确定点P在线段AB的垂直平分线上。两个条件同时满足时，点P就是两条线的交点，再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：分析“点P到∠BAC两边的距离相等”这个条件：
根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等，可得点P在∠BAC的角平分线上。
第二步：分析“PA=PB”这个条件：
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得点P在线段AB的垂直平分线上。
综上，点P是∠BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是考查两个几何性质的区分与应用，只要准确掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，就能快速定位点P的位置，解题时注意不要混淆两个性质的适用场景。
【难度系数】
0.8
