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4. 判断下列说法是否正确. 若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明.
(1)已知两个实数a，b，则$a - b ＜ a$.
(2)两个无理数的积一定是无理数.
(1)已知两个实数a，b，则$a - b ＜ a$.
(2)两个无理数的积一定是无理数.
答案
(1) 不正确. 反例：$a=3$，$b=-5$，$a-b=8＞3=a$.
(2) 不正确. 反例：如果两个无理数互为倒数，那么它们的积为1，而1是有理数.
(2) 不正确. 反例：如果两个无理数互为倒数，那么它们的积为1，而1是有理数.
解析
【分析】
这是两道关于实数性质的判断题，对于包含“一定”的全称判断类题目，只要能找到一个不符合结论的反例，就可以证明说法错误。第(1)题要考虑减数的正负对减法结果的影响，减去负数相当于加正数，此时差会大于被减数；第(2)题要结合无理数的运算特性，思考是否存在两个无理数相乘得到有理数的情况，比如互为倒数的两个无理数乘积为1，就是有理数。
【解析】
(1) 首先判断该说法不成立。根据实数减法法则，当b为负数时，$a-b=a+|b|$，结果会大于被减数a。取$a=3$，$b=-5$，计算得$a-b=3-(-5)=8$，$8＞3=a$，与题目的结论矛盾，因此说法错误。
(2) 首先判断该说法不成立。两个无理数的乘积不一定是无理数，当两个无理数互为倒数时，乘积为1，属于有理数。例如无理数$\sqrt{2}$和$\frac{1}{\sqrt{2}}$互为倒数，二者的乘积为1，是有理数，与题目的结论矛盾，因此说法错误。
【答案】
(1) 不正确. 反例：$a=3$，$b=-5$，$a-b=8＞3=a$.
(2) 不正确. 反例：如果两个无理数互为倒数，那么它们的积为1，而1是有理数.
【知识点】
实数的运算、无理数的概念、不等式的性质
【点评】
本题考查对实数相关性质的辨析，解答这类全称判断类的正误题时，可通过举反例快速推翻错误结论，学习过程中要注意避免思维定式，全面考虑不同类型数的运算结果。
【难度系数】
0.8
这是两道关于实数性质的判断题，对于包含“一定”的全称判断类题目，只要能找到一个不符合结论的反例，就可以证明说法错误。第(1)题要考虑减数的正负对减法结果的影响，减去负数相当于加正数，此时差会大于被减数；第(2)题要结合无理数的运算特性，思考是否存在两个无理数相乘得到有理数的情况，比如互为倒数的两个无理数乘积为1，就是有理数。
【解析】
(1) 首先判断该说法不成立。根据实数减法法则，当b为负数时，$a-b=a+|b|$，结果会大于被减数a。取$a=3$，$b=-5$，计算得$a-b=3-(-5)=8$，$8＞3=a$，与题目的结论矛盾，因此说法错误。
(2) 首先判断该说法不成立。两个无理数的乘积不一定是无理数，当两个无理数互为倒数时，乘积为1，属于有理数。例如无理数$\sqrt{2}$和$\frac{1}{\sqrt{2}}$互为倒数，二者的乘积为1，是有理数，与题目的结论矛盾，因此说法错误。
【答案】
(1) 不正确. 反例：$a=3$，$b=-5$，$a-b=8＞3=a$.
(2) 不正确. 反例：如果两个无理数互为倒数，那么它们的积为1，而1是有理数.
【知识点】
实数的运算、无理数的概念、不等式的性质
【点评】
本题考查对实数相关性质的辨析，解答这类全称判断类的正误题时，可通过举反例快速推翻错误结论，学习过程中要注意避免思维定式，全面考虑不同类型数的运算结果。
【难度系数】
0.8
5. 若$a$，$b$都是无理数，且$a+b=2$，则$a$，$b$的值可以是
$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$（答案不唯一）
.（写出一组满足条件的值即可）答案
$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$（答案不唯一）
解析
【分析】
首先回忆无理数的定义：无限不循环小数是无理数。题目要求a、b均为无理数且a+b=2，解题思路是构造两个无理数，使它们的无理部分互为相反数，这样相加时无理部分抵消，剩下的有理数部分之和为2即可。我们可以先选定一个常见的无理数（如√2、π等），再根据a+b=2求出另一个数，验证两者都是无理数即可。
【解析】
根据无理数的定义，我们选取常见无理数√2，设$a=1+\sqrt{2}$，
则$b=2 - a = 2 - (1+\sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$。
验证：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$均为无理数，且$(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$，满足题目的所有条件。也可选取其他无理数构造，如$a=π$，$b=2-π$等，答案不唯一。
【答案】
$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的概念；实数的加减运算
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对无理数概念的理解和实数运算的灵活应用，构造时只需保证两个无理数的无理部分互为相反数，有理数部分之和为2即可，解题思路多样，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
首先回忆无理数的定义：无限不循环小数是无理数。题目要求a、b均为无理数且a+b=2，解题思路是构造两个无理数，使它们的无理部分互为相反数，这样相加时无理部分抵消，剩下的有理数部分之和为2即可。我们可以先选定一个常见的无理数（如√2、π等），再根据a+b=2求出另一个数，验证两者都是无理数即可。
【解析】
根据无理数的定义，我们选取常见无理数√2，设$a=1+\sqrt{2}$，
则$b=2 - a = 2 - (1+\sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$。
验证：$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$均为无理数，且$(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$，满足题目的所有条件。也可选取其他无理数构造，如$a=π$，$b=2-π$等，答案不唯一。
【答案】
$1+\sqrt{2}$和$1-\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
无理数的概念；实数的加减运算
【点评】
本题是开放性基础题，重点考查对无理数概念的理解和实数运算的灵活应用，构造时只需保证两个无理数的无理部分互为相反数，有理数部分之和为2即可，解题思路多样，答案不唯一。
【难度系数】
0.8
6. 将棱长分别为 10 cm 和 20 cm 的正方体铁块各三个熔化后再制成一个较大的正方体. 求这个大正方体的棱长.
答案
30 cm
解析
【分析】
解题的核心是抓住铁块熔化前后总体积不变的等量关系：第一步先分别计算两种棱长的单个正方体体积，再乘各自的数量求和得到所有铁块的总体积；第二步结合大正方体体积等于总体积的关系，利用正方体体积公式对总体积开立方，即可求出大正方体的棱长。
【解析】
解：先计算棱长为10 cm的单个正方体体积：
$V_1=10^3=1000\ \mathrm{cm}^3$
3个该正方体的总体积为：$3V_1=3×1000=3000\ \mathrm{cm}^3$
再计算棱长为20 cm的单个正方体体积：
$V_2=20^3=8000\ \mathrm{cm}^3$
3个该正方体的总体积为：$3V_2=3×8000=24000\ \mathrm{cm}^3$
熔化前后总体积不变，因此大正方体的体积为：
$V=3V_1+3V_2=3000+24000=27000\ \mathrm{cm}^3$
设大正方体棱长为$a$，根据正方体体积公式$V=a^3$可得：
$a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{27000}=30\ \mathrm{cm}$
【答案】
30 cm
【知识点】
正方体体积计算；等积变换；立方根的应用
【点评】
本题属于基础应用型题目，以正方体熔化重构为载体，重点考查体积不变规律的运用、正方体体积公式和立方根计算的掌握，只要找准体积相等的核心等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住铁块熔化前后总体积不变的等量关系：第一步先分别计算两种棱长的单个正方体体积，再乘各自的数量求和得到所有铁块的总体积；第二步结合大正方体体积等于总体积的关系，利用正方体体积公式对总体积开立方，即可求出大正方体的棱长。
【解析】
解：先计算棱长为10 cm的单个正方体体积：
$V_1=10^3=1000\ \mathrm{cm}^3$
3个该正方体的总体积为：$3V_1=3×1000=3000\ \mathrm{cm}^3$
再计算棱长为20 cm的单个正方体体积：
$V_2=20^3=8000\ \mathrm{cm}^3$
3个该正方体的总体积为：$3V_2=3×8000=24000\ \mathrm{cm}^3$
熔化前后总体积不变，因此大正方体的体积为：
$V=3V_1+3V_2=3000+24000=27000\ \mathrm{cm}^3$
设大正方体棱长为$a$，根据正方体体积公式$V=a^3$可得：
$a=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{27000}=30\ \mathrm{cm}$
【答案】
30 cm
【知识点】
正方体体积计算；等积变换；立方根的应用
【点评】
本题属于基础应用型题目，以正方体熔化重构为载体，重点考查体积不变规律的运用、正方体体积公式和立方根计算的掌握，只要找准体积相等的核心等量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
7. 已知一个长方体的体积是162，其长、宽、高的比是3：2：1. 这个长方体的长、宽、高都是无理数吗？请说明理由.
答案
7. 解：这个长方体的长、宽、高都不是无理数.
理由：设长方体的长为3x，宽为2x，高为x. 根据题意，得$6x^3=162$.
解得$x=3$.
$\therefore 3x=9$，$2x=6$.
$\therefore$该长方体的长、宽、高都不是无理数.
理由：设长方体的长为3x，宽为2x，高为x. 根据题意，得$6x^3=162$.
解得$x=3$.
$\therefore 3x=9$，$2x=6$.
$\therefore$该长方体的长、宽、高都不是无理数.
解析
【分析】
解题时先根据长、宽、高的比例关系，引入参数表示三个棱长，再结合长方体体积公式列方程求解参数，算出长、宽、高的具体数值后，对照无理数的定义（无限不循环小数为无理数）判断即可。首先设高为x，那么宽为2x、长为3x，代入体积公式列方程就能求出x的值，进而得到各棱长的具体值判断类型。
【解析】
解：设长方体的高为x，则宽为2x，长为3x。
根据长方体体积=长×宽×高，结合题意列方程：
$3x · 2x · x = 162$
整理得：$6x^3 = 162$
两边同时除以6得：$x^3 = 27$
开立方得：$x = 3$
因此长为$3x=3×3=9$，宽为$2x=2×3=6$，高为$x=3$。
9、6、3均为整数，属于有理数，因此这个长方体的长、宽、高都不是无理数。
【答案】
这个长方体的长、宽、高都不是无理数。理由：设长为3x，宽为2x，高为x，根据体积公式得$6x^3=162$，解得$x=3$，因此长为9，宽为6，高为3，均为有理数，故都不是无理数。
【知识点】
长方体体积计算；无理数的概念；比例的应用
【点评】
本题是基础综合题，结合了几何体体积计算和实数分类的知识点，解题关键是利用比例设参结合体积公式求出各棱长的具体值，再根据定义判定数的类型即可。
【难度系数】
0.8
解题时先根据长、宽、高的比例关系，引入参数表示三个棱长，再结合长方体体积公式列方程求解参数，算出长、宽、高的具体数值后，对照无理数的定义（无限不循环小数为无理数）判断即可。首先设高为x，那么宽为2x、长为3x，代入体积公式列方程就能求出x的值，进而得到各棱长的具体值判断类型。
【解析】
解：设长方体的高为x，则宽为2x，长为3x。
根据长方体体积=长×宽×高，结合题意列方程：
$3x · 2x · x = 162$
整理得：$6x^3 = 162$
两边同时除以6得：$x^3 = 27$
开立方得：$x = 3$
因此长为$3x=3×3=9$，宽为$2x=2×3=6$，高为$x=3$。
9、6、3均为整数，属于有理数，因此这个长方体的长、宽、高都不是无理数。
【答案】
这个长方体的长、宽、高都不是无理数。理由：设长为3x，宽为2x，高为x，根据体积公式得$6x^3=162$，解得$x=3$，因此长为9，宽为6，高为3，均为有理数，故都不是无理数。
【知识点】
长方体体积计算；无理数的概念；比例的应用
【点评】
本题是基础综合题，结合了几何体体积计算和实数分类的知识点，解题关键是利用比例设参结合体积公式求出各棱长的具体值，再根据定义判定数的类型即可。
【难度系数】
0.8
8. 某数值转换器的原理如图所示：
(1)当输入的x值为16时，求输出的y值.
(2)是否存在输入的x值，始终不能输出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
(3)若输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x的值可以是多少？(写出一个即可)
(1)当输入的x值为16时，求输出的y值.
(2)是否存在输入的x值，始终不能输出y值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由.
(3)若输入一个两位数x，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则x的值可以是多少？(写出一个即可)
答案
解：(1)$\sqrt{16}=4$，$\sqrt{4}=2$，则$y=\sqrt{2}$.
(2)$x=0$或1时，始终不能输出y值.
(3)$x=[(\sqrt{5})^2]^2=25$.（答案不唯一）
(2)$x=0$或1时，始终不能输出y值.
(3)$x=[(\sqrt{5})^2]^2=25$.（答案不唯一）
解析
【分析】
(1) 按照流程图运算规则，输入x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则将结果作为新的x再次运算，直到得到的算术平方根为无理数时输出该值，逐步代入x=16计算即可。
(2) 若始终不能输出y值，说明每次计算算术平方根的结果都是有理数，会进入无限循环，只需找算术平方根等于自身的非负数即可。
(3) 恰好经过两次取算术平方根才输出无理数，说明第一次取算术平方根得到的是有理数，第二次取算术平方根得到无理数，可逆向推导：先取一个无理数，将它平方得到有理数，再将这个有理数平方得到的两位数就是符合要求的x。
【解析】
(1) 当输入x=16时：
第一步：计算16的算术平方根，$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新输入；
第二步：计算4的算术平方根，$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新输入；
第三步：计算2的算术平方根，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出$y=\sqrt{2}$。
(2) 存在。当x=0时，$\sqrt{0}=0$，始终是有理数，无法输出；当x=1时，$\sqrt{1}=1$，始终是有理数，无法输出，因此满足要求的x值为0或1。
(3) 逆向推导：取无理数$\sqrt{5}$，将其平方得$(\sqrt{5})^2=5$（有理数，满足第一次取算术平方根的结果），再将5平方得$5^2=25$，是两位数，因此x=25符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1)$y=\sqrt{2}$
(2)存在，x=0或1
(3)25（答案不唯一）
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别；流程图逻辑运算
【点评】
本题结合数值转换器的流程图形式，考察实数相关基础概念，既要求掌握算术平方根的计算方法，也需要准确区分有理数和无理数，第三问为开放型问题，需要逆向思考推导符合条件的数值，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 按照流程图运算规则，输入x后先计算其算术平方根，若结果为有理数则将结果作为新的x再次运算，直到得到的算术平方根为无理数时输出该值，逐步代入x=16计算即可。
(2) 若始终不能输出y值，说明每次计算算术平方根的结果都是有理数，会进入无限循环，只需找算术平方根等于自身的非负数即可。
(3) 恰好经过两次取算术平方根才输出无理数，说明第一次取算术平方根得到的是有理数，第二次取算术平方根得到无理数，可逆向推导：先取一个无理数，将它平方得到有理数，再将这个有理数平方得到的两位数就是符合要求的x。
【解析】
(1) 当输入x=16时：
第一步：计算16的算术平方根，$\sqrt{16}=4$，4是有理数，返回重新输入；
第二步：计算4的算术平方根，$\sqrt{4}=2$，2是有理数，返回重新输入；
第三步：计算2的算术平方根，$\sqrt{2}$是无理数，因此输出$y=\sqrt{2}$。
(2) 存在。当x=0时，$\sqrt{0}=0$，始终是有理数，无法输出；当x=1时，$\sqrt{1}=1$，始终是有理数，无法输出，因此满足要求的x值为0或1。
(3) 逆向推导：取无理数$\sqrt{5}$，将其平方得$(\sqrt{5})^2=5$（有理数，满足第一次取算术平方根的结果），再将5平方得$5^2=25$，是两位数，因此x=25符合要求（答案不唯一）。
【答案】
(1)$y=\sqrt{2}$
(2)存在，x=0或1
(3)25（答案不唯一）
【知识点】
算术平方根的计算；无理数的识别；流程图逻辑运算
【点评】
本题结合数值转换器的流程图形式，考察实数相关基础概念，既要求掌握算术平方根的计算方法，也需要准确区分有理数和无理数，第三问为开放型问题，需要逆向思考推导符合条件的数值，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
