(1)下列实数中，是无理数的是（）

A.3.14
B.$\frac{1}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{9}$

(1) C

【分析】
要判断哪个选项是无理数，首先需要明确无理数和有理数的定义：无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数。解题时先对每个选项的数进行化简，再对照定义逐一排查，排除属于有理数的选项，剩下的就是正确答案。
【解析】
首先明确相关概念：有理数包括整数和分数，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，常见的有开方开不尽的数、含π的数等。
对各选项逐一分析：
A. 3.14是有限小数，属于有理数，不符合要求；
B. $\frac{1}{3}$是分数，化为小数是无限循环小数$0.\dot{3}$，属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{3}$是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求；
D. $\sqrt{9}=3$，3是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 有理数的概念
3. 算术平方根化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点区分有理数和无理数的范畴，需要注意带根号的数不一定都是无理数，要先化简后再判断，避免误选开方后是整数或分数的选项。
【难度系数】
0.9

(2)下列说法中，正确的是（）
A. 带根号的数是无理数
B. 无理数是开方开不尽而产生的数
C. 无理数是无限小数
D. 无限小数是无理数
(3)在实数 $0$，$\sqrt{2}$，$π$，$\frac{22}{7}$，$3.14159$，

(2) C

【分析】
这道题考查无理数的相关概念，解题时首先要明确无理数的核心定义：无限不循环小数叫做无理数，再结合常见的无理数类型逐一分析每个选项，通过举反例排除错误选项，最终锁定正确答案。
【解析】
我们逐个分析4个选项：
A选项：带根号的数不一定是无理数，例如$\sqrt{4}=2$，2是有理数，因此A错误；
B选项：无理数不只是开方开不尽产生的数，例如π是无理数，它不是开方运算得到的，因此B错误；
C选项：无理数是无限不循环小数，属于无限小数的范畴，因此C正确；
D选项：无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数两类，其中无限循环小数是有理数（例如$0.\dot{3}=\frac{1}{3}$属于有理数），只有无限不循环小数才是无理数，因此D错误。
【答案】
C
【知识点】
无理数的概念；实数的分类
【点评】
本题是基础概念题，解题的关键是准确掌握无理数的定义，辨析清楚容易混淆的概念误区，牢记常见的无理数类型即可快速完成判断。
【难度系数】
0.7

1.010 010 001…(每两个1之间依次多一个0)，$\sqrt[3]{8}$，$\sqrt[3]{-4}$中，无理数的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

(3) D

(4)在无理数中，下列说法正确的是
（）

A.有最小的数
B.有最大的数
C.有绝对值最小的数
D.以上答案都不对

(4) D

【分析】
解题时先明确无理数的基本概念，再依次分析每个选项：首先判断是否存在最小、最大的无理数，再结合绝对值的性质判断是否存在绝对值最小的无理数，最后得出结论。首先，无理数是无限不循环小数，包含正、负两类无理数；负无理数可以无限小，正无理数可以无限大，因此不存在最小或最大的无理数；再看绝对值，绝对值的最小值是0，但0属于有理数，不属于无理数范畴，且无理数的绝对值可以无限趋近于0，没有最小值，因此三个选项都是错误的。
【解析】
我们结合无理数的性质逐一判断选项：
1. 分析选项A：无理数包含负无理数，负无理数可以无限小，不存在最小的无理数，因此A错误；
2. 分析选项B：无理数包含正无理数，正无理数可以无限大，不存在最大的无理数，因此B错误；
3. 分析选项C：绝对值最小的数是0，但0是有理数，不属于无理数；同时无理数的绝对值可以无限趋近于0，不存在绝对值最小的无理数，因此C错误。
综上，A、B、C三个选项的说法都错误，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
无理数的概念，绝对值的性质，实数大小比较
【点评】
本题考查对无理数相关性质的理解，易错点是容易忽略0是有理数，误选C选项，解题时要注意结合有理数、无理数的分类，和绝对值、数的大小比较的知识综合判断。
【难度系数】
0.6

(5)下列说法中，正确的是（）

A.小数都是有理数
B.有理数是实数
C.无限小数都是无理数
D.实数是无理数

(5) B

【分析】
本题考查实数相关概念的辨析，解题时首先要明确有理数、无理数、实数的定义和从属关系，再逐一判断每个选项的正误：首先回忆实数的分类：实数分为有理数和无理数；有理数是整数和分数的统称，可表现为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，再对应每个选项的表述判断对错即可。
【解析】
先明确相关定义：①实数由有理数和无理数共同组成；②有理数包含整数和分数，可转化为有限小数或者无限循环小数；③无理数是无限不循环小数。
对各选项逐一分析：
A选项：小数包含无限不循环小数（属于无理数），因此不是所有小数都是有理数，A错误；
B选项：有理数和无理数统称为实数，因此有理数属于实数范畴，B正确；
C选项：无限小数包含无限循环小数（属于有理数），因此不是所有无限小数都是无理数，C错误；
D选项：实数包含有理数和无理数两类，不能认为实数就是无理数，D错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
实数的分类；有理数的概念；无理数的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确掌握各类数的定义和从属关系，注意区分“无限小数”和“无限不循环小数”，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.8

(1)有下列各数：$\frac{1}{3}$，$-\sqrt[3]{8}$，3.14，π，$-\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{9}$。
是有理数的有，
是无理数的有，
是正实数的有。

(1) 有理数：$\frac{1}{3}$，$-\sqrt[3]{8}$，3.14；无理数：$π$，$-\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{9}$；正实数：$\frac{1}{3}$，3.14，$π$，$\sqrt[3]{9}$

【分析】
解题前先明确三类数的定义，第一步先化简题中可运算的数，再结合定义逐一判断：①有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有含π的数、开方开不尽的数的方根等；③正实数是大于0的所有实数，包含正有理数和正无理数。首先化简$-\sqrt[3]{8}=-2$，再逐个对每个数的归属进行判断即可。
【解析】
首先化简题中带立方根的数：$-\sqrt[3]{8} = -2$，是负整数。
1. 找有理数：
$\frac{1}{3}$是分数，属于有理数；$-\sqrt[3]{8}=-2$是整数，属于有理数；3.14是有限小数，可转化为分数，属于有理数。
2. 找无理数：
π是无限不循环小数，属于无理数；$-\sqrt{2}$是开平方开不尽的数的方根，是无限不循环小数，属于无理数；$\sqrt[3]{9}$是开立方开不尽的数的方根，是无限不循环小数，属于无理数。
3. 找正实数：
筛选出大于0的数：$\frac{1}{3}＞0$，3.14＞0，π＞0，$\sqrt[3]{9}＞0$，这四个数为正实数。
【答案】
有理数：$\frac{1}{3}$，$-\sqrt[3]{8}$，3.14；无理数：$π$，$-\sqrt{2}$，$\sqrt[3]{9}$；正实数：$\frac{1}{3}$，3.14，$π$，$\sqrt[3]{9}$
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题核心是先化简带根号的数，再结合对应定义判断，注意不要误将开方开得尽的带根号的数判定为无理数。
【难度系数】
0.85

(2)有下列各数：$-\frac{1}{4}$，$\sqrt{7}$，3.141 59，π，$\sqrt{\frac{10}{3}}$，$-\sqrt[3]{9}$，$-0.\dot{3}$，2.121 121 112…(每两个2之间依次多一个1)，$\sqrt[3]{27}$，$\sqrt{16}$。
是有理数的有，
是无理数的有，
是负实数的有。

(2) 有理数：$-\frac{1}{4}$，3.14 159，$-0.\dot{3}$，$\sqrt[3]{27}$，$\sqrt{16}$；无理数：$\sqrt{7}$，$π$，$\sqrt{\frac{10}{3}}$，$-\sqrt[3]{9}$，2.121 121 112…；负实数：$-\frac{1}{4}$，$-\sqrt[3]{9}$，$-0.\dot{3}$

【分析】
解题时先明确三类数的定义：①有理数是整数和分数的统称，包括有限小数、无限循环小数，带根号的数需先判断是否开得尽方，开得尽方的是有理数；②无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数、无限不循环的有规律小数；③负实数是小于0的实数。解题步骤：先将题目中能化简的带根号的数化简，再结合定义逐个分类判断即可。
【解析】
首先化简带根号的数：$\sqrt[3]{27}=3$，$\sqrt{16}=4$，二者均为整数。
1. 筛选有理数：
$-\frac{1}{4}$是分数，属于有理数；3.14159是有限小数，属于有理数；$-0.\dot{3}$是无限循环小数，属于有理数；化简后的$\sqrt[3]{27}$、$\sqrt{16}$是整数，属于有理数。
2. 筛选无理数：
$\sqrt{7}$、$\sqrt{\frac{10}{3}}$是开平方开不尽的数，$-\sqrt[3]{9}$是开立方开不尽的数，均为无限不循环小数；π是典型的无限不循环小数；2.121121112…(每两个2之间依次多一个1)是无限不循环小数，以上均属于无理数。
3. 筛选负实数：
从所有数中找出小于0的数，即$-\frac{1}{4}$、$-\sqrt[3]{9}$、$-0.\dot{3}$。
【答案】
有理数：$-\frac{1}{4}$，3.141 59，$-0.\dot{3}$，$\sqrt[3]{27}$，$\sqrt{16}$；
无理数：$\sqrt{7}$，$π$，$\sqrt{\frac{10}{3}}$，$-\sqrt[3]{9}$，2.121 121 112…(每两个2之间依次多一个1)；
负实数：$-\frac{1}{4}$，$-\sqrt[3]{9}$，$-0.\dot{3}$
【知识点】
实数的分类；有理数的定义；无理数的定义
【点评】
本题是实数分类的基础题，解题的关键是先化简带根号的数，再结合定义判断，注意不要误认为带根号的数都是无理数，也不要把有限小数3.14159和π混淆，有规律但不循环的无限小数也属于无理数。
【难度系数】
0.8

(3)有下列各数：$-|-3|$，$-\dfrac{22}{7}$，$0$，$-\dfrac{π}{2}$，$1.202\ 002\ 000\ 2···$(每两个2之间依次多一个0)，$(\sqrt{2}-3)^0$，$3^{-2}$。
是无理数的有，
是有理数的有，
是整数的有。

(3) 无理数：$-\frac{π}{2}$，1.202 002 000 2…；有理数：$-|-3|$，$-\frac{22}{7}$，0，$(\sqrt{2}-3)^0$，$3^{-2}$；整数：$-|-3|$，0，$(\sqrt{2}-3)^0$

【分析】
要解决这道题，首先需要明确三类数的定义：①无理数是无限不循环小数；②有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数；③整数包括正整数、0、负整数。解题第一步先把所有含有运算的数化简，再对照定义逐一归类即可。注意：含有π的数、构造的无限不循环小数都是无理数，判断前一定要先化简带绝对值、零指数、负指数的数，避免直接判断出错。
【解析】
第一步：先化简每个数：
1. $-|-3|=-3$，属于负整数；
2. $-\dfrac{22}{7}$是负分数，属于无限循环小数；
3. $0$是整数；
4. $-\dfrac{π}{2}$：$π$是无限不循环小数，因此$-\dfrac{π}{2}$也是无限不循环小数；
5. $1.202\ 002\ 000\ 2···$（每两个2之间依次多一个0）是人为构造的无限不循环小数；
6. $(\sqrt{2}-3)^0$：因为$\sqrt{2}-3≠0$，根据非零数的零次幂等于1，得结果为$1$，属于正整数；
7. $3^{-2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$，是正分数。
第二步：对照定义分类：
无理数是无限不循环小数，因此包含$-\dfrac{π}{2}$，$1.202\ 002\ 000\ 2···$（每两个2之间依次多一个0）；
有理数包括整数和分数，因此包含$-|-3|$，$-\dfrac{22}{7}$，$0$，$(\sqrt{2}-3)^0$，$3^{-2}$；
整数包括正整数、0、负整数，因此包含$-|-3|$，$0$，$(\sqrt{2}-3)^0$。
【答案】
无理数：$-\frac{π}{2}$，1.202 002 000 2…（每两个2之间依次多一个0）；有理数：$-|-3|$，$-\frac{22}{7}$，$0$，$(\sqrt{2}-3)^0$，$3^{-2}$；整数：$-|-3|$，$0$，$(\sqrt{2}-3)^0$
【知识点】
实数的分类、零指数幂运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题考查实数的相关概念，属于基础题，解题的关键是先对含运算的数进行化简，再结合各类数的定义判断，要注意区分开无限循环小数和无限不循环小数，不要误将含π的数、构造的无限不循环小数当成有理数。
【难度系数】
0.7

3. 求满足下列条件的实数$x$.
(1)$(x-1)^2=3$;
(2)$(x+1)^3=-3$.

(1) $x=\pm\sqrt{3}+1$
(2) $x=-\sqrt[3]{3}-1$

【分析】
对于这两个方程，我们可以利用平方根和立方根的定义来求解：
1. 求解第(1)问时，观察到方程左边是(x-1)的平方，右边是正数3，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此先把(x-1)看作整体，它就是3的两个平方根，再解一元一次方程即可得到x的值。
2. 求解第(2)问时，方程左边是(x+1)的立方，右边是负数-3，根据立方根的性质，任意实数都有唯一的立方根，且负数的立方根是负数，因此先把(x+1)看作整体，它就是-3的立方根，再解一元一次方程即可得到x的值。
【解析】
(1) 已知$(x-1)^2=3$，根据平方根的定义，可得：
$x-1 = \sqrt{3}$ 或 $x-1 = -\sqrt{3}$
分别移项计算得：
$x = 1+\sqrt{3}$ 或 $x = 1-\sqrt{3}$
即$x=\pm\sqrt{3}+1$
(2) 已知$(x+1)^3=-3$，根据立方根的定义，可得：
$x+1 = \sqrt[3]{-3} = -\sqrt[3]{3}$
移项计算得：
$x = -\sqrt[3]{3} - 1$
【答案】
(1) $x=\pm\sqrt{3}+1$
(2) $x=-\sqrt[3]{3}-1$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 立方根的定义
【点评】
本题是实数运算的基础题，核心是正确区分平方根和立方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，而任意实数的立方根唯一，符号与被开方数一致，解题时注意不要漏写平方根的负根，也不要错误给立方根添加正负号。
【难度系数】
0.8