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4. 求下列各式的值.
(1) $\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}$；
(2) $\sqrt[3]{-0.512}$；
(3) $(\sqrt[3]{8})^3$；
(4) $\sqrt[3]{10^{-6}}$.
(1) $\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}$；
(2) $\sqrt[3]{-0.512}$；
(3) $(\sqrt[3]{8})^3$；
(4) $\sqrt[3]{10^{-6}}$.
答案
(1) $\frac{4}{3}$
(2) $-0.8$
(3) 8
(4) $10^{-2}$
(2) $-0.8$
(3) 8
(4) $10^{-2}$
解析
【分析】
解决这类立方根求值问题，首先要明确立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，同时牢记立方根的性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0，以及运算性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$。各小题解题思路如下：
(1) 求$\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}$，只需找到哪个正数的立方等于$\dfrac{64}{27}$即可；
(2) 求负数的立方根，先确定结果为负，再计算0.512的立方根，添加负号即可；
(3) 可直接运用立方根的运算性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$求解，也可先计算内层立方根再算立方；
(4) 先将被开方数$10^{-6}$转化为某数的立方形式，再开立方得到结果。
【解析】
(1) 因为$(\dfrac{4}{3})^3=\dfrac{64}{27}$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}=\dfrac{4}{3}$；
(2) 因为$(-0.8)^3=-0.512$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{-0.512}=-0.8$；
(3) 方法1：根据立方根的运算性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入$a=8$得：$(\sqrt[3]{8})^3=8$；
方法2：先计算$\sqrt[3]{8}=2$，再计算$2^3=8$，故$(\sqrt[3]{8})^3=8$；
(4) 因为$10^{-6}=(10^{-2})^3$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{10^{-6}}=10^{-2}$。
【答案】
(1) $\dfrac{4}{3}$；(2) $-0.8$；(3) $8$；(4) $10^{-2}$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；幂的乘方运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，解题核心是熟练掌握立方根的定义和运算性质，平时多积累常见数的立方值，能有效提升这类题的运算速度和准确率。
【难度系数】
0.85
解决这类立方根求值问题，首先要明确立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$，同时牢记立方根的性质：正数的立方根为正，负数的立方根为负，0的立方根是0，以及运算性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$。各小题解题思路如下：
(1) 求$\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}$，只需找到哪个正数的立方等于$\dfrac{64}{27}$即可；
(2) 求负数的立方根，先确定结果为负，再计算0.512的立方根，添加负号即可；
(3) 可直接运用立方根的运算性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$求解，也可先计算内层立方根再算立方；
(4) 先将被开方数$10^{-6}$转化为某数的立方形式，再开立方得到结果。
【解析】
(1) 因为$(\dfrac{4}{3})^3=\dfrac{64}{27}$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}=\dfrac{4}{3}$；
(2) 因为$(-0.8)^3=-0.512$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{-0.512}=-0.8$；
(3) 方法1：根据立方根的运算性质$(\sqrt[3]{a})^3=a$，代入$a=8$得：$(\sqrt[3]{8})^3=8$；
方法2：先计算$\sqrt[3]{8}=2$，再计算$2^3=8$，故$(\sqrt[3]{8})^3=8$；
(4) 因为$10^{-6}=(10^{-2})^3$，根据立方根的定义可得：$\sqrt[3]{10^{-6}}=10^{-2}$。
【答案】
(1) $\dfrac{4}{3}$；(2) $-0.8$；(3) $8$；(4) $10^{-2}$
【知识点】
立方根的定义；立方根的性质；幂的乘方运算
【点评】
本题是立方根的基础运算题，解题核心是熟练掌握立方根的定义和运算性质，平时多积累常见数的立方值，能有效提升这类题的运算速度和准确率。
【难度系数】
0.85
5. 求下列各式中$x$的值.
(1)$x^3=216$;
(2)$x^3=(-5)^2$.
(1)$x^3=216$;
(2)$x^3=(-5)^2$.
答案
(1) $x=6$
(2) $x=\sqrt[3]{25}$
(2) $x=\sqrt[3]{25}$
解析
【分析】
这两道题均属于利用立方根的定义求解未知数的题型，解题思路如下：首先明确立方根的定义：若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，正数的立方根是正数。对于(1)，直接找出立方等于216的正数即可得到x的值；对于(2)，先计算等式右侧$(-5)^2$的结果，再对结果开立方得到x的值，若被开方数不是完全立方数，直接用三次根号形式表示结果即可。
【解析】
(1) 已知$x^3=216$，根据立方根的定义，x是216的立方根。
因为$6^3=6×6×6=216$，所以$x=\sqrt[3]{216}=6$。
(2) 先化简等式右侧：$(-5)^2=(-5)×(-5)=25$，因此原式变为$x^3=25$。
根据立方根的定义，x是25的立方根，所以$x=\sqrt[3]{25}$。
【答案】
(1) $x=6$
(2) $x=\sqrt[3]{25}$
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，核心是对立方根概念的掌握，解题时需先化简等式中可计算的部分，再求立方根，注意正数的立方根为正数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均属于利用立方根的定义求解未知数的题型，解题思路如下：首先明确立方根的定义：若一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，正数的立方根是正数。对于(1)，直接找出立方等于216的正数即可得到x的值；对于(2)，先计算等式右侧$(-5)^2$的结果，再对结果开立方得到x的值，若被开方数不是完全立方数，直接用三次根号形式表示结果即可。
【解析】
(1) 已知$x^3=216$，根据立方根的定义，x是216的立方根。
因为$6^3=6×6×6=216$，所以$x=\sqrt[3]{216}=6$。
(2) 先化简等式右侧：$(-5)^2=(-5)×(-5)=25$，因此原式变为$x^3=25$。
根据立方根的定义，x是25的立方根，所以$x=\sqrt[3]{25}$。
【答案】
(1) $x=6$
(2) $x=\sqrt[3]{25}$
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题是立方根的基础应用题型，核心是对立方根概念的掌握，解题时需先化简等式中可计算的部分，再求立方根，注意正数的立方根为正数，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
6. 计算下列各式. 你发现了什么规律?
请用含a的式子表示发现的规律.
(1)$\sqrt[3]{7^3}=$
$\sqrt[3]{(\dfrac{3}{4})^3}=$
$\sqrt[3]{(-0.9)^3}=$
规律:
(2)$\sqrt[3]{-7}=$
$\sqrt[3]{-\dfrac{3}{5}}=$
$\sqrt[3]{-0.134}=$
规律:
请用含a的式子表示发现的规律.
(1)$\sqrt[3]{7^3}=$
7
,$\sqrt[3]{(\dfrac{3}{4})^3}=$
$\dfrac{3}{4}$
,$\sqrt[3]{(-0.9)^3}=$
$-0.9$
.规律:
$\sqrt[3]{a^3}=a$
.(2)$\sqrt[3]{-7}=$
$-\sqrt[3]{7}$
,$\sqrt[3]{-\dfrac{3}{5}}=$
$-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}$
,$\sqrt[3]{-0.134}=$
$-\sqrt[3]{0.134}$
.规律:
$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
.答案
(1) 7，$\dfrac{3}{4}$，$-0.9$，$\sqrt[3]{a^3}=a$
(2) $-\sqrt[3]{7}$，$-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}$，$-\sqrt[3]{0.134}$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
(2) $-\sqrt[3]{7}$，$-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}$，$-\sqrt[3]{0.134}$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
解析
【分析】
本题考查立方根的性质探究，解题思路如下：首先回忆立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么x叫做a的立方根。先分别计算每组的三个式子，观察计算结果与原式中被开方数的关联，再从特殊到一般归纳出含字母a的通用规律。
【解析】
(1) 计算各算式：
① 因为$7^3=343$，根据立方根定义，343的立方根是7，故$\sqrt[3]{7^3}=7$；
② 因为$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，根据立方根定义，$\dfrac{27}{64}$的立方根是$\dfrac{3}{4}$，故$\sqrt[3]{(\dfrac{3}{4})^3}=\dfrac{3}{4}$；
③ 因为$(-0.9)^3=-0.729$，根据立方根定义，$-0.729$的立方根是$-0.9$，故$\sqrt[3]{(-0.9)^3}=-0.9$。
观察结果可总结规律：一个数的立方的立方根等于它本身。
(2) 计算各算式：
① 因为$(-\sqrt[3]{7})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{7})^3=-7$，根据立方根定义，$\sqrt[3]{-7}=-\sqrt[3]{7}$；
② 因为$(-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}})^3=-\dfrac{3}{5}$，根据立方根定义，$\sqrt[3]{-\dfrac{3}{5}}=-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}$；
③ 因为$(-\sqrt[3]{0.134})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{0.134})^3=-0.134$，根据立方根定义，$\sqrt[3]{-0.134}=-\sqrt[3]{0.134}$。
观察结果可总结规律：负数的立方根等于其相反数的立方根的相反数。
【答案】
(1) $7$，$\dfrac{3}{4}$，$-0.9$，$\sqrt[3]{a^3}=a$
(2) $-\sqrt[3]{7}$，$-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}$，$-\sqrt[3]{0.134}$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 立方根的性质
【点评】
本题通过具体数值的运算探究立方根的基本性质，体现了从特殊到一般的数学思想，所得规律是立方根化简和运算的重要基础，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.85
本题考查立方根的性质探究，解题思路如下：首先回忆立方根的定义：如果一个数x的立方等于a，即$x^3=a$，那么x叫做a的立方根。先分别计算每组的三个式子，观察计算结果与原式中被开方数的关联，再从特殊到一般归纳出含字母a的通用规律。
【解析】
(1) 计算各算式：
① 因为$7^3=343$，根据立方根定义，343的立方根是7，故$\sqrt[3]{7^3}=7$；
② 因为$(\dfrac{3}{4})^3=\dfrac{27}{64}$，根据立方根定义，$\dfrac{27}{64}$的立方根是$\dfrac{3}{4}$，故$\sqrt[3]{(\dfrac{3}{4})^3}=\dfrac{3}{4}$；
③ 因为$(-0.9)^3=-0.729$，根据立方根定义，$-0.729$的立方根是$-0.9$，故$\sqrt[3]{(-0.9)^3}=-0.9$。
观察结果可总结规律：一个数的立方的立方根等于它本身。
(2) 计算各算式：
① 因为$(-\sqrt[3]{7})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{7})^3=-7$，根据立方根定义，$\sqrt[3]{-7}=-\sqrt[3]{7}$；
② 因为$(-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}})^3=-\dfrac{3}{5}$，根据立方根定义，$\sqrt[3]{-\dfrac{3}{5}}=-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}$；
③ 因为$(-\sqrt[3]{0.134})^3=(-1)^3×(\sqrt[3]{0.134})^3=-0.134$，根据立方根定义，$\sqrt[3]{-0.134}=-\sqrt[3]{0.134}$。
观察结果可总结规律：负数的立方根等于其相反数的立方根的相反数。
【答案】
(1) $7$，$\dfrac{3}{4}$，$-0.9$，$\sqrt[3]{a^3}=a$
(2) $-\sqrt[3]{7}$，$-\sqrt[3]{\dfrac{3}{5}}$，$-\sqrt[3]{0.134}$，$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 立方根的性质
【点评】
本题通过具体数值的运算探究立方根的基本性质，体现了从特殊到一般的数学思想，所得规律是立方根化简和运算的重要基础，需要熟练掌握并灵活运用。
【难度系数】
0.85
7. 如图所示的大立方体是由四层完全相同的64个小立方体组成的，大立方体的体积为64 cm³.
(1)求组成这个大立方体的小立方体的棱长.
(2)已知图中阴影部分是一个正方形.求该阴影部分正方形的边长和面积.
(1)求组成这个大立方体的小立方体的棱长.
(2)已知图中阴影部分是一个正方形.求该阴影部分正方形的边长和面积.
答案
解：(1) 棱长$=\sqrt[3]{64÷64}=1(\mathrm{cm})$.
(2) 面积$=4×4-4×\dfrac{1}{2}×3×1=10(\mathrm{cm}^2)$，
边长$=\sqrt{10}(\mathrm{cm})$.
(2) 面积$=4×4-4×\dfrac{1}{2}×3×1=10(\mathrm{cm}^2)$，
边长$=\sqrt{10}(\mathrm{cm})$.
解析
【分析】
(1) 求解小立方体棱长时，先根据大立方体总体积和小立方体的总个数，算出单个小立方体的体积，再对体积开立方即可得到棱长。
(2) 求解阴影正方形的面积和边长时，先明确大立方体一个面是边长为4cm的正方形，用大正方形面积减去周围4个完全相同的直角三角形的面积，即可得到阴影部分面积，再对阴影面积开算术平方根，就能得到阴影正方形的边长。
【解析】
(1) 单个小立方体的体积为：$64÷64=1(\mathrm{cm}^3)$
小立方体的棱长为：$\sqrt[3]{1}=1(\mathrm{cm})$
(2) 大立方体单个面的边长为$4×1=4(\mathrm{cm})$，对应大正方形面积为$4×4=16(\mathrm{cm}^2)$
周围每个直角三角形的两条直角边分别为1cm、3cm，4个三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}×3×1=6(\mathrm{cm}^2)$
阴影部分面积为：$16-6=10(\mathrm{cm}^2)$
阴影正方形的边长为：$\sqrt{10}(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) 小立方体的棱长为$\boldsymbol{1\mathrm{cm}}$；
(2) 阴影部分正方形的边长为$\boldsymbol{\sqrt{10}\mathrm{cm}}$，面积为$\boldsymbol{10\mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的计算，割补法求面积
【点评】
本题将根式运算与平面图形面积计算相结合，既考查了立方根、平方根的基础运算能力，也考查了利用割补法求解图形面积的几何思维，侧重基础知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
(1) 求解小立方体棱长时，先根据大立方体总体积和小立方体的总个数，算出单个小立方体的体积，再对体积开立方即可得到棱长。
(2) 求解阴影正方形的面积和边长时，先明确大立方体一个面是边长为4cm的正方形，用大正方形面积减去周围4个完全相同的直角三角形的面积，即可得到阴影部分面积，再对阴影面积开算术平方根，就能得到阴影正方形的边长。
【解析】
(1) 单个小立方体的体积为：$64÷64=1(\mathrm{cm}^3)$
小立方体的棱长为：$\sqrt[3]{1}=1(\mathrm{cm})$
(2) 大立方体单个面的边长为$4×1=4(\mathrm{cm})$，对应大正方形面积为$4×4=16(\mathrm{cm}^2)$
周围每个直角三角形的两条直角边分别为1cm、3cm，4个三角形的总面积为：$4×\frac{1}{2}×3×1=6(\mathrm{cm}^2)$
阴影部分面积为：$16-6=10(\mathrm{cm}^2)$
阴影正方形的边长为：$\sqrt{10}(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) 小立方体的棱长为$\boldsymbol{1\mathrm{cm}}$；
(2) 阴影部分正方形的边长为$\boldsymbol{\sqrt{10}\mathrm{cm}}$，面积为$\boldsymbol{10\mathrm{cm}^2}$。
【知识点】
立方根的计算，算术平方根的计算，割补法求面积
【点评】
本题将根式运算与平面图形面积计算相结合，既考查了立方根、平方根的基础运算能力，也考查了利用割补法求解图形面积的几何思维，侧重基础知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
8. 将一个长方形纸板的四角各裁去一个小正方形，做成一个无盖的长方体纸盒.要求做成的纸盒容积为$2000\ \mathrm{cm}^3$，长、宽、高之比为$2:1:1$. 已知库存的纸板材料有$20×60$，$80×40$，$60×80$，$90×30$四种尺寸(单位：cm). 选择哪种纸板材料制作纸盒不会产生浪费？请说明理由.
答案
解：设纸盒的长为$2x$ cm，宽为$x$ cm，高为$x$ cm. 根据题意，得$2x^3=2\ 000$.
解得$x=10$.
$\therefore 2x=20$.
因为$20+10×2=40(\mathrm{cm})$，$10+10×2=30(\mathrm{cm})$，
所以选择$60×80$尺寸的材料合适.
解得$x=10$.
$\therefore 2x=20$.
因为$20+10×2=40(\mathrm{cm})$，$10+10×2=30(\mathrm{cm})$，
所以选择$60×80$尺寸的材料合适.
解析
【分析】
解题时先根据纸盒长宽高的比例关系设未知数，结合长方体容积公式列方程，求解得到纸盒的长宽高；再根据“四角各裁去一个小正方形”的制作方法，推导得出所需原长方形纸板的长和宽（原纸板的长=纸盒长+2×纸盒高，原纸板的宽=纸盒宽+2×纸盒高），最后将计算得到的原纸板尺寸和给出的四种材料尺寸匹配，找到不产生浪费的材料即可。
【解析】
解：设纸盒的长为$2x$ cm，宽为$x$ cm，高为$x$ cm。
根据长方体容积公式，结合容积为$2000\ \mathrm{cm}^3$列方程得：
$2x· x· x=2000$，即$2x^3=2000$
化简得$x^3=1000$，解得$x=\sqrt[3]{1000}=10$
因此纸盒的长为$2x=20\ \mathrm{cm}$，宽为$10\ \mathrm{cm}$，高为$10\ \mathrm{cm}$。
制作纸盒时四角裁去的小正方形边长等于纸盒的高，因此所需原纸板的尺寸为：
长：$20+10×2=40(\mathrm{cm})$
宽：$10+10×2=30(\mathrm{cm})$
对比四种材料尺寸，$60×80$的纸板可刚好裁剪出2块$30×40$的纸板，制作纸盒无剩余浪费，因此选择$60×80$尺寸的材料。
【答案】
选择$60×80$尺寸的纸板材料制作纸盒不会产生浪费。
【知识点】
立方根的应用，长方体容积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际考查立方根的运算，解题关键是理清制作纸盒时原纸板尺寸和成品纸盒长宽高的对应关系，能有效锻炼学生的数学应用能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
解题时先根据纸盒长宽高的比例关系设未知数，结合长方体容积公式列方程，求解得到纸盒的长宽高；再根据“四角各裁去一个小正方形”的制作方法，推导得出所需原长方形纸板的长和宽（原纸板的长=纸盒长+2×纸盒高，原纸板的宽=纸盒宽+2×纸盒高），最后将计算得到的原纸板尺寸和给出的四种材料尺寸匹配，找到不产生浪费的材料即可。
【解析】
解：设纸盒的长为$2x$ cm，宽为$x$ cm，高为$x$ cm。
根据长方体容积公式，结合容积为$2000\ \mathrm{cm}^3$列方程得：
$2x· x· x=2000$，即$2x^3=2000$
化简得$x^3=1000$，解得$x=\sqrt[3]{1000}=10$
因此纸盒的长为$2x=20\ \mathrm{cm}$，宽为$10\ \mathrm{cm}$，高为$10\ \mathrm{cm}$。
制作纸盒时四角裁去的小正方形边长等于纸盒的高，因此所需原纸板的尺寸为：
长：$20+10×2=40(\mathrm{cm})$
宽：$10+10×2=30(\mathrm{cm})$
对比四种材料尺寸，$60×80$的纸板可刚好裁剪出2块$30×40$的纸板，制作纸盒无剩余浪费，因此选择$60×80$尺寸的材料。
【答案】
选择$60×80$尺寸的纸板材料制作纸盒不会产生浪费。
【知识点】
立方根的应用，长方体容积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合生活实际考查立方根的运算，解题关键是理清制作纸盒时原纸板尺寸和成品纸盒长宽高的对应关系，能有效锻炼学生的数学应用能力和空间想象能力。
【难度系数】
0.7
