登录
8. 有一些相同的房间需要粉刷墙面。一天3名一级技工去粉刷8个房间,结果其中有50 $\mathrm{m}^2$墙面未来得及粉刷;同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外,还多粉刷了另外的40 $\mathrm{m}^2$墙面。已知一级技工比二级技工一天多粉刷10 $\mathrm{m}^2$墙面,设每名二级技工一天粉刷墙面$x$ $\mathrm{m}^2$,则列方程为 ()
A.$\dfrac{3(x+10)+50}{8} = \dfrac{5x-40}{10}$
B.$\dfrac{3(x+10)-50}{8} = \dfrac{5x+40}{10}$
C.$\dfrac{8x-50}{3} = \dfrac{10x+40}{5} +10$
D.$\dfrac{8x+50}{3} = \dfrac{10x-40}{5} +10$
A.$\dfrac{3(x+10)+50}{8} = \dfrac{5x-40}{10}$
B.$\dfrac{3(x+10)-50}{8} = \dfrac{5x+40}{10}$
C.$\dfrac{8x-50}{3} = \dfrac{10x+40}{5} +10$
D.$\dfrac{8x+50}{3} = \dfrac{10x-40}{5} +10$
答案
A
解析
【分析】
本题的核心等量关系是“每个需要粉刷的房间墙面面积相等”。解题时首先根据二级技工的日粉刷量表示出一级技工的日粉刷量，再分别结合一级、二级技工的粉刷情况，计算出对应房间总数的总墙面面积，用总墙面面积除以房间数得到单个房间的面积，最后根据单个房间面积相等即可列出对应方程。
【解析】
已知每名二级技工一天粉刷墙面$x$ $\mathrm{m}^2$，由一级技工比二级技工一天多粉刷$10$ $\mathrm{m}^2$墙面，可得每名一级技工一天粉刷$(x+10)$ $\mathrm{m}^2$。
1. 计算一级技工粉刷场景下单个房间的面积：
3名一级技工一天粉刷的总面积为$3(x+10)$ $\mathrm{m}^2$，粉刷8个房间还差$50$ $\mathrm{m}^2$未完成，因此8个房间的总墙面面积为$3(x+10)+50$，单个房间面积为$\dfrac{3(x+10)+50}{8}$。
2. 计算二级技工粉刷场景下单个房间的面积：
5名二级技工一天粉刷的总面积为$5x$ $\mathrm{m}^2$，粉刷10个房间后还多刷了$40$ $\mathrm{m}^2$，因此10个房间的总墙面面积为$5x-40$，单个房间面积为$\dfrac{5x-40}{10}$。
由于所有房间墙面面积相同，因此可列方程：$\dfrac{3(x+10)+50}{8} = \dfrac{5x-40}{10}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，工程类应用题
【点评】
本题是列方程解应用题的常见题型，解题关键是抓住“单个房间墙面面积不变”这一隐含等量关系，需要注意区分未粉刷、多粉刷部分在计算总墙面面积时的加减逻辑，避免符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
本题的核心等量关系是“每个需要粉刷的房间墙面面积相等”。解题时首先根据二级技工的日粉刷量表示出一级技工的日粉刷量，再分别结合一级、二级技工的粉刷情况，计算出对应房间总数的总墙面面积，用总墙面面积除以房间数得到单个房间的面积，最后根据单个房间面积相等即可列出对应方程。
【解析】
已知每名二级技工一天粉刷墙面$x$ $\mathrm{m}^2$，由一级技工比二级技工一天多粉刷$10$ $\mathrm{m}^2$墙面，可得每名一级技工一天粉刷$(x+10)$ $\mathrm{m}^2$。
1. 计算一级技工粉刷场景下单个房间的面积：
3名一级技工一天粉刷的总面积为$3(x+10)$ $\mathrm{m}^2$，粉刷8个房间还差$50$ $\mathrm{m}^2$未完成，因此8个房间的总墙面面积为$3(x+10)+50$，单个房间面积为$\dfrac{3(x+10)+50}{8}$。
2. 计算二级技工粉刷场景下单个房间的面积：
5名二级技工一天粉刷的总面积为$5x$ $\mathrm{m}^2$，粉刷10个房间后还多刷了$40$ $\mathrm{m}^2$，因此10个房间的总墙面面积为$5x-40$，单个房间面积为$\dfrac{5x-40}{10}$。
由于所有房间墙面面积相同，因此可列方程：$\dfrac{3(x+10)+50}{8} = \dfrac{5x-40}{10}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，工程类应用题
【点评】
本题是列方程解应用题的常见题型，解题关键是抓住“单个房间墙面面积不变”这一隐含等量关系，需要注意区分未粉刷、多粉刷部分在计算总墙面面积时的加减逻辑，避免符号混淆出错。
【难度系数】
0.7
9. 我国古代名著《算法统宗》中有一题：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹。每人六竿多十四，每人八竿恰齐足。”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿。每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完。请用列方程的方法求出牧童的人数。
答案
解：设牧童的人数为x人。
根据竹竿总数量相等，列方程得：
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
根据竹竿总数量相等，列方程得：
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
解析
【分析】
解决这道应用题首先要明确核心思路：第一步审题找不变量，本题中无论怎么分配竹竿，竹竿的总数量是固定不变的，这是列方程的关键依据。第二步设未知数，题目要求求牧童人数，直接设牧童人数为x人即可。第三步用含x的代数式分别表示两种分配方式下的竹竿总数量：每人分6竿多14竿，竹竿总数为$6x+14$；每人分8竿恰好用完，竹竿总数为$8x$。第四步根据竹竿总数相等列方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到结果。
【解析】
解：设牧童的人数为x人。
根据竹竿总数量相等，列方程得：
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
【答案】
牧童的人数为7人。
【知识点】
一元一次方程的应用，解一元一次方程，等量关系确定
【点评】
本题以我国古代数学名著中的问题为载体，兼具文化性与基础性，重点考查学生从实际问题中提取等量关系、建立方程模型求解的能力，解题核心是抓住竹竿总数不变的不变量。
【难度系数】
0.8
解决这道应用题首先要明确核心思路：第一步审题找不变量，本题中无论怎么分配竹竿，竹竿的总数量是固定不变的，这是列方程的关键依据。第二步设未知数，题目要求求牧童人数，直接设牧童人数为x人即可。第三步用含x的代数式分别表示两种分配方式下的竹竿总数量：每人分6竿多14竿，竹竿总数为$6x+14$；每人分8竿恰好用完，竹竿总数为$8x$。第四步根据竹竿总数相等列方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可得到结果。
【解析】
解：设牧童的人数为x人。
根据竹竿总数量相等，列方程得：
$6x + 14 = 8x$
移项，得$8x - 6x = 14$
合并同类项，得$2x = 14$
系数化为1，得$x = 7$
答：牧童的人数为7人。
【答案】
牧童的人数为7人。
【知识点】
一元一次方程的应用，解一元一次方程，等量关系确定
【点评】
本题以我国古代数学名著中的问题为载体，兼具文化性与基础性，重点考查学生从实际问题中提取等量关系、建立方程模型求解的能力，解题核心是抓住竹竿总数不变的不变量。
【难度系数】
0.8
10. 某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多九客，一房九客少七客。”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有9人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就有一间房少7人。
(1)请列方程组，求出该店有客房多少间，房客多少人。
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费50钱，且每间客房最多住3人，一次性定客房25间以上(含25间)，房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
(1)请列方程组，求出该店有客房多少间，房客多少人。
(2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费50钱，且每间客房最多住3人，一次性定客房25间以上(含25间)，房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
答案
解：(1)设该店有客房$x$间，房客$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}7x + 9 = y \\9x - 7 = y\end{cases}$
联立得$7x+9=9x-7$，
解得$x=8$，
把$x=8$代入$7x+9=y$，得$y=7×8+9=65$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=8 \\ y=65 \end{cases}$。
(2)已知房客共65人，每间客房最多住3人，
$65÷3=21······2$，即最少需要订22间客房。
若订22间客房，不满足优惠条件，总房费为：$22×50=1100$（钱）
若一次性订25间客房，可享受八折优惠，总房费为：$25×50×0.8=1000$（钱）
因为$1000＜1100$，所以一次性订25间客房更合算。
答：该店有客房8间，房客65人；他们一次性订25间客房更合算。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}7x + 9 = y \\9x - 7 = y\end{cases}$
联立得$7x+9=9x-7$，
解得$x=8$，
把$x=8$代入$7x+9=y$，得$y=7×8+9=65$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=8 \\ y=65 \end{cases}$。
(2)已知房客共65人，每间客房最多住3人，
$65÷3=21······2$，即最少需要订22间客房。
若订22间客房，不满足优惠条件，总房费为：$22×50=1100$（钱）
若一次性订25间客房，可享受八折优惠，总房费为：$25×50×0.8=1000$（钱）
因为$1000＜1100$，所以一次性订25间客房更合算。
答：该店有客房8间，房客65人；他们一次性订25间客房更合算。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先明确问题中的两个不变量：客房数量和房客总人数。根据两种住宿安排的描述找到两个等量关系：①每间住7人时，总人数=7×客房数+9；②每间住9人时，总人数=9×客房数-7。设客房数为x，房客数为y，将等量关系转化为方程并联立求解，即可得到客房数和房客数。
(2) 第二问为最优方案选择问题，首先根据房客总人数和每间房最多住3人的要求，计算出不享受优惠时最少需要预订的客房数，算出对应总费用；再计算符合优惠条件的最低订房数对应的总费用，比较两个费用的大小，选择费用更低的方案即可。
【解析】
(1) 设该店有客房$x$间，房客$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}7x + 9 = y \\9x - 7 = y\end{cases}$
联立两个方程可得$7x+9=9x-7$，
移项计算得$2x=16$，解得$x=8$，
把$x=8$代入$7x+9=y$，得$y=7×8+9=65$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=8 \\ y=65 \end{cases}$。
(2) 已知房客共65人，每间客房最多住3人，
$65÷3=21······2$，即住满21间后还剩2人，最少需要订$21+1=22$间客房。
若订22间客房，未达到25间的优惠要求，总房费为：$22×50=1100$（钱）
若一次性订25间客房，可享受八折优惠，总房费为：$25×50×0.8=1000$（钱）
因为$1000＜1100$，所以一次性订25间客房更合算。
【答案】
该店有客房8间，房客65人；他们一次性订25间客房更合算。
【知识点】
方程的实际应用、最优方案选择、折扣计算
【点评】
本题以古代数学典籍的内容为背景，既考查了利用方程解决实际问题的能力，又考查了方案比较的逻辑思维，贴合生活实际，能够有效锻炼学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 首先明确问题中的两个不变量：客房数量和房客总人数。根据两种住宿安排的描述找到两个等量关系：①每间住7人时，总人数=7×客房数+9；②每间住9人时，总人数=9×客房数-7。设客房数为x，房客数为y，将等量关系转化为方程并联立求解，即可得到客房数和房客数。
(2) 第二问为最优方案选择问题，首先根据房客总人数和每间房最多住3人的要求，计算出不享受优惠时最少需要预订的客房数，算出对应总费用；再计算符合优惠条件的最低订房数对应的总费用，比较两个费用的大小，选择费用更低的方案即可。
【解析】
(1) 设该店有客房$x$间，房客$y$人。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}7x + 9 = y \\9x - 7 = y\end{cases}$
联立两个方程可得$7x+9=9x-7$，
移项计算得$2x=16$，解得$x=8$，
把$x=8$代入$7x+9=y$，得$y=7×8+9=65$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=8 \\ y=65 \end{cases}$。
(2) 已知房客共65人，每间客房最多住3人，
$65÷3=21······2$，即住满21间后还剩2人，最少需要订$21+1=22$间客房。
若订22间客房，未达到25间的优惠要求，总房费为：$22×50=1100$（钱）
若一次性订25间客房，可享受八折优惠，总房费为：$25×50×0.8=1000$（钱）
因为$1000＜1100$，所以一次性订25间客房更合算。
【答案】
该店有客房8间，房客65人；他们一次性订25间客房更合算。
【知识点】
方程的实际应用、最优方案选择、折扣计算
【点评】
本题以古代数学典籍的内容为背景，既考查了利用方程解决实际问题的能力，又考查了方案比较的逻辑思维，贴合生活实际，能够有效锻炼学生分析问题、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
