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5. 阅读下面的诗句:“栖树一群鸦,鸦树不知数;三只栖一树,五只没去处;五只栖一树,闲了一棵树;请你仔细数,鸦树各几何?”设诗句中谈到的树有x棵,请根据题意完成下表:
根据等量关系,请列出方程:。
根据等量关系,请列出方程:。
答案
解：
五只栖一树时，有1棵树闲置，实际用来栖息鸦的树的数量为$(x-1)$棵，因此应栖在树上的鸦的数量为$5(x-1)$（或$5x-5$）只；
三只栖一树时，栖在树上的鸦有$3x$只，还有5只没有去处，因此鸦的总数为$3x+5$只；
根据鸦的总数量不变的等量关系，列出方程：$\boldsymbol{3x+5=5(x-5)？不对不对，是3x+5=5x-5}$。
最终填写结果：
表格空缺处：
五只栖一树对应的“应栖在树上的鸦的数量”：$5(x-1)$（或$5x-5$）
三只栖一树对应的“鸦的总数”：$3x+5$
列出的方程：$3x+5=5x-5$
答：表格空缺依次填入$5(x-1)$、$3x+5$，所列方程为$3x+5=5x-5$。
五只栖一树时，有1棵树闲置，实际用来栖息鸦的树的数量为$(x-1)$棵，因此应栖在树上的鸦的数量为$5(x-1)$（或$5x-5$）只；
三只栖一树时，栖在树上的鸦有$3x$只，还有5只没有去处，因此鸦的总数为$3x+5$只；
根据鸦的总数量不变的等量关系，列出方程：$\boldsymbol{3x+5=5(x-5)？不对不对，是3x+5=5x-5}$。
最终填写结果：
表格空缺处：
五只栖一树对应的“应栖在树上的鸦的数量”：$5(x-1)$（或$5x-5$）
三只栖一树对应的“鸦的总数”：$3x+5$
列出的方程：$3x+5=5x-5$
答：表格空缺依次填入$5(x-1)$、$3x+5$，所列方程为$3x+5=5x-5$。
解析
【分析】
解题时首先要抓住两种栖树场景下鸦的总数量不变这一核心等量关系。首先分析“三只栖一树，五只没去处”：树有x棵，每棵树栖3只鸦时，树上共有3x只鸦，加上没去处的5只就是鸦的总数量；再分析“五只栖一树，闲了一棵树”：闲了1棵树说明实际参与栖鸦的树是(x-1)棵，每棵树栖5只时刚好能栖完全部鸦，据此可表示出鸦的总数量，最后让两种表示鸦总数的式子相等即可列出方程。
【解析】
1. 填写表格空缺：
（1）五只栖一树时，闲置1棵树，实际用来栖鸦的树有$(x-1)$棵，因此应栖在树上的鸦的数量为$5(x-1)=5x-5$只；
（2）三只栖一树时，x棵树可栖$3x$只鸦，还有5只没去处，因此鸦的总数为$3x+5$只。
2. 列方程：由于两种场景下鸦的总数量相等，因此可列方程：$3x+5=5x-5$。
【答案】
表格空缺依次填$\boldsymbol{5(x-1)}$（或$5x-5$）、$\boldsymbol{3x+5}$；所列方程为$\boldsymbol{3x+5=5x-5}$
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，等量关系分析
【点评】
本题是经典的古代数学应用题，解题的关键是准确理解题意，抓住“鸦的总数量不变”这一隐含等量关系，分别用含x的代数式表示出两种情况下鸦的总数即可顺利求解，能够很好地锻炼学生的题意理解和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要抓住两种栖树场景下鸦的总数量不变这一核心等量关系。首先分析“三只栖一树，五只没去处”：树有x棵，每棵树栖3只鸦时，树上共有3x只鸦，加上没去处的5只就是鸦的总数量；再分析“五只栖一树，闲了一棵树”：闲了1棵树说明实际参与栖鸦的树是(x-1)棵，每棵树栖5只时刚好能栖完全部鸦，据此可表示出鸦的总数量，最后让两种表示鸦总数的式子相等即可列出方程。
【解析】
1. 填写表格空缺：
（1）五只栖一树时，闲置1棵树，实际用来栖鸦的树有$(x-1)$棵，因此应栖在树上的鸦的数量为$5(x-1)=5x-5$只；
（2）三只栖一树时，x棵树可栖$3x$只鸦，还有5只没去处，因此鸦的总数为$3x+5$只。
2. 列方程：由于两种场景下鸦的总数量相等，因此可列方程：$3x+5=5x-5$。
【答案】
表格空缺依次填$\boldsymbol{5(x-1)}$（或$5x-5$）、$\boldsymbol{3x+5}$；所列方程为$\boldsymbol{3x+5=5x-5}$
【知识点】
列代数式，一元一次方程应用，等量关系分析
【点评】
本题是经典的古代数学应用题，解题的关键是准确理解题意，抓住“鸦的总数量不变”这一隐含等量关系，分别用含x的代数式表示出两种情况下鸦的总数即可顺利求解，能够很好地锻炼学生的题意理解和数学建模能力。
【难度系数】
0.7
6. 我国古代有很多著名的典型数学问题,请列一元一次方程解下面的应用题。
《孙子算经》是我国古代的重要数学著作,其中记载的“百鹿入城”问题很有趣。原文如下:
“今有百鹿入城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽。问:城中家几何?”其大意为:现在有100头鹿进城,每家领取一头后还有剩余,剩下的鹿每三家分一头,则恰好分完。问:城中共有多少户人家?
《孙子算经》是我国古代的重要数学著作,其中记载的“百鹿入城”问题很有趣。原文如下:
“今有百鹿入城,家取一鹿不尽,又三家共一鹿适尽。问:城中家几何?”其大意为:现在有100头鹿进城,每家领取一头后还有剩余,剩下的鹿每三家分一头,则恰好分完。问:城中共有多少户人家?
答案
解：设城中共有x户人家。
根据题意，得
$x + \frac{x}{3} = 100$
合并同类项，得
$\frac{4}{3}x = 100$
系数化为1，得
$x = 75$
答：城中共有75户人家。
根据题意，得
$x + \frac{x}{3} = 100$
合并同类项，得
$\frac{4}{3}x = 100$
系数化为1，得
$x = 75$
答：城中共有75户人家。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先设城中户数为未知数x，总鹿数固定为100头，鹿的总数量由两部分组成：第一部分是每户领1头，共领取x头；第二部分是剩余的鹿每3户分1头，这部分鹿数为$\frac{x}{3}$头。两部分鹿的数量相加等于总鹿数100，根据这个等量关系列方程求解即可得到户数。
【解析】
解：设城中共有x户人家。
根据题意，两种分法的鹿的总数为100头，列方程得：
$x + \frac{x}{3} = 100$
合并同类项，得：
$\frac{4}{3}x = 100$
系数化为1，得：
$x = 75$
答：城中共有75户人家。
【答案】
城中共有75户人家
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题以我国古代数学经典问题为背景，既渗透了传统文化，又考查了从实际问题中提取等量关系、建立一元一次方程求解的能力，解题关键是理清两类分鹿方式对应的鹿数总和等于总鹿数。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找准题目中的等量关系。首先设城中户数为未知数x，总鹿数固定为100头，鹿的总数量由两部分组成：第一部分是每户领1头，共领取x头；第二部分是剩余的鹿每3户分1头，这部分鹿数为$\frac{x}{3}$头。两部分鹿的数量相加等于总鹿数100，根据这个等量关系列方程求解即可得到户数。
【解析】
解：设城中共有x户人家。
根据题意，两种分法的鹿的总数为100头，列方程得：
$x + \frac{x}{3} = 100$
合并同类项，得：
$\frac{4}{3}x = 100$
系数化为1，得：
$x = 75$
答：城中共有75户人家。
【答案】
城中共有75户人家
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列方程解应用题
【点评】
本题以我国古代数学经典问题为背景，既渗透了传统文化，又考查了从实际问题中提取等量关系、建立一元一次方程求解的能力，解题关键是理清两类分鹿方式对应的鹿数总和等于总鹿数。
【难度系数】
0.8
7. 我国古代数学著作《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，原文如下：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步。问：人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每3人乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘。问：有多少人，多少辆车？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（）
甲：设有x辆车，根据题意可列方程为$3(x-2)=2x+9$。
乙：设有x个人，根据题意可列方程为$\frac{x}{3}-2=\frac{x+9}{2}$。
A.甲对乙错
B.甲错乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
甲：设有x辆车，根据题意可列方程为$3(x-2)=2x+9$。
乙：设有x个人，根据题意可列方程为$\frac{x}{3}-2=\frac{x+9}{2}$。
A.甲对乙错
B.甲错乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都错
答案
A
解析
【分析】
这是一道一元一次方程列法的判断题，解题核心是根据不同的设未知数方式，找准对应的不变量建立等量关系，再对比甲乙所列方程判断对错即可。首先看甲的思路：设车的数量为x，此时不变量是总人数，分别用两种乘车规则表示总人数，二者相等即可列方程；再看乙的思路：设人数为x，此时不变量是总车数，分别用两种乘车规则表示总车数，二者相等即可列方程，最后和甲乙所列方程对比判断正误。
【解析】
①判断甲的方程是否正确：
设有x辆车，总人数为固定值。
每3人共乘1车，剩余2辆车，说明实际使用了$(x-2)$辆车，总人数可表示为$3(x-2)$；
每2人共乘1车，剩余9人步行，说明坐满x辆车共载了$2x$人，加上步行的9人，总人数可表示为$2x+9$；
根据总人数相等，可列方程$3(x-2)=2x+9$，因此甲所列方程正确。
②判断乙的方程是否正确：
设有x个人，总车数为固定值。
每3人共乘1车，剩余2辆车，说明实际使用的车辆数为$\frac{x}{3}$，总车数可表示为$\frac{x}{3}+2$；
每2人共乘1车，剩余9人步行，说明坐上车的人数为$(x-9)$人，总车数可表示为$\frac{x-9}{2}$；
根据总车数相等，可列方程$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$，和乙所列的$\frac{x}{3}-2=\frac{x+9}{2}$不一致，因此乙所列方程错误。
综上，甲对乙错，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.列方程解应用题
3.等量关系确定
【点评】
本题以古代经典数学问题为载体，考查一元一次方程的列写方法，解题的关键是根据设未知数的不同，准确抓住总人数或总车数这一不变量建立等式，要注意区分两种乘车场景下的数量逻辑，避免加减符号使用错误。
【难度系数】
0.7
这是一道一元一次方程列法的判断题，解题核心是根据不同的设未知数方式，找准对应的不变量建立等量关系，再对比甲乙所列方程判断对错即可。首先看甲的思路：设车的数量为x，此时不变量是总人数，分别用两种乘车规则表示总人数，二者相等即可列方程；再看乙的思路：设人数为x，此时不变量是总车数，分别用两种乘车规则表示总车数，二者相等即可列方程，最后和甲乙所列方程对比判断正误。
【解析】
①判断甲的方程是否正确：
设有x辆车，总人数为固定值。
每3人共乘1车，剩余2辆车，说明实际使用了$(x-2)$辆车，总人数可表示为$3(x-2)$；
每2人共乘1车，剩余9人步行，说明坐满x辆车共载了$2x$人，加上步行的9人，总人数可表示为$2x+9$；
根据总人数相等，可列方程$3(x-2)=2x+9$，因此甲所列方程正确。
②判断乙的方程是否正确：
设有x个人，总车数为固定值。
每3人共乘1车，剩余2辆车，说明实际使用的车辆数为$\frac{x}{3}$，总车数可表示为$\frac{x}{3}+2$；
每2人共乘1车，剩余9人步行，说明坐上车的人数为$(x-9)$人，总车数可表示为$\frac{x-9}{2}$；
根据总车数相等，可列方程$\frac{x}{3}+2=\frac{x-9}{2}$，和乙所列的$\frac{x}{3}-2=\frac{x+9}{2}$不一致，因此乙所列方程错误。
综上，甲对乙错，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.列方程解应用题
3.等量关系确定
【点评】
本题以古代经典数学问题为载体，考查一元一次方程的列写方法，解题的关键是根据设未知数的不同，准确抓住总人数或总车数这一不变量建立等式，要注意区分两种乘车场景下的数量逻辑，避免加减符号使用错误。
【难度系数】
0.7
