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1.将二进制数$(1011)_2$表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，正确的是（
A.$1× 2^4 +0× 2^3 +1× 2^2 +1× 2^1$
B.$1× 2^4 +1× 2^3 +0× 2^2 +1× 2^1$
C.$1× 2^3 +0× 2^2 +1× 2^1 +1× 2^0$
D.$1× 2^3 +1× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0$
C
）A.$1× 2^4 +0× 2^3 +1× 2^2 +1× 2^1$
B.$1× 2^4 +1× 2^3 +0× 2^2 +1× 2^1$
C.$1× 2^3 +0× 2^2 +1× 2^1 +1× 2^0$
D.$1× 2^3 +1× 2^2 +0× 2^1 +1× 2^0$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要掌握进位制数的展开规则：对于任意k进制数，每个数位上的数字要乘以基数k的对应次幂，幂次从右往左、从0开始依次递增，数位越靠左，对应的幂次越高。本题是二进制数，基数为2，首先确定$(1011)_2$共有4个数位，从左到右的数字依次是1、0、1、1，对应的幂次从高到低依次是$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$，将每个数位的数字和对应幂次相乘后相加，再和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二进制的基数为2，展开规则为：m位二进制数从左到右各数位对应的幂次依次为$2^{m-1}$、$2^{m-2}$、…、$2^0$。
$(1011)_2$是4位二进制数，从左到右各数位数字分别为1、0、1、1，对应幂次分别为$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$，因此展开为：
$1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
对比选项可知，C选项符合上述展开式。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 二进制展开规则
2. 进位制的表示
【点评】
本题是进位制的基础题型，核心考查对进位制数展开规律的理解，解题的关键是明确幂次的计数规则：从右往左从0开始计算，避免出现幂次从1开始或者左右幂次颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要掌握进位制数的展开规则：对于任意k进制数，每个数位上的数字要乘以基数k的对应次幂，幂次从右往左、从0开始依次递增，数位越靠左，对应的幂次越高。本题是二进制数，基数为2，首先确定$(1011)_2$共有4个数位，从左到右的数字依次是1、0、1、1，对应的幂次从高到低依次是$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$，将每个数位的数字和对应幂次相乘后相加，再和选项对比即可得到正确答案。
【解析】
首先明确二进制的基数为2，展开规则为：m位二进制数从左到右各数位对应的幂次依次为$2^{m-1}$、$2^{m-2}$、…、$2^0$。
$(1011)_2$是4位二进制数，从左到右各数位数字分别为1、0、1、1，对应幂次分别为$2^3$、$2^2$、$2^1$、$2^0$，因此展开为：
$1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0$
对比选项可知，C选项符合上述展开式。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 二进制展开规则
2. 进位制的表示
【点评】
本题是进位制的基础题型，核心考查对进位制数展开规律的理解，解题的关键是明确幂次的计数规则：从右往左从0开始计算，避免出现幂次从1开始或者左右幂次颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
2.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，若二进制数$(11111)_2$转换成十进制形式，则对应的数为 （
A.30
B.31
C.32
D.33
B
）A.30
B.31
C.32
D.33
答案
2. B
解析
【分析】
要解决二进制转十进制的问题，首先要掌握二进制转十进制的核心方法：按权展开求和。二进制每一位的“权”就是2的幂次，从最右侧的数位开始，从右往左幂次依次从0递增，我们只需要把二进制的每一位数字和它对应的权相乘，再把所有乘积相加，就能得到对应的十进制数，按这个方法逐步计算即可。
【解析】
根据二进制转十进制的按权展开规则，对$(11111)_2$展开计算：
$\begin{aligned}(11111)_2&=1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×16 + 1×8 +1×4 +1×2 +1×1\\&=16+8+4+2+1\\&=31\end{aligned}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二进制转十进制；乘方运算
【点评】
本题考查不同进位制之间的转换，属于基础题型，熟练掌握不同进位制转十进制的按权展开规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决二进制转十进制的问题，首先要掌握二进制转十进制的核心方法：按权展开求和。二进制每一位的“权”就是2的幂次，从最右侧的数位开始，从右往左幂次依次从0递增，我们只需要把二进制的每一位数字和它对应的权相乘，再把所有乘积相加，就能得到对应的十进制数，按这个方法逐步计算即可。
【解析】
根据二进制转十进制的按权展开规则，对$(11111)_2$展开计算：
$\begin{aligned}(11111)_2&=1×2^4 + 1×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×16 + 1×8 +1×4 +1×2 +1×1\\&=16+8+4+2+1\\&=31\end{aligned}$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
二进制转十进制；乘方运算
【点评】
本题考查不同进位制之间的转换，属于基础题型，熟练掌握不同进位制转十进制的按权展开规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0—9和字母A—F共16个记数符号，这些记数符号与十进制的数之间的对应关系如下表：
例如:十六进制数$(71B)_{16}=7×16^{2}+1×16+11=1819$，即十六进制数$(71B)_{16}$相当于十进制数1819，那么十六进制数$(1D9)_{16}$相当于十进制数 （
A.473
B.117
C.1139
D.250
例如:十六进制数$(71B)_{16}=7×16^{2}+1×16+11=1819$，即十六进制数$(71B)_{16}$相当于十进制数1819，那么十六进制数$(1D9)_{16}$相当于十进制数 （
A
）A.473
B.117
C.1139
D.250
答案
3. A
解析
【分析】
本题是十六进制转十进制的新定义类题目，解题时首先参考题目给出的转换示例，明确转换规则：十六进制数的每一位对应乘16的n次方（n从右往左从0开始计数，最右侧的位乘$16^0$，往左一位乘$16^1$，以此类推），再将所有结果相加得到对应的十进制数。解题分三步进行：第一步查找十六进制数每一位符号对应的十进制数值，第二步按照规则列出计算式，第三步计算有理数混合运算得到最终结果。
【解析】
首先根据对应表确定十六进制数$(1D9)_{16}$各位对应的十进制数：1对应1，D对应13，9对应9。
按照十六进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(1D9)_{16}&=1×16^2 + 13×16^1 + 9×16^0\\&=1×256 + 13×16 + 9×1\\&=256 + 208 + 9\\&=473\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
进位制转换、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算类题型，核心是读懂题目给出的进位制转换规则，准确对应十六进制符号与十进制数值，再按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
本题是十六进制转十进制的新定义类题目，解题时首先参考题目给出的转换示例，明确转换规则：十六进制数的每一位对应乘16的n次方（n从右往左从0开始计数，最右侧的位乘$16^0$，往左一位乘$16^1$，以此类推），再将所有结果相加得到对应的十进制数。解题分三步进行：第一步查找十六进制数每一位符号对应的十进制数值，第二步按照规则列出计算式，第三步计算有理数混合运算得到最终结果。
【解析】
首先根据对应表确定十六进制数$(1D9)_{16}$各位对应的十进制数：1对应1，D对应13，9对应9。
按照十六进制转十进制的规则计算：
$\begin{aligned}(1D9)_{16}&=1×16^2 + 13×16^1 + 9×16^0\\&=1×256 + 13×16 + 9×1\\&=256 + 208 + 9\\&=473\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
进位制转换、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算类题型，核心是读懂题目给出的进位制转换规则，准确对应十六进制符号与十进制数值，再按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
4.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图，一位妇女在一排绳子上打结，从右向左满六进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到多少个野果？
答案
4. $2×6^0+0×6^1+3×6^2+2×6^3+1×6^4=1838$(个)
解析
【分析】
本题是“满六进一”的六进制计数转十进制计数的实际应用问题，解题思路如下：①首先明确“满六进一”的计数规则和十进制“满十进一”类似，六进制转十进制时，每个数位的数字乘对应数位的权值（即6的n次方，从右往左，最右侧为第1位，对应n=0，往左依次n加1），再求和即可得到十进制的总数；②先从右到左数出每根绳子上的结数，分别为2、0、3、2、1，对应6⁰到6⁴位的数字；③按照转换规则列式计算即可。
【解析】
由题意知该计数为满六进一的六进制，从右往左各数位的结数（即各位数字）依次为2、0、3、2、1，对应权值分别为6⁰、6¹、6²、6³、6⁴，转换为十进制的总数计算如下：
$\begin{aligned}&2×6^0 + 0×6^1 + 3×6^2 + 2×6^3 + 1×6^4\\=&2×1 + 0×6 + 3×36 + 2×216 + 1×1296\\=&2 + 0 + 108 + 432 + 1296\\=&1838\end{aligned}$
【答案】
1838个
【知识点】
进位制转换，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题结合古代“结绳记数”的传统文化背景考查进位制的实际应用，解题关键是理解“满六进一”的计数规则，掌握六进制转十进制的计算方法，能将实际计数问题转化为有理数的混合运算求解。
【难度系数】
0.7
本题是“满六进一”的六进制计数转十进制计数的实际应用问题，解题思路如下：①首先明确“满六进一”的计数规则和十进制“满十进一”类似，六进制转十进制时，每个数位的数字乘对应数位的权值（即6的n次方，从右往左，最右侧为第1位，对应n=0，往左依次n加1），再求和即可得到十进制的总数；②先从右到左数出每根绳子上的结数，分别为2、0、3、2、1，对应6⁰到6⁴位的数字；③按照转换规则列式计算即可。
【解析】
由题意知该计数为满六进一的六进制，从右往左各数位的结数（即各位数字）依次为2、0、3、2、1，对应权值分别为6⁰、6¹、6²、6³、6⁴，转换为十进制的总数计算如下：
$\begin{aligned}&2×6^0 + 0×6^1 + 3×6^2 + 2×6^3 + 1×6^4\\=&2×1 + 0×6 + 3×36 + 2×216 + 1×1296\\=&2 + 0 + 108 + 432 + 1296\\=&1838\end{aligned}$
【答案】
1838个
【知识点】
进位制转换，有理数乘方运算，有理数混合运算
【点评】
本题结合古代“结绳记数”的传统文化背景考查进位制的实际应用，解题关键是理解“满六进一”的计数规则，掌握六进制转十进制的计算方法，能将实际计数问题转化为有理数的混合运算求解。
【难度系数】
0.7
5.将十进制数15换算成二进制数应为 （
A.(1101)₂
B.(1110)₂
C.(1111)₂
D.(11111)₂
C
）A.(1101)₂
B.(1110)₂
C.(1111)₂
D.(11111)₂
答案
5. C
解析
【分析】
要将十进制数转换为二进制数，可使用七年级进位制内容中学到的“除2取余法”求解，解题思路为：把待转换的十进制数反复除以2，依次记录每次计算得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按从后往前的顺序倒序排列，得到的结果就是对应的二进制数，我们按这个思路计算15对应的二进制数即可。
【解析】
使用除2取余法计算15对应的二进制数：
1. 第一次计算：$15÷2=7$，余数为1；
2. 第二次计算：$7÷2=3$，余数为1；
3. 第三次计算：$3÷2=1$，余数为1；
4. 第四次计算：$1÷2=0$，余数为1；
此时商为0，停止运算，将记录的余数从最后一次到第一次倒序排列，得到1111，即十进制数15对应的二进制数为$(1111)_2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 十进制转二进制 2. 进位制换算
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心考查十进制转二进制的基本运算方法，熟练掌握“除2取余、倒序排列”的运算规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要将十进制数转换为二进制数，可使用七年级进位制内容中学到的“除2取余法”求解，解题思路为：把待转换的十进制数反复除以2，依次记录每次计算得到的余数，直到商为0时停止运算，最后把所有余数按从后往前的顺序倒序排列，得到的结果就是对应的二进制数，我们按这个思路计算15对应的二进制数即可。
【解析】
使用除2取余法计算15对应的二进制数：
1. 第一次计算：$15÷2=7$，余数为1；
2. 第二次计算：$7÷2=3$，余数为1；
3. 第三次计算：$3÷2=1$，余数为1；
4. 第四次计算：$1÷2=0$，余数为1；
此时商为0，停止运算，将记录的余数从最后一次到第一次倒序排列，得到1111，即十进制数15对应的二进制数为$(1111)_2$。
【答案】
C
【知识点】
1. 十进制转二进制 2. 进位制换算
【点评】
本题是进位制转换的基础题型，核心考查十进制转二进制的基本运算方法，熟练掌握“除2取余、倒序排列”的运算规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
