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6.在小型机中引入了八进制，八进制只要八个数码：0,1,2,3,4,5,6,7.十进制数$124=64+56+4=1×8^2+7×8^1+4$，即等于八进制数$(174)_8$，那么，十进制数668等于八进制数
$(1234)_8$
.答案
6. $(1234)_8$
解析
【分析】
我们可以参考题目给出的十进制转八进制的思路：先把十进制数拆成若干个8的整数次幂相加的形式，各幂次对应的系数就是八进制对应数位上的数字。首先确定不超过668的最大8的幂次，再依次计算每一位的系数，最后把系数按从高次到低次的顺序排列，就能得到对应的八进制数。
【解析】
先计算8的各次幂：$8^0=1$，$8^1=8$，$8^2=64$，$8^3=512$，$8^4=4096＞668$，因此最高次幂为$8^3$。
1. 计算$8^3$的系数：$668÷512=1$，余$668-1×512=156$，所以$8^3$位的数字是1；
2. 计算$8^2$的系数：$156÷64=2$，余$156-2×64=28$，所以$8^2$位的数字是2；
3. 计算$8^1$的系数：$28÷8=3$，余$28-3×8=4$，所以$8^1$位的数字是3；
4. 计算$8^0$的系数：剩余的4就是$8^0$位的数字4。
综上可得$668=1×8^3 + 2×8^2 + 3×8^1 + 4×8^0$，对应八进制数为$(1234)_8$。
【答案】
$(1234)_8$
【知识点】
进位制转换、十进制转八进制
【点评】
本题是进位制认识的基础探究题，解题核心是理解不同进位制的计数规则，结合题目给出的示例方法逐步计算即可，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
我们可以参考题目给出的十进制转八进制的思路：先把十进制数拆成若干个8的整数次幂相加的形式，各幂次对应的系数就是八进制对应数位上的数字。首先确定不超过668的最大8的幂次，再依次计算每一位的系数，最后把系数按从高次到低次的顺序排列，就能得到对应的八进制数。
【解析】
先计算8的各次幂：$8^0=1$，$8^1=8$，$8^2=64$，$8^3=512$，$8^4=4096＞668$，因此最高次幂为$8^3$。
1. 计算$8^3$的系数：$668÷512=1$，余$668-1×512=156$，所以$8^3$位的数字是1；
2. 计算$8^2$的系数：$156÷64=2$，余$156-2×64=28$，所以$8^2$位的数字是2；
3. 计算$8^1$的系数：$28÷8=3$，余$28-3×8=4$，所以$8^1$位的数字是3；
4. 计算$8^0$的系数：剩余的4就是$8^0$位的数字4。
综上可得$668=1×8^3 + 2×8^2 + 3×8^1 + 4×8^0$，对应八进制数为$(1234)_8$。
【答案】
$(1234)_8$
【知识点】
进位制转换、十进制转八进制
【点评】
本题是进位制认识的基础探究题，解题核心是理解不同进位制的计数规则，结合题目给出的示例方法逐步计算即可，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
7.以二进制形式进行计算：
(1)$(10011)_{2}+(100011)_{2}$；
(2)$(1011011)_{2}-(1010)_{2}$。
(1)$(10011)_{2}+(100011)_{2}$；
(2)$(1011011)_{2}-(1010)_{2}$。
答案
7. (1)$(110110)_2$ (2)$(1010001)_2$
解析
【分析】
解决二进制加减法问题，首先要明确二进制的运算规则：加法遵循“逢二进一”，减法遵循“借一当二”。计算时第一步先将两个数的最低位右对齐，位数不足的高位补0，第二步从最右侧的最低位开始逐位计算，加法每一位相加结果满2就向高位进1，本位保留余数；减法某一位不够减时，向相邻高位借1当作本位的2再计算，高位被借走1后计算时要先减去1。
【解析】
(1) 计算$(10011)_2 + (100011)_2$：
先将两个数右对齐，高位补0后对齐计算：
$\begin{array}{r} 010011\\ +100011\\ \hline 110110\end{array}$
逐位计算过程：
最右侧第0位：$1+1=2$，满2进1，本位写0，进位1；
第1位：$1+1+1=3$，满2进1，本位写1，进位1；
第2位：$0+0+1=1$，本位写1，进位0；
第3位：$0+0+0=0$，本位写0；
第4位：$1+0=1$，本位写1；
第5位：$0+1=1$，本位写1；
结果为$(110110)_2$。
(2) 计算$(1011011)_2 - (1010)_2$：
先将两个数右对齐，低位的数高位补0后对齐计算：
$\begin{array}{r} 1011011\\ -0001010\\ \hline 1010001\end{array}$
逐位计算过程：
最右侧第0位：$1-0=1$，本位写1；
第1位：$1-1=0$，本位写0；
第2位：$0-0=0$，本位写0；
第3位：$1-1=0$，本位写0；
第4位：$1-0=1$，本位写1；
第5位：$0-0=0$，本位写0；
第6位：$1-0=1$，本位写1；
结果为$(1010001)_2$。
【答案】
(1)$(110110)_2$；(2)$(1010001)_2$
【知识点】
二进制加法、二进制减法、进位制运算
【点评】
本题是进位制的基础运算题，核心是掌握二进制特有的运算规则，计算时注意数位对齐、按位运算即可，熟练掌握后可以快速求解。
【难度系数】
0.7
解决二进制加减法问题，首先要明确二进制的运算规则：加法遵循“逢二进一”，减法遵循“借一当二”。计算时第一步先将两个数的最低位右对齐，位数不足的高位补0，第二步从最右侧的最低位开始逐位计算，加法每一位相加结果满2就向高位进1，本位保留余数；减法某一位不够减时，向相邻高位借1当作本位的2再计算，高位被借走1后计算时要先减去1。
【解析】
(1) 计算$(10011)_2 + (100011)_2$：
先将两个数右对齐，高位补0后对齐计算：
$\begin{array}{r} 010011\\ +100011\\ \hline 110110\end{array}$
逐位计算过程：
最右侧第0位：$1+1=2$，满2进1，本位写0，进位1；
第1位：$1+1+1=3$，满2进1，本位写1，进位1；
第2位：$0+0+1=1$，本位写1，进位0；
第3位：$0+0+0=0$，本位写0；
第4位：$1+0=1$，本位写1；
第5位：$0+1=1$，本位写1；
结果为$(110110)_2$。
(2) 计算$(1011011)_2 - (1010)_2$：
先将两个数右对齐，低位的数高位补0后对齐计算：
$\begin{array}{r} 1011011\\ -0001010\\ \hline 1010001\end{array}$
逐位计算过程：
最右侧第0位：$1-0=1$，本位写1；
第1位：$1-1=0$，本位写0；
第2位：$0-0=0$，本位写0；
第3位：$1-1=0$，本位写0；
第4位：$1-0=1$，本位写1；
第5位：$0-0=0$，本位写0；
第6位：$1-0=1$，本位写1；
结果为$(1010001)_2$。
【答案】
(1)$(110110)_2$；(2)$(1010001)_2$
【知识点】
二进制加法、二进制减法、进位制运算
【点评】
本题是进位制的基础运算题，核心是掌握二进制特有的运算规则，计算时注意数位对齐、按位运算即可，熟练掌握后可以快速求解。
【难度系数】
0.7
8.在电子计算机中用的二进制,只要两个数码0,1,如二进制中$(110)_2=1×2^2+1×2^1+0$等于十进制数6,$(11010)_2=1×2^5+1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+1$等于十进制数53.
(1)二进制数$(1101)_2$等于十进制数
(2)若一个五位的二进制数为$x$,求$x$所对应的十进制数的取值范围.
(1)二进制数$(1101)_2$等于十进制数
13
;十进制数为35,它所对应的二进制数为$(100011)_2$
;(2)若一个五位的二进制数为$x$,求$x$所对应的十进制数的取值范围.
答案
8. (1)13 ,$(100011)_2$ (2)$16≤ x≤ 31$
解析
【分析】
解决本题首先要明确二进制与十进制的互转规则：①二进制转十进制：将二进制每一位上的数字乘2的对应次方（从右往左数，次方数从0开始递增），再求和即可得到对应的十进制数；②十进制转二进制：用十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0，再将所有余数倒序排列，就能得到对应的二进制数。第二问求五位二进制数对应的十进制取值范围，只需先找到最小和最大的五位二进制数，分别转换为十进制即可得到范围边界。
【解析】
(1) ①计算二进制数$(1101)_2$对应的十进制数：
根据转换规则可得：
$\begin{aligned}(1101)_2&=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=8 + 4 + 0 + 1\\&=13\end{aligned}$
②将十进制数35转换为二进制数，用除2取余法：
$35÷2=17$，余数为1；
$17÷2=8$，余数为1；
$8÷2=4$，余数为0；
$4÷2=2$，余数为0；
$2÷2=1$，余数为0；
$1÷2=0$，余数为1；
将余数从最后一次到第一次倒序排列，得到对应的二进制数为$(100011)_2$。
(2) 五位二进制数的首位必须为1，剩余四位可取值0或1：
最小的五位二进制数为$(10000)_2$，转换为十进制：
$(10000)_2=1×2^4=16$
最大的五位二进制数为$(11111)_2$，转换为十进制：
$\begin{aligned}(11111)_2&=1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0\\&=16+8+4+2+1\\&=31\end{aligned}$
因此对应的十进制数取值范围是$16≤x≤31$。
【答案】
(1)13，$(100011)_2$；(2)$16≤x≤31$
【知识点】
1. 进位制转换 2. 有理数乘方运算 3. 取值范围求解
【点评】
本题以计算机常用的二进制为背景，考查进位制转换及有理数乘方的实际应用，解题核心是熟练掌握二进制与十进制的互转方法，需注意五位二进制的首位不能为0，避免计算取值范围时出现错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确二进制与十进制的互转规则：①二进制转十进制：将二进制每一位上的数字乘2的对应次方（从右往左数，次方数从0开始递增），再求和即可得到对应的十进制数；②十进制转二进制：用十进制数反复除以2，记录每次的余数，直到商为0，再将所有余数倒序排列，就能得到对应的二进制数。第二问求五位二进制数对应的十进制取值范围，只需先找到最小和最大的五位二进制数，分别转换为十进制即可得到范围边界。
【解析】
(1) ①计算二进制数$(1101)_2$对应的十进制数：
根据转换规则可得：
$\begin{aligned}(1101)_2&=1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0\\&=8 + 4 + 0 + 1\\&=13\end{aligned}$
②将十进制数35转换为二进制数，用除2取余法：
$35÷2=17$，余数为1；
$17÷2=8$，余数为1；
$8÷2=4$，余数为0；
$4÷2=2$，余数为0；
$2÷2=1$，余数为0；
$1÷2=0$，余数为1；
将余数从最后一次到第一次倒序排列，得到对应的二进制数为$(100011)_2$。
(2) 五位二进制数的首位必须为1，剩余四位可取值0或1：
最小的五位二进制数为$(10000)_2$，转换为十进制：
$(10000)_2=1×2^4=16$
最大的五位二进制数为$(11111)_2$，转换为十进制：
$\begin{aligned}(11111)_2&=1×2^4+1×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0\\&=16+8+4+2+1\\&=31\end{aligned}$
因此对应的十进制数取值范围是$16≤x≤31$。
【答案】
(1)13，$(100011)_2$；(2)$16≤x≤31$
【知识点】
1. 进位制转换 2. 有理数乘方运算 3. 取值范围求解
【点评】
本题以计算机常用的二进制为背景，考查进位制转换及有理数乘方的实际应用，解题核心是熟练掌握二进制与十进制的互转方法，需注意五位二进制的首位不能为0，避免计算取值范围时出现错误。
【难度系数】
0.7
9.计算机中常用的八进制是逢8进1的计数制，采用数字0~7，共8个计数符号.
(1)填写换算关系表：
(2)类比二进制，八进制数同样能进行加减计算，如$(13)_8 + (6)_8=(21)_8$.完成下列计算：
①$(2765)_8 + (465)_8$；
②$(7426)_8 - (4755)_8$.
(1)填写换算关系表：
(2)类比二进制，八进制数同样能进行加减计算，如$(13)_8 + (6)_8=(21)_8$.完成下列计算：
①$(2765)_8 + (465)_8$；
②$(7426)_8 - (4755)_8$.
答案
9. (1)5,6,7,10,12,13,14,15,16,20 (2)①$(3452)_8$ ②$(2451)_8$
解析
【分析】
解题思路可分为两部分：
1. 解决表格填写问题：类比我们熟悉的十进制“逢10进1”的规则，八进制是“逢8进1”，因此十进制小于8的数和八进制表示完全相同；十进制≥8的数，只需要计算该数包含多少个8，商作为高位数字，余数作为低位数字即可完成换算。
2. 解决八进制加减问题：同样类比十进制的竖式加减规则，加法计算时从最低位开始相加，满8就向前一位进1；减法计算时从最低位开始相减，不够减就向前一位借1，借来的1在当前位相当于8，再进行计算即可。
【解析】
(1) 填写换算表：
八进制逢8进1，因此：
十进制5＜8，对应八进制5；十进制6＜8，对应八进制6；十进制7＜8，对应八进制7；
十进制8=1×8+0，对应八进制10；
十进制10=1×8+2，对应八进制12；
十进制11=1×8+3，对应八进制13；
十进制12=1×8+4，对应八进制14；
十进制13=1×8+5，对应八进制15；
十进制14=1×8+6，对应八进制16；
十进制16=2×8+0，对应八进制20。
因此表格空白处从左到右依次填：5、6、7、10、12、13、14、15、16、20。
(2) 八进制加减计算：
① 计算$(2765)_8 + (465)_8$，列竖式按从右到左相加，满8进1：
```
2 7 6 5
+ 4 6 5
----------
3 4 5 2
```
个位：$5+5=10$，$10÷8=1$余$2$，写2进1；
第二位：$6+6+1=13$，$13÷8=1$余$5$，写5进1；
第三位：$7+4+1=12$，$12÷8=1$余$4$，写4进1；
第四位：$2+0+1=3$，写3；
结果为$(3452)_8$。
② 计算$(7426)_8 - (4755)_8$，列竖式按从右到左相减，不够减借1当8：
```
7 4 2 6
4 7 5 5
----------
2 4 5 1
```
个位：$6-5=1$，写1；
第二位：$2＜5$，向第三位借1当8，$8+2-5=5$，写5，第三位原4变为3；
第三位：$3＜7$，向第四位借1当8，$8+3-7=4$，写4，第四位原7变为6；
第四位：$6-4=2$，写2；
结果为$(2451)_8$。
【答案】
(1) 从左到右依次为：5，6，7，10，12，13，14，15，16，20
(2) ① $\boldsymbol{(3452)_8}$；② $\boldsymbol{(2451)_8}$
【知识点】
八进制的认识；进位制换算；八进制加减运算
【点评】
本题重点考查知识迁移能力，将已掌握的十进制运算规则类比应用到八进制中，理解“逢n进1，借1当n”的进位制通用规律即可顺利解题，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
解题思路可分为两部分：
1. 解决表格填写问题：类比我们熟悉的十进制“逢10进1”的规则，八进制是“逢8进1”，因此十进制小于8的数和八进制表示完全相同；十进制≥8的数，只需要计算该数包含多少个8，商作为高位数字，余数作为低位数字即可完成换算。
2. 解决八进制加减问题：同样类比十进制的竖式加减规则，加法计算时从最低位开始相加，满8就向前一位进1；减法计算时从最低位开始相减，不够减就向前一位借1，借来的1在当前位相当于8，再进行计算即可。
【解析】
(1) 填写换算表：
八进制逢8进1，因此：
十进制5＜8，对应八进制5；十进制6＜8，对应八进制6；十进制7＜8，对应八进制7；
十进制8=1×8+0，对应八进制10；
十进制10=1×8+2，对应八进制12；
十进制11=1×8+3，对应八进制13；
十进制12=1×8+4，对应八进制14；
十进制13=1×8+5，对应八进制15；
十进制14=1×8+6，对应八进制16；
十进制16=2×8+0，对应八进制20。
因此表格空白处从左到右依次填：5、6、7、10、12、13、14、15、16、20。
(2) 八进制加减计算：
① 计算$(2765)_8 + (465)_8$，列竖式按从右到左相加，满8进1：
```
2 7 6 5
+ 4 6 5
----------
3 4 5 2
```
个位：$5+5=10$，$10÷8=1$余$2$，写2进1；
第二位：$6+6+1=13$，$13÷8=1$余$5$，写5进1；
第三位：$7+4+1=12$，$12÷8=1$余$4$，写4进1；
第四位：$2+0+1=3$，写3；
结果为$(3452)_8$。
② 计算$(7426)_8 - (4755)_8$，列竖式按从右到左相减，不够减借1当8：
```
7 4 2 6
4 7 5 5
----------
2 4 5 1
```
个位：$6-5=1$，写1；
第二位：$2＜5$，向第三位借1当8，$8+2-5=5$，写5，第三位原4变为3；
第三位：$3＜7$，向第四位借1当8，$8+3-7=4$，写4，第四位原7变为6；
第四位：$6-4=2$，写2；
结果为$(2451)_8$。
【答案】
(1) 从左到右依次为：5，6，7，10，12，13，14，15，16，20
(2) ① $\boldsymbol{(3452)_8}$；② $\boldsymbol{(2451)_8}$
【知识点】
八进制的认识；进位制换算；八进制加减运算
【点评】
本题重点考查知识迁移能力，将已掌握的十进制运算规则类比应用到八进制中，理解“逢n进1，借1当n”的进位制通用规律即可顺利解题，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
