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1. 直角三角形的两个锐角
互余
.答案
1. 互余
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的相关定理，再结合直角三角形的特征推导：第一步，明确任意三角形内角和为180°；第二步，直角三角形有一个内角是90°的直角，可计算出两个锐角的和；第三步，根据互余的定义即可得出两个锐角的关系。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
直角三角形中存在一个度数为90°的直角，因此两个锐角的度数和为：$180° - 90° = 90°$。
根据互余的定义：若两个角的度数和为90°，则这两个角互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，互余的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对直角三角形内角关系的掌握，是三角形内角和定理的典型应用，相关结论需牢记，为后续几何学习打基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的相关定理，再结合直角三角形的特征推导：第一步，明确任意三角形内角和为180°；第二步，直角三角形有一个内角是90°的直角，可计算出两个锐角的和；第三步，根据互余的定义即可得出两个锐角的关系。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
直角三角形中存在一个度数为90°的直角，因此两个锐角的度数和为：$180° - 90° = 90°$。
根据互余的定义：若两个角的度数和为90°，则这两个角互余，因此直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形的性质，互余的定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对直角三角形内角关系的掌握，是三角形内角和定理的典型应用，相关结论需牢记，为后续几何学习打基础。
【难度系数】
0.9
2. 直角三角形ABC可以写成
Rt△ABC
.答案
2. Rt△ABC
解析
【分析】
拿到这道题首先明确考查的是直角三角形的专用表示规则，我们学习三角形概念时规定了直角三角形有统一的缩写符号，只需将“直角三角形”替换为对应的标准符号，再跟上三角形的顶点字母ABC即可得到正确写法。
【解析】
根据数学中直角三角形的符号表示约定，“直角三角形”可以用缩写符号“Rt△”来表示，因此直角三角形ABC直接记作Rt△ABC。
【答案】
Rt△ABC
【知识点】
直角三角形的符号表示
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查几何图形的标准表示符号，牢记相关规定就能快速作答。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确考查的是直角三角形的专用表示规则，我们学习三角形概念时规定了直角三角形有统一的缩写符号，只需将“直角三角形”替换为对应的标准符号，再跟上三角形的顶点字母ABC即可得到正确写法。
【解析】
根据数学中直角三角形的符号表示约定，“直角三角形”可以用缩写符号“Rt△”来表示，因此直角三角形ABC直接记作Rt△ABC。
【答案】
Rt△ABC
【知识点】
直角三角形的符号表示
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查几何图形的标准表示符号，牢记相关规定就能快速作答。
【难度系数】
0.9
3. 有两个角
互余
的三角形是直角三角形。答案
3. 互余
解析
【分析】
解题时可以从三角形内角和定理出发推导：首先回忆三角形内角和为180°，再结合互余的定义（两个角的和为90°），就能算出第三个角的度数，进而判断三角形的类型，明确该空应填的内容。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
如果三角形中有两个角互余，由互余的定义可知这两个角的度数之和为90°，因此第三个角的度数为$180° - 90°=90°$。
而有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；余角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对基础定理、定义的理解与简单应用，熟记相关知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时可以从三角形内角和定理出发推导：首先回忆三角形内角和为180°，再结合互余的定义（两个角的和为90°），就能算出第三个角的度数，进而判断三角形的类型，明确该空应填的内容。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°。
如果三角形中有两个角互余，由互余的定义可知这两个角的度数之和为90°，因此第三个角的度数为$180° - 90°=90°$。
而有一个内角为90°的三角形是直角三角形，因此有两个角互余的三角形是直角三角形。
【答案】
互余
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；余角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对基础定理、定义的理解与简单应用，熟记相关知识点即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
例 如图13.3-12，
AB // CD，△EFG 的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD. 若∠EFG = 90°，∠E = 28°，求∠EFB的度数.
解 ∵∠EFG=90°，∠E=28°，
∴∠FGE=90°−28°=62°.
∵GE平分∠FGD，
∴∠FGD=2∠FGE=124°.
∵AB // CD，
∴∠BFG=∠FGC=180°−∠FGD=56°.
∴∠EFB=90°−56°=34°.
AB // CD，△EFG 的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD. 若∠EFG = 90°，∠E = 28°，求∠EFB的度数.
解 ∵∠EFG=90°，∠E=28°，
∴∠FGE=90°−28°=62°.
∵GE平分∠FGD，
∴∠FGD=2∠FGE=124°.
∵AB // CD，
∴∠BFG=∠FGC=180°−∠FGD=56°.
∴∠EFB=90°−56°=34°.
答案
解：
∵∠EFG=90°，∠E=28°，
∴∠FGE=90°−∠E=90°−28°=62°。
∵GE平分∠FGD，
∴∠FGD=2∠FGE=2×62°=124°。
∵AB//CD，
∴∠BFG + ∠FGD = 180°，
∴∠BFG=180°−∠FGD=180°−124°=56°。
又∵∠EFG=90°，即∠EFB + ∠BFG=90°，
∴∠EFB=90°−∠BFG=90°−56°=34°。
答：∠EFB的度数为34°。
∵∠EFG=90°，∠E=28°，
∴∠FGE=90°−∠E=90°−28°=62°。
∵GE平分∠FGD，
∴∠FGD=2∠FGE=2×62°=124°。
∵AB//CD，
∴∠BFG + ∠FGD = 180°，
∴∠BFG=180°−∠FGD=180°−124°=56°。
又∵∠EFG=90°，即∠EFB + ∠BFG=90°，
∴∠EFB=90°−∠BFG=90°−56°=34°。
答：∠EFB的度数为34°。
解析
【分析】
要求∠EFB的度数，可按以下思路逐步推导：首先在Rt△EFG中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠E、∠EFG的度数算出∠FGE的度数；再根据GE是∠FGD的角平分线，求出∠FGD的度数；接着利用AB//CD的性质，由两直线平行同旁内角互补算出∠BFG的度数；最后结合∠EFG是直角，用90°减去∠BFG的度数即可得到∠EFB的度数。
【解析】
解：
∵∠EFG=90°，∠E=28°，在Rt△EFG中两个锐角互余，
∴∠FGE=90°−∠E=90°−28°=62°。
∵GE平分∠FGD，
∴∠FGD=2∠FGE=2×62°=124°。
∵AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，
∴∠BFG + ∠FGD = 180°，
∴∠BFG=180°−∠FGD=180°−124°=56°。
又
∵∠EFG=90°，即∠EFB + ∠BFG=∠EFG=90°，
∴∠EFB=90°−∠BFG=90°−56°=34°。
【答案】
34°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是理清各角之间的数量关系，结合已知条件依次运用对应几何性质逐步推导即可，重点考查对基础几何概念、性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠EFB的度数，可按以下思路逐步推导：首先在Rt△EFG中，利用直角三角形两锐角互余的性质，结合已知的∠E、∠EFG的度数算出∠FGE的度数；再根据GE是∠FGD的角平分线，求出∠FGD的度数；接着利用AB//CD的性质，由两直线平行同旁内角互补算出∠BFG的度数；最后结合∠EFG是直角，用90°减去∠BFG的度数即可得到∠EFB的度数。
【解析】
解：
∵∠EFG=90°，∠E=28°，在Rt△EFG中两个锐角互余，
∴∠FGE=90°−∠E=90°−28°=62°。
∵GE平分∠FGD，
∴∠FGD=2∠FGE=2×62°=124°。
∵AB//CD，两直线平行，同旁内角互补，
∴∠BFG + ∠FGD = 180°，
∴∠BFG=180°−∠FGD=180°−124°=56°。
又
∵∠EFG=90°，即∠EFB + ∠BFG=∠EFG=90°，
∴∠EFB=90°−∠BFG=90°−56°=34°。
【答案】
34°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的核心是理清各角之间的数量关系，结合已知条件依次运用对应几何性质逐步推导即可，重点考查对基础几何概念、性质的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 直角三角形的一锐角是$35°$，那么另一锐角是（
A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
B
）。A.$35°$
B.$55°$
C.$65°$
D.$145°$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是任意三角形的内角和为180°，二是直角三角形有且仅有一个内角为90°的直角。由此可推出直角三角形的两个锐角之和为90°，已知其中一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角度数即可求出另一锐角的度数。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，直角三角形中存在一个90°的直角
∴直角三角形的两个锐角之和为：$180°-90°=90°$
已知其中一个锐角为$35°$，则另一锐角的度数为：$90°-35°=55°$
因此答案选B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，直接考察三角形内角和相关性质的应用，只要熟练掌握直角三角形的特征和内角和规律，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆两个核心知识点：一是任意三角形的内角和为180°，二是直角三角形有且仅有一个内角为90°的直角。由此可推出直角三角形的两个锐角之和为90°，已知其中一个锐角的度数，直接用90°减去已知锐角度数即可求出另一锐角的度数。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，直角三角形中存在一个90°的直角
∴直角三角形的两个锐角之和为：$180°-90°=90°$
已知其中一个锐角为$35°$，则另一锐角的度数为：$90°-35°=55°$
因此答案选B
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，直接考察三角形内角和相关性质的应用，只要熟练掌握直角三角形的特征和内角和规律，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ B = 2∠ A$，则$∠ A = (\quad)$。
A.$15°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
A.$15°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
D
解析
【分析】
解题时先依据三角形内角和为180°的性质，结合本题是直角三角形、∠C=90°的已知条件，可推出∠A与∠B的和为90°，再代入题目给出的∠B=2∠A的数量关系，就能计算出∠A的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=90°$，代入可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 90° = 90°$
又因为题目给出$∠ B=2∠ A$，将其代入上式：
$∠ A + 2∠ A = 90°$
合并同类项得：$3∠ A = 90°$
解得：$∠ A = 30°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查三角形内角和性质的基础应用，只要准确梳理题干中的角度等量关系，代入计算即可得到答案，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
解题时先依据三角形内角和为180°的性质，结合本题是直角三角形、∠C=90°的已知条件，可推出∠A与∠B的和为90°，再代入题目给出的∠B=2∠A的数量关系，就能计算出∠A的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，在△ABC中：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=90°$，代入可得：
$∠ A + ∠ B = 180° - 90° = 90°$
又因为题目给出$∠ B=2∠ A$，将其代入上式：
$∠ A + 2∠ A = 90°$
合并同类项得：$3∠ A = 90°$
解得：$∠ A = 30°$
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类考题，主要考查三角形内角和性质的基础应用，只要准确梳理题干中的角度等量关系，代入计算即可得到答案，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9
3. 如图13.3-13，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D，若∠1=∠2，则△ABC是（
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
C
）。A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.无法确定
答案
3. C
解析
【分析】
解题时首先从已知的垂直条件入手，垂直可得到直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质得到∠1和∠A的和为90°；再结合∠1=∠2的条件进行等量代换，得到∠2与∠A的和为90°；最后利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠C的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴在Rt△ADE中，∠1+∠A=90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠A=90°（等量代换）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠C=180°-(∠A+∠2)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质，三角形内角和定理，三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用垂直性质和等量代换推导角的数量关系，再结合三角形内角和定理判断三角形形状，是三角形角的关系相关的常见考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知的垂直条件入手，垂直可得到直角三角形，利用直角三角形两个锐角互余的性质得到∠1和∠A的和为90°；再结合∠1=∠2的条件进行等量代换，得到∠2与∠A的和为90°；最后利用三角形内角和为180°，计算出△ABC中∠C的度数，即可判断三角形的类型。
【解析】
解：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴在Rt△ADE中，∠1+∠A=90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠1=∠2，
∴∠2+∠A=90°（等量代换）。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠C=180°-(∠A+∠2)=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形性质，三角形内角和定理，三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是利用垂直性质和等量代换推导角的数量关系，再结合三角形内角和定理判断三角形形状，是三角形角的关系相关的常见考题。
【难度系数】
0.8
4. 根据图13.3-14中给定的条件，可以判断∠1与∠2一定相等的是（
图13.3-14
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
A
）。图13.3-14
A.①②
B.①③
C.①②③
D.①②③④
答案
4. A
解析
【分析】
解题时需逐个分析4个图形中∠1与∠2的数量关系，结合已学的余角性质、三角形外角性质等知识点判断二者是否一定相等：先找每个图中∠1、∠2和其他已知角的关系，再推导二者是否相等，排除不满足的情况即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个图形：
1. 图①：大三角形为直角三角形，斜边上的高将其分为两个小直角三角形。∠1和公共的中间锐角之和为90°，∠2和同一个公共锐角之和也为90°，根据“同角的余角相等”，可得∠1=∠2。
2. 图②：两个直角三角形共享一个公共锐角，∠1加这个公共锐角等于90°，∠2加同一个公共锐角也等于90°，根据“同角的余角相等”，可得∠1=∠2。
3. 图③：∠1是三角形的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此∠1=∠2+三角形的另一个内角，故∠1＞∠2，二者不相等。
4. 图④：图中未给出两个三角形对应角相等、边相等的额外条件，无法证明∠1与∠2一定相等。
综上，只有①②中∠1和∠2一定相等，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同角的余角相等；三角形外角性质
【点评】
本题属于基础的角关系判定题，解题的关键是结合图形条件推导角的关系，注意不要自行添加题目未给出的隐含条件，避免误判。
【难度系数】
0.7
解题时需逐个分析4个图形中∠1与∠2的数量关系，结合已学的余角性质、三角形外角性质等知识点判断二者是否一定相等：先找每个图中∠1、∠2和其他已知角的关系，再推导二者是否相等，排除不满足的情况即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个图形：
1. 图①：大三角形为直角三角形，斜边上的高将其分为两个小直角三角形。∠1和公共的中间锐角之和为90°，∠2和同一个公共锐角之和也为90°，根据“同角的余角相等”，可得∠1=∠2。
2. 图②：两个直角三角形共享一个公共锐角，∠1加这个公共锐角等于90°，∠2加同一个公共锐角也等于90°，根据“同角的余角相等”，可得∠1=∠2。
3. 图③：∠1是三角形的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此∠1=∠2+三角形的另一个内角，故∠1＞∠2，二者不相等。
4. 图④：图中未给出两个三角形对应角相等、边相等的额外条件，无法证明∠1与∠2一定相等。
综上，只有①②中∠1和∠2一定相等，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
同角的余角相等；三角形外角性质
【点评】
本题属于基础的角关系判定题，解题的关键是结合图形条件推导角的关系，注意不要自行添加题目未给出的隐含条件，避免误判。
【难度系数】
0.7
