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6. 在$△ ABC$中，$∠ A = 40°$，$∠ B = 60°$，则$∠ C =$
80°
。答案
6. 80°
解析
【分析】
拿到本题，已知三角形的两个内角度数，求第三个内角，首先要想到三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，这是解题的核心依据。接下来只需将已知的两个角的度数代入内角和公式，通过减法运算就能求出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=40°$，$∠ B=60°$，将数值代入上式：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 60° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，考查三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握定理内容，计算时注意角度运算的准确性即可快速得分。
【难度系数】
0.9
拿到本题，已知三角形的两个内角度数，求第三个内角，首先要想到三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°，这是解题的核心依据。接下来只需将已知的两个角的度数代入内角和公式，通过减法运算就能求出∠C的度数。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的三个内角之和为180°，可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
已知$∠ A=40°$，$∠ B=60°$，将数值代入上式：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 60° = 80°$
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，考查三角形内角和定理的直接应用，熟练掌握定理内容，计算时注意角度运算的准确性即可快速得分。
【难度系数】
0.9
7. 如图13.3-6，已知在$△ ABC$中，$∠ B=25°$，$∠ C=50°$，$AE$是$BC$边上的高，$AD$是$∠ BAC$的平分线，求$∠ DAE$的度数.
答案
7. ∠DAE=12.5°
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数；接着由AE是BC边上的高，结合直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAE的度数；最后通过角的和差关系计算∠DAE即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 25° - 50° = 105°$
∵AD是∠BAC的平分线
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 105° = 52.5°$
∵AE是BC边上的高
∴$∠ AEB = 90°$
在Rt△ABE中，$∠ BAE + ∠ B = 90°$，则：
$∠ BAE = 90° - ∠ B = 90° - 25° = 65°$
∴$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 65° - 52.5° = 12.5°$
【答案】
$∠ DAE=12.5°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题时需要准确梳理各角之间的数量关系，熟练掌握三角形相关线段（角平分线、高）的性质和内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要求∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；再根据角平分线的定义求出∠BAD的度数；接着由AE是BC边上的高，结合直角三角形两锐角互余的性质求出∠BAE的度数；最后通过角的和差关系计算∠DAE即可得到结果。
【解析】
解：在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 25° - 50° = 105°$
∵AD是∠BAC的平分线
∴$∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 105° = 52.5°$
∵AE是BC边上的高
∴$∠ AEB = 90°$
在Rt△ABE中，$∠ BAE + ∠ B = 90°$，则：
$∠ BAE = 90° - ∠ B = 90° - 25° = 65°$
∴$∠ DAE = ∠ BAE - ∠ BAD = 65° - 52.5° = 12.5°$
【答案】
$∠ DAE=12.5°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题，解题时需要准确梳理各角之间的数量关系，熟练掌握三角形相关线段（角平分线、高）的性质和内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于$180°$.
已知：如图13.3-7所示的$△ ABC$. 求证：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$.
方法一
证明：如图13.3-8，过点$A$作$DE // BC$.
方法二
证明：如图13.3-9，过点$C$作$CD // AB$.
图13.3-7 图13.3-8 图13.3-9
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于$180°$.
已知：如图13.3-7所示的$△ ABC$. 求证：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$.
方法一
证明：如图13.3-8，过点$A$作$DE // BC$.
方法二
证明：如图13.3-9，过点$C$作$CD // AB$.
图13.3-7 图13.3-8 图13.3-9
答案
方法一：
∵DE//BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE.
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180° 方法二：
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°
∵DE//BC，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE.
∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180° 方法二：
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°
解析
【分析】
要证明三角形三个内角的和为180°，我们已知平角为180°、平行线的同旁内角互补和为180°，因此可通过添加平行线的方式，将三角形分散的三个内角转移到一起，凑成和为180°的角完成证明。选择方法一时，过点A作平行于BC的直线，利用平行线内错角相等的性质，把∠B、∠C分别转化为与∠BAC共顶点的∠BAD、∠CAE，三个角刚好组成平角，等量代换即可得证；选择方法二时，过点C作平行于AB的直线，利用平行线性质将∠A转化为∠ACD，再利用同旁内角互补得到∠B与∠BCD的和为180°，代换后即可证得结论。
【解析】
方法一：
过点$A$作$DE // BC$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ B=∠ BAD$，$∠ C=∠ CAE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ BAD+∠ BAC+∠ CAE=180°$（平角的定义），
$\therefore$ 等量代换可得：$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$。
方法二：
过点$C$作$CD // AB$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD$（两直线平行，内错角相等），$∠ B+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=∠ ACB+∠ A$，
$\therefore$ 等量代换可得：$∠ B+∠ ACB+∠ A=180°$。
【答案】
方法一：
$\because DE//BC$，
$\therefore ∠ B=∠ BAD$，$∠ C=∠ CAE$.
$\because ∠ BAD+∠ BAC+∠ CAE=180°$，
$\therefore ∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$
方法二：
$\because CD//AB$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD$，$∠ B+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ A=180°$
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础证明，核心思路是通过构造平行线实现内角的位置转化，将陌生的内角和求证问题转化为已经掌握的平行线、平角相关知识，体现了几何证明中常用的转化思想，该定理也是后续角度计算、复杂几何证明的重要依据。
【难度系数】
0.8
要证明三角形三个内角的和为180°，我们已知平角为180°、平行线的同旁内角互补和为180°，因此可通过添加平行线的方式，将三角形分散的三个内角转移到一起，凑成和为180°的角完成证明。选择方法一时，过点A作平行于BC的直线，利用平行线内错角相等的性质，把∠B、∠C分别转化为与∠BAC共顶点的∠BAD、∠CAE，三个角刚好组成平角，等量代换即可得证；选择方法二时，过点C作平行于AB的直线，利用平行线性质将∠A转化为∠ACD，再利用同旁内角互补得到∠B与∠BCD的和为180°，代换后即可证得结论。
【解析】
方法一：
过点$A$作$DE // BC$，
$\because DE// BC$，
$\therefore ∠ B=∠ BAD$，$∠ C=∠ CAE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠ BAD+∠ BAC+∠ CAE=180°$（平角的定义），
$\therefore$ 等量代换可得：$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$。
方法二：
过点$C$作$CD // AB$，
$\because CD// AB$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD$（两直线平行，内错角相等），$∠ B+∠ BCD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
$\because ∠ BCD=∠ ACB+∠ ACD=∠ ACB+∠ A$，
$\therefore$ 等量代换可得：$∠ B+∠ ACB+∠ A=180°$。
【答案】
方法一：
$\because DE//BC$，
$\therefore ∠ B=∠ BAD$，$∠ C=∠ CAE$.
$\because ∠ BAD+∠ BAC+∠ CAE=180°$，
$\therefore ∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$
方法二：
$\because CD//AB$，
$\therefore ∠ A=∠ ACD$，$∠ B+∠ BCD=180°$，
$\therefore ∠ B+∠ ACB+∠ A=180°$
【知识点】
平行线的性质，平角的定义，等量代换
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础证明，核心思路是通过构造平行线实现内角的位置转化，将陌生的内角和求证问题转化为已经掌握的平行线、平角相关知识，体现了几何证明中常用的转化思想，该定理也是后续角度计算、复杂几何证明的重要依据。
【难度系数】
0.8
9. 我们称如图13.3-10所示的图形为“8字形”.
图13.3-10 图13.3-11
（1）如图13.3-10，求证：$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$.
（2）如图13.3-11，在（1）的条件下，作$∠ A$，$∠ C$的平分线$AP$，$CP$，且它们的交点设为$P$.
①$∠ BAP + ∠ B$
②当$∠ B=25°$，$∠ D=30°$时，直接写出$∠ P$的度数.
图13.3-10 图13.3-11
（1）如图13.3-10，求证：$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$.
（2）如图13.3-11，在（1）的条件下，作$∠ A$，$∠ C$的平分线$AP$，$CP$，且它们的交点设为$P$.
①$∠ BAP + ∠ B$
=
$∠ BCP + ∠ P$.（填“＞”“＜”或“=”）②当$∠ B=25°$，$∠ D=30°$时，直接写出$∠ P$的度数.
答案
9. （1）
∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD. 又
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D （2）①= ②27.5°
∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD. 又
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D （2）①= ②27.5°
解析
【分析】
（1）要证明∠A+∠B=∠C+∠D，观察图形可知∠A、∠B在△AOB中，∠C、∠D在△COD中，两个三角形有一组对顶角∠AOB和∠COD相等，结合三角形内角和为180°，消去相等的对顶角即可得到结论。
（2）①观察图形，∠BAP、∠B和∠BCP、∠P刚好构成“8字形”结构，直接用（1）的结论即可判断大小关系；②要计算∠P的度数，再找一组包含∠P、∠D的“8字形”结构，结合角平分线的定义得到两个角的等量关系，联立推导即可得到∠P与∠B、∠D的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
（1）证明：
在△AOB中，由三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，同理可得：∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，
又
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
等式两边同时减去∠AOB（∠COD），可得∠A+∠B=∠C+∠D。
（2）①根据（1）的“8字形”角的关系，∠BAP、∠B所在三角形与∠BCP、∠P所在三角形构成“8字形”，因此∠BAP + ∠B = ∠BCP + ∠P，故填“=”。
②解：
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，
∴∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，
由“8字形”结论可得两个等式：
$∠ BAP + ∠ B = ∠ BCP + ∠ P$ （1）
$∠ PAD + ∠ P = ∠ PCD + ∠ D$ （2）
将（1）-（2），结合∠BAP=∠PAD、∠BCP=∠PCD，化简得：
$∠ B - ∠ P = ∠ P - ∠ D$，
即$2∠ P = ∠ B + ∠ D$，
代入∠B=25°，∠D=30°，得$∠ P=(25°+30°)÷2=27.5°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）①=；②27.5°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题以“8字形”几何模型为载体，考查三角形内角和及角平分线的应用，熟练掌握基础几何模型的角的等量关系，能快速找到解题突破口，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠A+∠B=∠C+∠D，观察图形可知∠A、∠B在△AOB中，∠C、∠D在△COD中，两个三角形有一组对顶角∠AOB和∠COD相等，结合三角形内角和为180°，消去相等的对顶角即可得到结论。
（2）①观察图形，∠BAP、∠B和∠BCP、∠P刚好构成“8字形”结构，直接用（1）的结论即可判断大小关系；②要计算∠P的度数，再找一组包含∠P、∠D的“8字形”结构，结合角平分线的定义得到两个角的等量关系，联立推导即可得到∠P与∠B、∠D的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
（1）证明：
在△AOB中，由三角形内角和定理得：∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，同理可得：∠C+∠D+∠COD=180°，
∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，
又
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
等式两边同时减去∠AOB（∠COD），可得∠A+∠B=∠C+∠D。
（2）①根据（1）的“8字形”角的关系，∠BAP、∠B所在三角形与∠BCP、∠P所在三角形构成“8字形”，因此∠BAP + ∠B = ∠BCP + ∠P，故填“=”。
②解：
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，
∴∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，
由“8字形”结论可得两个等式：
$∠ BAP + ∠ B = ∠ BCP + ∠ P$ （1）
$∠ PAD + ∠ P = ∠ PCD + ∠ D$ （2）
将（1）-（2），结合∠BAP=∠PAD、∠BCP=∠PCD，化简得：
$∠ B - ∠ P = ∠ P - ∠ D$，
即$2∠ P = ∠ B + ∠ D$，
代入∠B=25°，∠D=30°，得$∠ P=(25°+30°)÷2=27.5°$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）①=；②27.5°
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题以“8字形”几何模型为载体，考查三角形内角和及角平分线的应用，熟练掌握基础几何模型的角的等量关系，能快速找到解题突破口，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 若三角形三个内角的比为1:2:3，
则这个三角形是
则这个三角形是
直角
三角形。答案
10. 直角
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和的固定结论：任意三角形的内角和为180°。题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方式，将三个内角用含同一未知数的式子表示，再结合内角和列方程计算出最大角的度数，根据最大角的类型即可判断三角形的种类。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知三个内角的比为1:2:3，设三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，可列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
因此三个内角分别为$30°$、$2×30°=60°$、$3×30°=90°$，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.按比例分配计算 3.三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的应用，结合比例关系计算内角度数即可判断三角形类型，掌握基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和的固定结论：任意三角形的内角和为180°。题目给出了三个内角的度数比，我们可以通过设每份角度为未知数的方式，将三个内角用含同一未知数的式子表示，再结合内角和列方程计算出最大角的度数，根据最大角的类型即可判断三角形的种类。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知三个内角的比为1:2:3，设三个内角的度数分别为$x$、$2x$、$3x$，可列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
因此三个内角分别为$30°$、$2×30°=60°$、$3×30°=90°$，有一个角为90°的三角形是直角三角形。
【答案】
直角
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.按比例分配计算 3.三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的应用，结合比例关系计算内角度数即可判断三角形类型，掌握基础定理就能快速解答。
【难度系数】
0.9
