5. 在$△ ABC$中，若$∠ A=90°$，且$∠ B - ∠ C=30°$，那么$∠ B$的度数为。

5. 60°

【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理，已知直角∠A的度数，可求出∠B与∠C的和；再结合题目给出的∠B与∠C的差值，联立两个关系式即可求出∠B的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和为180°，已知∠A=90°，可得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 90° = 90°$ ①
又由题可知$∠ B - ∠ C = 30°$ ②
将①和②两个等式相加，得：
$2∠ B = 90° + 30° = 120°$
解得$∠ B = 60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
三角形内角和定理，角度运算
【点评】
本题是基础类题型，核心考察对三角形内角和定理的掌握，结合已知角度差建立等量关系即可求解，计算难度低。
【难度系数】
0.8

6. 如图13.3-15，在△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE//BC。若∠1=148°，则∠B=。

6. 58°

【分析】
解题可按三步推导：第一步，结合平角为180°的性质，先计算出与∠1相邻的∠EDC的度数；第二步，根据DE平行于BC的条件，利用平行线的内错角相等的性质，得到△ABC中∠C的度数；第三步，在直角△ABC中，利用直角三角形两个锐角互余的性质，即可算出∠B的度数。
【解析】
1. 由平角的定义可知：$∠ 1 + ∠ EDC = 180°$
已知$∠ 1=148°$，代入得：$∠ EDC=180° - 148°=32°$
2. 因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”可得：$∠ C=∠ EDC=32°$
3. 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，根据直角三角形两锐角互余可知：$∠ B + ∠ C=90°$
代入$∠ C=32°$得：$∠ B=90° - 32°=58°$
【答案】
$58°$
【知识点】
平行线的性质、直角三角形锐角互余、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算类题目，将角的基本性质、平行线性质和直角三角形性质结合考查，解题的核心是通过平行线搭建已知角和三角形内角的关联，计算过程简单，只要理清角的对应关系即可得分。
【难度系数】
0.8

7. 如图13.3-16，点C为Rt△ABE的边AE延长线上的一点，点D为边AB上一点，DC交BE于点F，已知∠ADC=80°，∠B=35°，求∠C的度数.

∠C=45°

【分析】
解题思路：首先明确已知Rt△ABE，可利用直角三角形两锐角互余的性质先求出∠A的度数；再观察△ADC，已知∠ADC的度数，结合三角形内角和为180°的定理，代入已知角度即可求出∠C的度数。
【解析】
解：
∵△ABE是直角三角形，∠AEB=90°
∴∠A + ∠B = 90°（直角三角形两个锐角互余）
已知∠B=35°，代入得：
∠A = 90° - 35° = 55°
在△ADC中，根据三角形内角和定理，三个内角和为180°，即：
∠A + ∠ADC + ∠C = 180°
已知∠ADC=80°，∠A=55°，代入得：
∠C = 180° - 55° - 80° = 45°
【答案】
∠C=45°
【知识点】
直角三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形基础性质的常规应用题，解题的关键是从已知的直角三角形切入，先求出公共角∠A的度数，再结合内角和定理计算未知角，只要熟练掌握相关基础定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8

8. 定义：如果一个三角形的两个内角$α$与$β$满足$2α+β=90°$，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
（1）若$△ ABC$是“准互余三角形”，$∠ C＞90°$，$∠ A=60°$，则$∠ B$的度数是。
（2）若$△ ABC$是直角三角形，$∠ ACB=90°$。
①如图13.3-17，若AD是$∠ BAC$的平分线，请判断$△ ABD$是否为“准互余三角形”，并说明理由。
②点E是边BC上一点，$△ ABE$是“准互余三角形”，若$∠ ABC=24°$，求$∠ EAC$的度数。

8. （1）15° （2）①△ABD是“准互余三角形”. 理由：
∵AD是∠BAC 的平分线，
∴∠BAC = 2∠BAD.
∵∠ACB = 90°，
∴∠BAC + ∠B = 90°.
∴2∠BAD+∠B=90°.
∴△ABD是“准互余三角形” ②
∵△ABE 是“准互余三角形”，
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°.
∵∠ABC=24°，
∴∠EAB=33°或∠EAB=42°. 当∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°−∠ABC−∠EAB=24°. 当∠EAB = 33°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°−∠ABC−∠EAB=33°，
∴∠EAC=33°或24°

【分析】
（1）首先明确“准互余三角形”的定义：三角形两个内角α、β满足$2α+β=90°$。已知$△ ABC$中$∠C＞90°$，因此$∠A$和$∠B$均为锐角，结合$∠A=60°$，若取$α=∠A$，则$2∠A=120°＞90°$，不符合等式，因此只能取$α=∠B$，代入定义即可求解$∠B$。
（2）①要判断$△ ABD$是否为“准互余三角形”，需结合角平分线性质和直角三角形两锐角互余的性质，推导是否存在两个角满足$2α+β=90°$即可。
②已知$△ ABE$是“准互余三角形”，且$△ ABC$为直角三角形，$∠AEB$为$△ AEC$的外角，必然大于$90°$，因此只需考虑$∠EAB$和$∠ABC$作为α、β的两种情况，分别计算$∠EAB$后，再利用直角三角形两锐角互余计算$∠EAC$，注意分情况讨论不要漏解。
【解析】
（1）
∵$△ ABC$是“准互余三角形”，$∠C＞90°$，$∠A=60°$
∴只能满足$2∠B+∠A=90°$（若$2∠A+∠B$则结果大于$90°$，不符合定义）
将$∠A=60°$代入得：$2∠B+60°=90°$，解得$∠B=15°$。
（2）①$△ ABD$是“准互余三角形”，理由如下：
∵AD是$∠BAC$的平分线，
∴$∠BAC = 2∠BAD$。
∵$∠ACB = 90°$，
∴在$Rt△ ABC$中，$∠BAC + ∠B = 90°$，
将$∠BAC$替换为$2∠BAD$可得：$2∠BAD+∠B=90°$，符合“准互余三角形”的定义，
∴$△ ABD$是“准互余三角形”。
②
∵$△ ABE$ 是“准互余三角形”，且$∠AEB＞∠C=90°$，因此仅考虑两个锐角的组合，分两种情况：
情况1：$2∠EAB+∠ABC=90°$，
∵$∠ABC=24°$，代入得$2∠EAB+24°=90°$，解得$∠EAB=33°$，
此时$∠EAC=90°−∠ABC−∠EAB=90°-24°-33°=33°$；
情况2：$∠EAB+2∠ABC=90°$，
将$∠ABC=24°$代入得$∠EAB+48°=90°$，解得$∠EAB=42°$，
此时$∠EAC=90°−∠ABC−∠EAB=90°-24°-42°=24°$。
综上，$∠EAC$的度数为$33°$或$24°$。
【答案】
（1）$\boxed{15°}$；（2）①$\boxed{△ ABD是“准互余三角形”}$；②$\boxed{33°}$或$\boxed{24°}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；新定义理解
【点评】
本题以新定义“准互余三角形”为载体，考查三角形内角和及角平分线性质的应用，解题的核心是准确理解新定义的运算关系，在涉及多情况的问题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7

9. 如图13.3 - 18，在$△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（）。


A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

9. C

【分析】
解题的核心是依据直角三角形的定义（有一个角是直角的三角形为直角三角形）来逐一计数。首先提取题目中的直角相关条件：一是已知∠BAC=90°，二是AD是BC边上的高可得AD⊥BC，存在多个直角。接下来依次找每个直角对应的三角形，注意避免重复或遗漏，尤其不要忽略D、E之间形成的直角三角形。
【解析】
解：根据直角三角形的定义逐一判断：
1. 已知∠BAC=90°，因此△ABC是直角三角形；
2. AD是BC边上的高，故AD⊥BC，∠ADB=90°，因此△ABD是直角三角形；
3. 由AD⊥BC可得∠ADC=90°，因此△ADC是直角三角形；
4. 由AD⊥BC可得∠ADE=90°，因此△ADE是直角三角形。
综上，共有4个直角三角形，故选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定，三角形高的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对直角三角形定义的灵活运用，解题时需要仔细观察图形，不要遗漏由AD与DE构成直角的△ADE。
【难度系数】
0.7