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运用平方差公式分解因式
(1)语言表述:两个数的平方差,等于这两个数的与这两个数的的积.
(2)公式:$a^2 - b^2 = \_\_\_\_\_\_.$
(1)语言表述:两个数的平方差,等于这两个数的与这两个数的的积.
(2)公式:$a^2 - b^2 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
(1) 和；差
(2) $(a+b)(a-b)$
(1) 和；差
(2) $(a+b)(a-b)$
解析
【分析】
解题时可以从因式分解和整式乘法的互逆关系入手思考：我们已经学过整式乘法的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，而因式分解是整式乘法的逆变形，因此将该公式反过来就是用平方差公式分解因式的形式，对应文字描述和字母公式即可准确填空。
【解析】
(1)根据平方差公式分解因式的语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，因此两个空依次填和、差。
(2)将文字表述转化为字母公式，可得$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
【答案】
(1)和；差
(2)$(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式；因式分解的定义
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握公式的文字表述和字母形式是解答本题的关键，也是后续解决复杂因式分解问题的基础。
【难度系数】
0.9
解题时可以从因式分解和整式乘法的互逆关系入手思考：我们已经学过整式乘法的平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，而因式分解是整式乘法的逆变形，因此将该公式反过来就是用平方差公式分解因式的形式，对应文字描述和字母公式即可准确填空。
【解析】
(1)根据平方差公式分解因式的语言表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，因此两个空依次填和、差。
(2)将文字表述转化为字母公式，可得$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
【答案】
(1)和；差
(2)$(a+b)(a-b)$
【知识点】
平方差公式；因式分解的定义
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的基础概念，属于识记类基础题，熟练掌握公式的文字表述和字母形式是解答本题的关键，也是后续解决复杂因式分解问题的基础。
【难度系数】
0.9
【例1】下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是（）.
A.$a^2 + b^2$
B.$2a - b^2$
C.$16a^2 - 9b^2$
D.$-a^2 - b^2$
A.$a^2 + b^2$
B.$2a - b^2$
C.$16a^2 - 9b^2$
D.$-a^2 - b^2$
答案
C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能运用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的多项式需要满足3个要求：①是二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。我们只需要将每个选项依次对照这三个条件判断即可。
【解析】
首先明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式为二项式，两项均为平方形式，且两项符号相反。
选项A：$a^2 + b^2$是二项式，两项都是平方形式，但两项符号均为正，不符合“符号相反”的要求，不能用平方差公式分解因式；
选项B：$2a - b^2$是二项式，第一项$2a$无法表示为某个整式的平方形式，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
选项C：$16a^2 - 9b^2$是二项式，$16a^2=(4a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，两项均为平方形式，且符号一正一负，符合平方差公式的结构特征，可以分解为$(4a+3b)(4a-3b)$；
选项D：$-a^2 - b^2=-(a^2 + b^2)$，括号内两项符号均为正，不符合“符号相反”的要求，不能用平方差公式分解因式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、整式乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方差公式分解因式的适用条件，只要牢记平方差公式“两项平方异号”的结构特征，逐一比对选项即可快速得出答案，主要考查对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.85
要判断哪个多项式能运用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的多项式需要满足3个要求：①是二项式；②两项都可以表示为某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。我们只需要将每个选项依次对照这三个条件判断即可。
【解析】
首先明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式为二项式，两项均为平方形式，且两项符号相反。
选项A：$a^2 + b^2$是二项式，两项都是平方形式，但两项符号均为正，不符合“符号相反”的要求，不能用平方差公式分解因式；
选项B：$2a - b^2$是二项式，第一项$2a$无法表示为某个整式的平方形式，不符合要求，不能用平方差公式分解因式；
选项C：$16a^2 - 9b^2$是二项式，$16a^2=(4a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，两项均为平方形式，且符号一正一负，符合平方差公式的结构特征，可以分解为$(4a+3b)(4a-3b)$；
选项D：$-a^2 - b^2=-(a^2 + b^2)$，括号内两项符号均为正，不符合“符号相反”的要求，不能用平方差公式分解因式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、整式乘方
【点评】
本题属于基础题型，核心考查平方差公式分解因式的适用条件，只要牢记平方差公式“两项平方异号”的结构特征，逐一比对选项即可快速得出答案，主要考查对基础概念的掌握情况。
【难度系数】
0.85
【变式1】分解因式：
(1)$9x^2 - y^2$；
(2)$25 - 16x^2$。
(1)$9x^2 - y^2$；
(2)$25 - 16x^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(3x)^2 - y^2$
$=(3x + y)(3x - y)$
(2) 原式$=5^2 - (4x)^2$
$=(5 + 4x)(5 - 4x)$
(1) 原式$=(3x)^2 - y^2$
$=(3x + y)(3x - y)$
(2) 原式$=5^2 - (4x)^2$
$=(5 + 4x)(5 - 4x)$
解析
【分析】
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。解题时首先要把原式变形为两个平方项作差的形式，准确找到对应公式里的$a$和$b$，再代入公式即可完成分解。第(1)题中$9x^2=(3x)^2$，对应$a=3x$、$b=y$；第(2)题中$25=5^2$、$16x^2=(4x)^2$，对应$a=5$、$b=4x$。
【解析】
(1) 先将原式改写为平方差形式：
原式$=(3x)^2 - y^2$
套用平方差公式分解得：
$=(3x + y)(3x - y)$
(2) 先将原式改写为平方差形式：
原式$=5^2 - (4x)^2$
套用平方差公式分解得：
$=(5 + 4x)(5 - 4x)$
【答案】
(1) $(3x+y)(3x-y)$
(2) $(5+4x)(5-4x)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的应用，解题核心是准确判断式子是否符合平方差的结构，正确找出两个平方项对应的底数，熟练掌握公式特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
这两道因式分解题均符合平方差公式的结构特征：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，即$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。解题时首先要把原式变形为两个平方项作差的形式，准确找到对应公式里的$a$和$b$，再代入公式即可完成分解。第(1)题中$9x^2=(3x)^2$，对应$a=3x$、$b=y$；第(2)题中$25=5^2$、$16x^2=(4x)^2$，对应$a=5$、$b=4x$。
【解析】
(1) 先将原式改写为平方差形式：
原式$=(3x)^2 - y^2$
套用平方差公式分解得：
$=(3x + y)(3x - y)$
(2) 先将原式改写为平方差形式：
原式$=5^2 - (4x)^2$
套用平方差公式分解得：
$=(5 + 4x)(5 - 4x)$
【答案】
(1) $(3x+y)(3x-y)$
(2) $(5+4x)(5-4x)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查平方差公式的应用，解题核心是准确判断式子是否符合平方差的结构，正确找出两个平方项对应的底数，熟练掌握公式特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
【例2】若$a+b=4,a-b=1$,求$(a+2)^2-(b-2)^2$的值.
答案
解：
由平方差公式分解因式可得：
$(a+2)^2-(b-2)^2$
$=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]$
化简括号内的式子：
第一个因式：$(a+2)+(b-2)=a+b$
第二个因式：$(a+2)-(b-2)=a-b+4$
将$a+b=4$，$a-b=1$代入：
原式$=(a+b)(a-b+4)$
$=4×(1+4)$
$=4×5$
$=20$
由平方差公式分解因式可得：
$(a+2)^2-(b-2)^2$
$=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]$
化简括号内的式子：
第一个因式：$(a+2)+(b-2)=a+b$
第二个因式：$(a+2)-(b-2)=a-b+4$
将$a+b=4$，$a-b=1$代入：
原式$=(a+b)(a-b+4)$
$=4×(1+4)$
$=4×5$
$=20$
解析
【分析】
观察待求代数式的结构，是两个整式的平方差形式，符合平方差公式分解因式的特征，因此优先采用平方差公式对其因式分解，再对分解后的式子化简，将已知的$a+b$、$a-b$的值整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，能简化运算过程。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(a+2)^2-(b-2)^2$
$=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个因式：$(a+2)+(b-2)=a+2+b-2=a+b$
第二个因式：$(a+2)-(b-2)=a+2-b+2=a-b+4$
因此原式可化简为$(a+b)(a-b+4)$，将$a+b=4$，$a-b=1$代入得：
原式$=4×(1+4)$
$=4×5$
$=20$
【答案】
20
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 代数式化简求值
3. 整体代入法
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过运用平方差公式分解因式结合整体代入思想，可有效简化计算，避免求解单个字母取值带来的运算量，考查学生对公式的灵活运用能力和整体运算意识。
【难度系数】
0.8
观察待求代数式的结构，是两个整式的平方差形式，符合平方差公式分解因式的特征，因此优先采用平方差公式对其因式分解，再对分解后的式子化简，将已知的$a+b$、$a-b$的值整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体数值，能简化运算过程。
【解析】
首先利用平方差公式分解因式：
$(a+2)^2-(b-2)^2$
$=[(a+2)+(b-2)][(a+2)-(b-2)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个因式：$(a+2)+(b-2)=a+2+b-2=a+b$
第二个因式：$(a+2)-(b-2)=a+2-b+2=a-b+4$
因此原式可化简为$(a+b)(a-b+4)$，将$a+b=4$，$a-b=1$代入得：
原式$=4×(1+4)$
$=4×5$
$=20$
【答案】
20
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 代数式化简求值
3. 整体代入法
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过运用平方差公式分解因式结合整体代入思想，可有效简化计算，避免求解单个字母取值带来的运算量，考查学生对公式的灵活运用能力和整体运算意识。
【难度系数】
0.8
【变式2】分解因式$(4x+y)^2 -9y^2$，并求值，其中$x+y=2,y-2x=3$
答案
解：
$\begin{aligned}(4x+y)^2 -9y^2&=(4x+y+3y)(4x+y-3y)\\&=(4x+4y)(4x-2y)\\&=4(x+y)· 2(2x-y)\\&=8(x+y)(2x-y)\end{aligned}$
由$y-2x=3$，可得$2x-y=-(y-2x)=-3$。
将$x+y=2$，$2x-y=-3$代入得：
原式$=8×2×(-3)=-48$
$\begin{aligned}(4x+y)^2 -9y^2&=(4x+y+3y)(4x+y-3y)\\&=(4x+4y)(4x-2y)\\&=4(x+y)· 2(2x-y)\\&=8(x+y)(2x-y)\end{aligned}$
由$y-2x=3$，可得$2x-y=-(y-2x)=-3$。
将$x+y=2$，$2x-y=-3$代入得：
原式$=8×2×(-3)=-48$
解析
【分析】
首先观察待处理的式子，是两个平方项相减的结构，符合平方差公式的特征，因此第一步优先用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，其中$a=4x+y$，$b=3y$。分解后先合并同类项、提取公因式化简，观察化简结果可发现式子包含$x+y$、$2x-y$的结构，结合已知条件只需将$2x-y$变形为$-(y-2x)$，就可以整体代入求值，无需单独计算$x$、$y$的值，能简化运算。
【解析】
先对原式因式分解：
$\begin{aligned}(4x+y)^2 -9y^2&=(4x+y)^2-(3y)^2\\&=(4x+y+3y)(4x+y-3y)\\&=(4x+4y)(4x-2y)\\&=4(x+y)· 2(2x-y)\\&=8(x+y)(2x-y)\end{aligned}$
由$y-2x=3$，变形可得$2x-y=-(y-2x)=-3$。
将$x+y=2$，$2x-y=-3$代入化简后的式子：
原式$=8×2×(-3)=-48$
【答案】
$-48$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法，整体代入求值
【点评】
本题结合因式分解与代数式求值考查，解题核心是先利用平方差公式分解因式，再通过整体代入已知条件计算，避免了单独求解$x$、$y$的繁琐运算，需要注意$2x-y$变形时的符号问题，能检验学生对因式分解公式的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察待处理的式子，是两个平方项相减的结构，符合平方差公式的特征，因此第一步优先用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，其中$a=4x+y$，$b=3y$。分解后先合并同类项、提取公因式化简，观察化简结果可发现式子包含$x+y$、$2x-y$的结构，结合已知条件只需将$2x-y$变形为$-(y-2x)$，就可以整体代入求值，无需单独计算$x$、$y$的值，能简化运算。
【解析】
先对原式因式分解：
$\begin{aligned}(4x+y)^2 -9y^2&=(4x+y)^2-(3y)^2\\&=(4x+y+3y)(4x+y-3y)\\&=(4x+4y)(4x-2y)\\&=4(x+y)· 2(2x-y)\\&=8(x+y)(2x-y)\end{aligned}$
由$y-2x=3$，变形可得$2x-y=-(y-2x)=-3$。
将$x+y=2$，$2x-y=-3$代入化简后的式子：
原式$=8×2×(-3)=-48$
【答案】
$-48$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法，整体代入求值
【点评】
本题结合因式分解与代数式求值考查，解题核心是先利用平方差公式分解因式，再通过整体代入已知条件计算，避免了单独求解$x$、$y$的繁琐运算，需要注意$2x-y$变形时的符号问题，能检验学生对因式分解公式的掌握程度和整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 对多项式$4x^2 -1$进行因式分解，正确的是().
A.$4x^2 -1=(x+1)(x-1)$
B.$4x^2 -1=(2x+1)(2x-1)$
C.$4x^2 -1=(4x+1)(4x-1)$
D.$4x^2 -1=(1+2x)(1-2x)$
A.$4x^2 -1=(x+1)(x-1)$
B.$4x^2 -1=(2x+1)(2x-1)$
C.$4x^2 -1=(4x+1)(4x-1)$
D.$4x^2 -1=(1+2x)(1-2x)$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道因式分解题，首先观察多项式特征：$4x^2 -1$是两项式，两项都可写成平方形式且符号相反，符合平方差公式分解因式的条件。平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，只需确定公式中对应的$a$、$b$，代入公式得到分解结果后和选项对比即可；也可以通过将各选项右边的整式乘积展开，和原式对比判断对错。
【解析】
平方差公式的因式分解形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
首先将多项式变形为平方差的标准形式：
$4x^2 -1 = (2x)^2 - 1^2$
可得对应公式中的$a=2x$，$b=1$，代入公式得：
$4x^2 -1=(2x+1)(2x-1)$
也可通过展开选项验证：
A选项：$(x+1)(x-1)=x^2-1≠4x^2-1$，错误；
B选项：$(2x+1)(2x-1)=4x^2-2x+2x-1=4x^2-1$，正确；
C选项：$(4x+1)(4x-1)=16x^2-1≠4x^2-1$，错误；
D选项：$(1+2x)(1-2x)=1-4x^2≠4x^2-1$，错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解验证
【点评】
这道题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，解题时要准确识别两个平方项对应的底数，避免误将$4x^2$的底数认作$4x$，也可以通过整式乘法反向验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
要解决这道因式分解题，首先观察多项式特征：$4x^2 -1$是两项式，两项都可写成平方形式且符号相反，符合平方差公式分解因式的条件。平方差公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，只需确定公式中对应的$a$、$b$，代入公式得到分解结果后和选项对比即可；也可以通过将各选项右边的整式乘积展开，和原式对比判断对错。
【解析】
平方差公式的因式分解形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
首先将多项式变形为平方差的标准形式：
$4x^2 -1 = (2x)^2 - 1^2$
可得对应公式中的$a=2x$，$b=1$，代入公式得：
$4x^2 -1=(2x+1)(2x-1)$
也可通过展开选项验证：
A选项：$(x+1)(x-1)=x^2-1≠4x^2-1$，错误；
B选项：$(2x+1)(2x-1)=4x^2-2x+2x-1=4x^2-1$，正确；
C选项：$(4x+1)(4x-1)=16x^2-1≠4x^2-1$，错误；
D选项：$(1+2x)(1-2x)=1-4x^2≠4x^2-1$，错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解验证
【点评】
这道题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构的识别与应用，解题时要准确识别两个平方项对应的底数，避免误将$4x^2$的底数认作$4x$，也可以通过整式乘法反向验证结果，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是().
A.$4x^2 + y^2$
B.$-4x^2 - y^2$
C.$-4x^2 + y^2$
D.$-4x + y^2$
A.$4x^2 + y^2$
B.$-4x^2 - y^2$
C.$-4x^2 + y^2$
D.$-4x + y^2$
答案
C
解析
【分析】
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式是二项式；②两项都能写成某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。解题时我们只需对照这三个条件逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
A. $4x^2 + y^2$：两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解；
B. $-4x^2 - y^2 = -(4x^2 + y^2)$：变形后括号内两项均为正号，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解；
C. $-4x^2 + y^2 = y^2 - (2x)^2$：是二项式，两项均为整式的平方，且符号一正一负，符合平方差公式结构，可分解为$(y+2x)(y-2x)$，符合要求；
D. $-4x + y^2$：其中$-4x$不能表示为某个整式的平方，不符合条件，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式平方的识别
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，解题的核心是牢记平方差公式“两个平方项，符号相反”的结构特征，属于基础题，熟练掌握公式结构即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断多项式能否用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：①多项式是二项式；②两项都能写成某个整式的平方的形式；③两项的符号相反（一正一负）。解题时我们只需对照这三个条件逐一分析每个选项即可得出正确答案。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，我们逐个分析选项：
A. $4x^2 + y^2$：两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解；
B. $-4x^2 - y^2 = -(4x^2 + y^2)$：变形后括号内两项均为正号，符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解；
C. $-4x^2 + y^2 = y^2 - (2x)^2$：是二项式，两项均为整式的平方，且符号一正一负，符合平方差公式结构，可分解为$(y+2x)(y-2x)$，符合要求；
D. $-4x + y^2$：其中$-4x$不能表示为某个整式的平方，不符合条件，不能用平方差公式分解。
综上，符合要求的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 整式平方的识别
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，解题的核心是牢记平方差公式“两个平方项，符号相反”的结构特征，属于基础题，熟练掌握公式结构即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式: $16m^2 -9n^2 =$ 。
答案
解：
$16m^2 - 9n^2$
$=(4m)^2 - (3n)^2$
$=(4m + 3n)(4m - 3n)$
$16m^2 - 9n^2$
$=(4m)^2 - (3n)^2$
$=(4m + 3n)(4m - 3n)$
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式，它由两项组成，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式分解因式的结构特征$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。接下来确定公式中对应的$a$和$b$：$16m^2=(4m)^2$，即$a=4m$；$9n^2=(3n)^2$，即$b=3n$，代入平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
$16m^2 - 9n^2$
$=(4m)^2 - (3n)^2$
$=(4m + 3n)(4m - 3n)$
【答案】
$(4m+3n)(4m-3n)$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题时先判断多项式是否满足平方差的形式，找准对应的两项即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的多项式，它由两项组成，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式分解因式的结构特征$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。接下来确定公式中对应的$a$和$b$：$16m^2=(4m)^2$，即$a=4m$；$9n^2=(3n)^2$，即$b=3n$，代入平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
$16m^2 - 9n^2$
$=(4m)^2 - (3n)^2$
$=(4m + 3n)(4m - 3n)$
【答案】
$(4m+3n)(4m-3n)$
【知识点】
因式分解；平方差公式
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查对平方差公式结构的识别能力，解题时先判断多项式是否满足平方差的形式，找准对应的两项即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9
