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4. 把$-9x^3 +6x^2 -3x$分解因式时，提出公因式后，另一个因式是().
A.$3x^2 -2x$
B.$3x^2 -2x -1$
C.$-9x^2 +6x$
D.$3x^2 -2x +1$
A.$3x^2 -2x$
B.$3x^2 -2x -1$
C.$-9x^2 +6x$
D.$3x^2 -2x +1$
答案
D
解析
【分析】
解决本题首先要明确提公因式法分解因式的步骤：第一步先确定多项式各项的公因式，先找各项系数绝对值的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，若多项式首项系数为负，通常将负号也纳入公因式中；确定公因式后，用多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果就是提公因式后剩下的另一个因式，最后匹配选项即可。
【解析】
首先确定多项式$-9x^3 +6x^2 -3x$的公因式：
1. 系数部分：各项系数为$-9、6、-3$，绝对值的最大公约数是$3$，因首项系数为负，公因式系数取$-3$；
2. 字母部分：各项都含有字母$x$，$x$的最低次数是$1$，因此公因式为$-3x$。
接下来用多项式的每一项除以公因式$-3x$，计算另一个因式：
第一项：$-9x^3 ÷ (-3x) = 3x^2$
第二项：$6x^2 ÷ (-3x) = -2x$
第三项：$-3x ÷ (-3x) = 1$
因此提公因式后原式可写为$-3x(3x^2 - 2x + 1)$，另一个因式为$3x^2 - 2x + 1$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础考查，解题核心是准确确定公因式，计算时要特别注意每一项的符号，避免因符号出错选错答案。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确提公因式法分解因式的步骤：第一步先确定多项式各项的公因式，先找各项系数绝对值的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，若多项式首项系数为负，通常将负号也纳入公因式中；确定公因式后，用多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果就是提公因式后剩下的另一个因式，最后匹配选项即可。
【解析】
首先确定多项式$-9x^3 +6x^2 -3x$的公因式：
1. 系数部分：各项系数为$-9、6、-3$，绝对值的最大公约数是$3$，因首项系数为负，公因式系数取$-3$；
2. 字母部分：各项都含有字母$x$，$x$的最低次数是$1$，因此公因式为$-3x$。
接下来用多项式的每一项除以公因式$-3x$，计算另一个因式：
第一项：$-9x^3 ÷ (-3x) = 3x^2$
第二项：$6x^2 ÷ (-3x) = -2x$
第三项：$-3x ÷ (-3x) = 1$
因此提公因式后原式可写为$-3x(3x^2 - 2x + 1)$，另一个因式为$3x^2 - 2x + 1$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础考查，解题核心是准确确定公因式，计算时要特别注意每一项的符号，避免因符号出错选错答案。
【难度系数】
0.8
5. 分解因式：
(1)$3m^2 -6m=$；
(2)$4x^2y -12xy=$。
(1)$3m^2 -6m=$；
(2)$4x^2y -12xy=$。
答案
(1) $\boldsymbol{3m(m-2)}$
(2) $\boldsymbol{4xy(x-3)}$
(2) $\boldsymbol{4xy(x-3)}$
解析
【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先要确定多项式各项的公因式，公因式的确定规则：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的。确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的因式即可，注意提取公因式后剩余的项数与原多项式项数一致。
(1)小题中，多项式$3m^2-6m$的系数3和-6的最大公约数是3，两项都含有的字母是m，m的最低次数是1，因此公因式为3m，提取后即可得到结果。
(2)小题中，多项式$4x^2y-12xy$的系数4和-12的最大公约数是4，两项都含有的字母是x、y，x的最低次数是1，y的最低次数是1，因此公因式为4xy，提取后即可得到结果。
【解析】
(1) 先确定公因式为$3m$，提取公因式：
$3m^2 -6m = 3m · m - 3m · 2 = 3m(m-2)$
(2) 先确定公因式为$4xy$，提取公因式：
$4x^2y -12xy = 4xy · x - 4xy · 3 = 4xy(x-3)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3m(m-2)}$；(2) $\boldsymbol{4xy(x-3)}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式 2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，提取公因式时要注意不要漏项，提取后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：首先要确定多项式各项的公因式，公因式的确定规则：①系数取各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的。确定公因式后，将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，得到的结果作为括号内的因式即可，注意提取公因式后剩余的项数与原多项式项数一致。
(1)小题中，多项式$3m^2-6m$的系数3和-6的最大公约数是3，两项都含有的字母是m，m的最低次数是1，因此公因式为3m，提取后即可得到结果。
(2)小题中，多项式$4x^2y-12xy$的系数4和-12的最大公约数是4，两项都含有的字母是x、y，x的最低次数是1，y的最低次数是1，因此公因式为4xy，提取后即可得到结果。
【解析】
(1) 先确定公因式为$3m$，提取公因式：
$3m^2 -6m = 3m · m - 3m · 2 = 3m(m-2)$
(2) 先确定公因式为$4xy$，提取公因式：
$4x^2y -12xy = 4xy · x - 4xy · 3 = 4xy(x-3)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{3m(m-2)}$；(2) $\boldsymbol{4xy(x-3)}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式 2. 公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键，提取公因式时要注意不要漏项，提取后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.8
6. 把$5(a-b)+m(b-a)$提公因式后一个因式是$(a-b)$，则另一个因式是().
A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
A.$5-m$
B.$5+m$
C.$m-5$
D.$-m-5$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先观察原式的两个项，已知公因式是$(a-b)$，因此需要先将式子中$(b-a)$转化为与$(a-b)$相关的形式：因为$b-a = -(a-b)$，将原式变形为都含有因式$(a-b)$的形式，再提取公因式$(a-b)$，剩下的部分合并后就是另一个因式。
【解析】
首先对原式进行变形：
∵ $ b-a = -(a-b) $
∴ 原式 $ =5(a-b) + m·[-(a-b)] = 5(a-b) - m(a-b) $
提取公因式$ (a-b) $，可得：
$ 5(a-b) - m(a-b) = (a-b)(5 - m) $
已知一个因式是$ (a-b) $，因此另一个因式是$ 5-m $。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式恒等变形
【点评】
本题属于提公因式法因式分解的常规题型，解题的关键是掌握互为相反数的多项式的变形方法，避免符号处理错误，提取公因式后注意合并剩余的项即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察原式的两个项，已知公因式是$(a-b)$，因此需要先将式子中$(b-a)$转化为与$(a-b)$相关的形式：因为$b-a = -(a-b)$，将原式变形为都含有因式$(a-b)$的形式，再提取公因式$(a-b)$，剩下的部分合并后就是另一个因式。
【解析】
首先对原式进行变形：
∵ $ b-a = -(a-b) $
∴ 原式 $ =5(a-b) + m·[-(a-b)] = 5(a-b) - m(a-b) $
提取公因式$ (a-b) $，可得：
$ 5(a-b) - m(a-b) = (a-b)(5 - m) $
已知一个因式是$ (a-b) $，因此另一个因式是$ 5-m $。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式恒等变形
【点评】
本题属于提公因式法因式分解的常规题型，解题的关键是掌握互为相反数的多项式的变形方法，避免符号处理错误，提取公因式后注意合并剩余的项即可得到结果。
【难度系数】
0.8
7. 分解因式：
(1) $2x(x+y)-6(x+y)$;
(2) $m(a-3)+2m^2(3-a)$.
(1) $2x(x+y)-6(x+y)$;
(2) $m(a-3)+2m^2(3-a)$.
答案
解：
(1) $2x(x+y)-6(x+y)$
$=2(x+y)· x - 2(x+y)· 3$
$=2(x+y)(x-3)$
(2) $m(a-3)+2m^2(3-a)$
$=m(a-3)-2m^2(a-3)$
$=m(a-3)· 1 - m(a-3)· 2m$
$=m(a-3)(1-2m)$
(1) $2x(x+y)-6(x+y)$
$=2(x+y)· x - 2(x+y)· 3$
$=2(x+y)(x-3)$
(2) $m(a-3)+2m^2(3-a)$
$=m(a-3)-2m^2(a-3)$
$=m(a-3)· 1 - m(a-3)· 2m$
$=m(a-3)(1-2m)$
解析
【分析】
这两道题都考查提公因式法分解因式，解题思路如下：
（1）先观察多项式的两项，系数的最大公约数是2，两项都含相同的多项式因式$(x+y)$，因此公因式为$2(x+y)$，提取公因式后整理剩余项即可。
（2）首先注意到两项中的因式$(a-3)$和$(3-a)$互为相反数，先将$(3-a)$变形为$-(a-3)$，统一两项的公共因式，此时公因式为$m(a-3)$，提取公因式后整理剩余项即可，注意提取公因式后剩余的项“1”不能遗漏。
【解析】
(1) $2x(x+y)-6(x+y)$
$=2(x+y)· x - 2(x+y)· 3$
$=2(x+y)(x-3)$
(2) $m(a-3)+2m^2(3-a)$
$=m(a-3)-2m^2(a-3)$
$=m(a-3)· 1 - m(a-3)· 2m$
$=m(a-3)(1-2m)$
【答案】
(1) $2(x+y)(x-3)$；(2) $m(a-3)(1-2m)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.公因式的确定
3.代数式符号变换
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的基础常规题型，重点考查公因式的识别与提取，解题时需注意：若多项式中存在互为相反数的因式，要先统一因式形式再提取公因式，提取公因式后剩余的项不能漏写，同时要注意符号变化避免出错。
【难度系数】
0.75
这两道题都考查提公因式法分解因式，解题思路如下：
（1）先观察多项式的两项，系数的最大公约数是2，两项都含相同的多项式因式$(x+y)$，因此公因式为$2(x+y)$，提取公因式后整理剩余项即可。
（2）首先注意到两项中的因式$(a-3)$和$(3-a)$互为相反数，先将$(3-a)$变形为$-(a-3)$，统一两项的公共因式，此时公因式为$m(a-3)$，提取公因式后整理剩余项即可，注意提取公因式后剩余的项“1”不能遗漏。
【解析】
(1) $2x(x+y)-6(x+y)$
$=2(x+y)· x - 2(x+y)· 3$
$=2(x+y)(x-3)$
(2) $m(a-3)+2m^2(3-a)$
$=m(a-3)-2m^2(a-3)$
$=m(a-3)· 1 - m(a-3)· 2m$
$=m(a-3)(1-2m)$
【答案】
(1) $2(x+y)(x-3)$；(2) $m(a-3)(1-2m)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.公因式的确定
3.代数式符号变换
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的基础常规题型，重点考查公因式的识别与提取，解题时需注意：若多项式中存在互为相反数的因式，要先统一因式形式再提取公因式，提取公因式后剩余的项不能漏写，同时要注意符号变化避免出错。
【难度系数】
0.75
8. 将多项式$(a-1)^2 -a +1$分解因式,结果正确的是().
A.$a-1$
B.$(a-1)(a-2)$
C.$(a-1)^2$
D.$(a+1)(a-1)$
A.$a-1$
B.$(a-1)(a-2)$
C.$(a-1)^2$
D.$(a+1)(a-1)$
答案
B
解析
【分析】
要对该多项式分解因式，首先观察式子结构，发现前项是$(a-1)^2$，后两项$-a+1$可以变形为$-(a-1)$，此时整个多项式就有了公因式$(a-1)$，接下来只需要提取公因式，再对余下的部分化简即可得到分解结果，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
第一步：对多项式后两项变形，将$-a+1$改写为$-(a-1)$，则原式可写为：
$(a-1)^2 - (a-1)$
第二步：提取公因式$(a-1)$，可得：
$(a-1)[(a-1) - 1]$
第三步：化简括号内的式子：
$(a-1)(a-1-1)=(a-1)(a-2)$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，添括号法则
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题关键是通过变形找出多项式的公因式，处理符号时要注意不要出错，掌握提公因式的基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要对该多项式分解因式，首先观察式子结构，发现前项是$(a-1)^2$，后两项$-a+1$可以变形为$-(a-1)$，此时整个多项式就有了公因式$(a-1)$，接下来只需要提取公因式，再对余下的部分化简即可得到分解结果，最后对应选项选出正确答案。
【解析】
第一步：对多项式后两项变形，将$-a+1$改写为$-(a-1)$，则原式可写为：
$(a-1)^2 - (a-1)$
第二步：提取公因式$(a-1)$，可得：
$(a-1)[(a-1) - 1]$
第三步：化简括号内的式子：
$(a-1)(a-1-1)=(a-1)(a-2)$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，添括号法则
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，解题关键是通过变形找出多项式的公因式，处理符号时要注意不要出错，掌握提公因式的基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9.如果$a - b = 3$，$ab = 7$，那么$a^2 b - a b^2$的值是().
A.−21
B.−10
C.21
D.10
A.−21
B.−10
C.21
D.10
答案
C
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2b - ab^2$的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提公因式法对代数式进行因式分解，分解后观察到式子可转化为含已知条件$a-b$和$ab$的形式，无需单独计算$a$、$b$的具体值，直接整体代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
已知$a - b = 3$，$ab = 7$，将其整体代入上式可得：
原式$= 7×3 = 21$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的基础应用，解题关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用整体代入思想可避免复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$a^2b - ab^2$的结构，发现两项都含有公因式$ab$，因此可以先通过提公因式法对代数式进行因式分解，分解后观察到式子可转化为含已知条件$a-b$和$ab$的形式，无需单独计算$a$、$b$的具体值，直接整体代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
已知$a - b = 3$，$ab = 7$，将其整体代入上式可得：
原式$= 7×3 = 21$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法因式分解；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的基础应用，解题关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用整体代入思想可避免复杂计算，快速得到结果。
【难度系数】
0.8
10. 分解因式：
(1)$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z-12xy^{2}z$；
(2)$5x(x-2y)^{3}-20y(2y-x)^{3}$。
(1)$4x^{2}y^{3}+8x^{2}y^{2}z-12xy^{2}z$；
(2)$5x(x-2y)^{3}-20y(2y-x)^{3}$。
答案
解：
(1) 原式 = 4xy²·xy + 4xy²·2xz - 4xy²·3z
= 4xy²(xy + 2xz - 3z)
(2) 原式 = 5x(x-2y)³ - 20y·[-(x-2y)³]
= 5x(x-2y)³ + 20y(x-2y)³
= 5(x-2y)³·x + 5(x-2y)³·4y
= 5(x-2y)³(x + 4y)
(1) 原式 = 4xy²·xy + 4xy²·2xz - 4xy²·3z
= 4xy²(xy + 2xz - 3z)
(2) 原式 = 5x(x-2y)³ - 20y·[-(x-2y)³]
= 5x(x-2y)³ + 20y(x-2y)³
= 5(x-2y)³·x + 5(x-2y)³·4y
= 5(x-2y)³(x + 4y)
解析
【分析】
这两道因式分解题均使用提公因式法求解，解题思路如下：①找公因式：先确定各项系数的最大公约数，再提取各项都含有的相同因式的最低次幂，两者乘积即为公因式；②提取公因式：将原式变形为公因式乘剩余多项式的形式。其中第(2)题需注意：(x-2y)与(2y-x)互为相反数，奇数次幂满足$(2y-x)^3=-(x-2y)^3$，先统一底数再找公因式即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$4xy^2$，将各项拆分为公因式乘剩余项的形式：
原式 $= 4xy^2·xy + 4xy^2·2xz - 4xy^2·3z$
提取公因式$4xy^2$得：$= 4xy^2(xy + 2xz - 3z)$
(2) 先统一底数，将$(2y-x)^3$转化为$-(x-2y)^3$：
原式 $= 5x(x-2y)^3 - 20y·[-(x-2y)^3]$
化简符号得：$= 5x(x-2y)^3 + 20y(x-2y)^3$
确定公因式为$5(x-2y)^3$，拆分各项得：$= 5(x-2y)^3·x + 5(x-2y)^3·4y$
提取公因式得：$= 5(x-2y)^3(x + 4y)$
【答案】
(1) $4xy^2(xy + 2xz - 3z)$；(2) $5(x-2y)^3(x + 4y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；奇次幂的符号变换
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，解题核心是准确确定公因式，遇到底数互为相反数的幂时，要先根据幂的运算性质统一底数，注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这两道因式分解题均使用提公因式法求解，解题思路如下：①找公因式：先确定各项系数的最大公约数，再提取各项都含有的相同因式的最低次幂，两者乘积即为公因式；②提取公因式：将原式变形为公因式乘剩余多项式的形式。其中第(2)题需注意：(x-2y)与(2y-x)互为相反数，奇数次幂满足$(2y-x)^3=-(x-2y)^3$，先统一底数再找公因式即可。
【解析】
(1) 先确定公因式为$4xy^2$，将各项拆分为公因式乘剩余项的形式：
原式 $= 4xy^2·xy + 4xy^2·2xz - 4xy^2·3z$
提取公因式$4xy^2$得：$= 4xy^2(xy + 2xz - 3z)$
(2) 先统一底数，将$(2y-x)^3$转化为$-(x-2y)^3$：
原式 $= 5x(x-2y)^3 - 20y·[-(x-2y)^3]$
化简符号得：$= 5x(x-2y)^3 + 20y(x-2y)^3$
确定公因式为$5(x-2y)^3$，拆分各项得：$= 5(x-2y)^3·x + 5(x-2y)^3·4y$
提取公因式得：$= 5(x-2y)^3(x + 4y)$
【答案】
(1) $4xy^2(xy + 2xz - 3z)$；(2) $5(x-2y)^3(x + 4y)$
【知识点】
提公因式法分解因式；奇次幂的符号变换
【点评】
本题是提公因式法分解因式的常规题型，解题核心是准确确定公因式，遇到底数互为相反数的幂时，要先根据幂的运算性质统一底数，注意符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
11. (1)先分解因式,再求值:$5x(a-2)+4x(2-a)$,其中$x=0.4,a=102$;
(2)已知$2x-y=\frac{1}{3},xy=3$,求$2x^4y^3 -x^3y^4$的值.
(2)已知$2x-y=\frac{1}{3},xy=3$,求$2x^4y^3 -x^3y^4$的值.
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}5x(a-2)+4x(2-a)&=5x(a-2)-4x(a-2)\\&=x(a-2)(5-4)\\&=x(a-2)\end{aligned}$
当$x=0.4$，$a=102$时，
原式$=0.4×(102-2)=0.4×100=40$。
(2)
$\begin{aligned}2x^4y^3 - x^3y^4&=x^3y^3· 2x - x^3y^3· y\\&=x^3y^3(2x-y)\\&=(xy)^3(2x-y)\end{aligned}$
当$2x-y=\frac{1}{3}$，$xy=3$时，
原式$=3^3×\frac{1}{3}=27×\frac{1}{3}=9$。
(1)
$\begin{aligned}5x(a-2)+4x(2-a)&=5x(a-2)-4x(a-2)\\&=x(a-2)(5-4)\\&=x(a-2)\end{aligned}$
当$x=0.4$，$a=102$时，
原式$=0.4×(102-2)=0.4×100=40$。
(2)
$\begin{aligned}2x^4y^3 - x^3y^4&=x^3y^3· 2x - x^3y^3· y\\&=x^3y^3(2x-y)\\&=(xy)^3(2x-y)\end{aligned}$
当$2x-y=\frac{1}{3}$，$xy=3$时，
原式$=3^3×\frac{1}{3}=27×\frac{1}{3}=9$。
解析
【分析】
(1) 解题时先观察式子特点，发现两项中含有的因式$(a-2)$和$(2-a)$互为相反数，可先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，找到公因式$x(a-2)$，提取公因式化简后再代入数值计算，能避免直接代入的复杂运算。
(2) 观察所求代数式的结构，两项的公因式为$x^3y^3$，先提取公因式，再结合积的乘方的逆运算将公因式转化为$(xy)^3$，此时代数式化简为已知条件$2x-y$和$xy$的组合形式，直接代入已知值即可求解，无需单独计算$x$、$y$的数值。
【解析】
(1) 先对式子因式分解：
$\begin{aligned}5x(a-2)+4x(2-a)&=5x(a-2)-4x(a-2)\\&=x(a-2)(5-4)\\&=x(a-2)\end{aligned}$
当$x=0.4$，$a=102$时，代入化简后的式子：
原式$=0.4×(102-2)=0.4×100=40$。
(2) 先对式子因式分解：
$\begin{aligned}2x^4y^3 - x^3y^4&=x^3y^3· 2x - x^3y^3· y\\&=x^3y^3(2x-y)\\&=(xy)^3(2x-y)\end{aligned}$
当$2x-y=\frac{1}{3}$，$xy=3$时，代入化简后的式子：
原式$=3^3×\frac{1}{3}=27×\frac{1}{3}=9$。
【答案】
(1) $40$；(2) $9$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；积的乘方逆运算
【点评】
这两道题均采用“先因式分解化简，再代入求值”的思路，相比直接代入原式计算大幅降低了运算量，考查了提公因式法的灵活应用，解题时要注意互为相反数的因式可转化为相同公因式，熟练运用因式分解简化运算。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时先观察式子特点，发现两项中含有的因式$(a-2)$和$(2-a)$互为相反数，可先将$(2-a)$变形为$-(a-2)$，找到公因式$x(a-2)$，提取公因式化简后再代入数值计算，能避免直接代入的复杂运算。
(2) 观察所求代数式的结构，两项的公因式为$x^3y^3$，先提取公因式，再结合积的乘方的逆运算将公因式转化为$(xy)^3$，此时代数式化简为已知条件$2x-y$和$xy$的组合形式，直接代入已知值即可求解，无需单独计算$x$、$y$的数值。
【解析】
(1) 先对式子因式分解：
$\begin{aligned}5x(a-2)+4x(2-a)&=5x(a-2)-4x(a-2)\\&=x(a-2)(5-4)\\&=x(a-2)\end{aligned}$
当$x=0.4$，$a=102$时，代入化简后的式子：
原式$=0.4×(102-2)=0.4×100=40$。
(2) 先对式子因式分解：
$\begin{aligned}2x^4y^3 - x^3y^4&=x^3y^3· 2x - x^3y^3· y\\&=x^3y^3(2x-y)\\&=(xy)^3(2x-y)\end{aligned}$
当$2x-y=\frac{1}{3}$，$xy=3$时，代入化简后的式子：
原式$=3^3×\frac{1}{3}=27×\frac{1}{3}=9$。
【答案】
(1) $40$；(2) $9$
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；积的乘方逆运算
【点评】
这两道题均采用“先因式分解化简，再代入求值”的思路，相比直接代入原式计算大幅降低了运算量，考查了提公因式法的灵活应用，解题时要注意互为相反数的因式可转化为相同公因式，熟练运用因式分解简化运算。
【难度系数】
0.8
12. (推理能力)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)$
$=(1+x)^3.$
(1)上述分解因式的方法是,共用了次;
(2)若分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2026}$,则结果是;
(3)依照上述方法分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$($n$为正整数).
$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)]$
$=(1+x)^2(1+x)$
$=(1+x)^3.$
(1)上述分解因式的方法是,共用了次;
(2)若分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^{2026}$,则结果是;
(3)依照上述方法分解因式$1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+···+x(x+1)^n$($n$为正整数).
答案
解：
(1) 提公因式法；2
(2) $(1+x)^{2027}$
(3) $1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-2}]$
$\dots$
$=(1+x)^n(1+x)$
$=(1+x)^{n+1}$
(1) 提公因式法；2
(2) $(1+x)^{2027}$
(3) $1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n$
$=(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-1}]$
$=(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-2}]$
$\dots$
$=(1+x)^n(1+x)$
$=(1+x)^{n+1}$
解析
【分析】
首先解决第(1)问：观察给出的因式分解过程，每一步都在提取公因式$(1+x)$，可判断所用方法；再逐次数提取公因式的次数即可得到答案。
接着解决第(2)问：先从例题找规律，例题中原式最高次项为$x(x+1)^2$，分解结果为$(1+x)^{2+1}=(1+x)^3$，可总结出规律：若原式最高次项为$x(x+1)^k$，则分解结果为$(1+x)^{k+1}$，代入本题最高次的指数即可得结果。
最后解决第(3)问：仿照例题步骤，每次提取公因式$(1+x)$，每提取1次，$(1+x)$的指数加1，括号内最高次项的指数减1，重复提取n次后即可得到最终结果。
【解析】
(1) 观察分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，因此分解因式的方法是提公因式法；第一次对原式提取公因式得到$(1+x)[1+x+x(x+1)]$，第二次对括号内的式子再次提取公因式，一共使用了2次提公因式法。
(2) 根据例题总结的规律：原式中$(1+x)$的最高次为$m$时，分解结果为$(1+x)^{m+1}$，本题中$(1+x)$的最高次是2026，因此分解结果为$(1+x)^{2026+1}=(1+x)^{2027}$。
(3) 多次提取公因式$(1+x)$，步骤如下：
$\begin{aligned}&1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n\\=&(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-1}]\\=&(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-2}]\\&\dots\\=&(1+x)^n(1+x)\\=&(1+x)^{n+1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 提公因式法；2
(2) $(1+x)^{2027}$
(3) $(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法因式分解；规律探究
【点评】
本题结合因式分解考查归纳推理能力，解题核心是熟练掌握提公因式法的操作步骤，通过观察例题的分解过程总结指数变化规律，能有效巩固提公因式法的应用，提升从特殊到一般的归纳能力。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：观察给出的因式分解过程，每一步都在提取公因式$(1+x)$，可判断所用方法；再逐次数提取公因式的次数即可得到答案。
接着解决第(2)问：先从例题找规律，例题中原式最高次项为$x(x+1)^2$，分解结果为$(1+x)^{2+1}=(1+x)^3$，可总结出规律：若原式最高次项为$x(x+1)^k$，则分解结果为$(1+x)^{k+1}$，代入本题最高次的指数即可得结果。
最后解决第(3)问：仿照例题步骤，每次提取公因式$(1+x)$，每提取1次，$(1+x)$的指数加1，括号内最高次项的指数减1，重复提取n次后即可得到最终结果。
【解析】
(1) 观察分解过程，每一步都是提取公因式$(1+x)$，因此分解因式的方法是提公因式法；第一次对原式提取公因式得到$(1+x)[1+x+x(x+1)]$，第二次对括号内的式子再次提取公因式，一共使用了2次提公因式法。
(2) 根据例题总结的规律：原式中$(1+x)$的最高次为$m$时，分解结果为$(1+x)^{m+1}$，本题中$(1+x)$的最高次是2026，因此分解结果为$(1+x)^{2026+1}=(1+x)^{2027}$。
(3) 多次提取公因式$(1+x)$，步骤如下：
$\begin{aligned}&1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^n\\=&(1+x)[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-1}]\\=&(1+x)^2[1+x+x(x+1)+x(x+1)^2+\dots+x(x+1)^{n-2}]\\&\dots\\=&(1+x)^n(1+x)\\=&(1+x)^{n+1}\end{aligned}$
【答案】
(1) 提公因式法；2
(2) $(1+x)^{2027}$
(3) $(1+x)^{n+1}$
【知识点】
提公因式法因式分解；规律探究
【点评】
本题结合因式分解考查归纳推理能力，解题核心是熟练掌握提公因式法的操作步骤，通过观察例题的分解过程总结指数变化规律，能有效巩固提公因式法的应用，提升从特殊到一般的归纳能力。
【难度系数】
0.7
