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4.分解因式:$(3n+1)^2 -25=$
.
.
答案
$\boldsymbol{3(n+2)(3n-4)}$
解析
【分析】
观察待分解的式子，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式分解因式的结构特征。首先确定平方差公式中的a和b：a为$3n+1$，b为5，先套用平方差公式分解为两个整式的乘积，再检查分解得到的每个整式是否还能继续分解，若有公因式则提取公因式，直到不能再分解为止。
【解析】
解：原式$=(3n+1)^2 - 5^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$=[(3n+1)+5][(3n+1)-5]$
分别化简两个括号内的整式：
$=(3n+6)(3n-4)$
对第一个括号提取公因式3：
$=3(n+2)(3n-4)$
【答案】
$\boldsymbol{3(n+2)(3n-4)}$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题的关键是先识别式子的结构，优先套用对应的公式分解，之后要注意检查结果是否分解彻底，不能遗漏公因式的提取。
【难度系数】
0.7
观察待分解的式子，发现是两个平方项作差的形式，符合平方差公式分解因式的结构特征。首先确定平方差公式中的a和b：a为$3n+1$，b为5，先套用平方差公式分解为两个整式的乘积，再检查分解得到的每个整式是否还能继续分解，若有公因式则提取公因式，直到不能再分解为止。
【解析】
解：原式$=(3n+1)^2 - 5^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
$=[(3n+1)+5][(3n+1)-5]$
分别化简两个括号内的整式：
$=(3n+6)(3n-4)$
对第一个括号提取公因式3：
$=3(n+2)(3n-4)$
【答案】
$\boldsymbol{3(n+2)(3n-4)}$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题的关键是先识别式子的结构，优先套用对应的公式分解，之后要注意检查结果是否分解彻底，不能遗漏公因式的提取。
【难度系数】
0.7
5. 分解因式:
(1)$9x^2 - \frac{1}{4}y^2$;
(2)$(x+2y)^2 -9z^2$;
(3)$(x+2y)^2 -(x-y)^2$.
(1)$9x^2 - \frac{1}{4}y^2$;
(2)$(x+2y)^2 -9z^2$;
(3)$(x+2y)^2 -(x-y)^2$.
答案
解：
(1) 原式$=(3x)^2 - (\frac{1}{2}y)^2$
$=(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(2) 原式$=(x+2y)^2 - (3z)^2$
$=(x+2y+3z)(x+2y-3z)$
(3) 原式$=[(x+2y)+(x-y)][(x+2y)-(x-y)]$
$=(2x+y)· 3y$
$=3y(2x+y)$
(1) 原式$=(3x)^2 - (\frac{1}{2}y)^2$
$=(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(2) 原式$=(x+2y)^2 - (3z)^2$
$=(x+2y+3z)(x+2y-3z)$
(3) 原式$=[(x+2y)+(x-y)][(x+2y)-(x-y)]$
$=(2x+y)· 3y$
$=3y(2x+y)$
解析
【分析】
这三道题均考查用平方差公式分解因式，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，解题时先判断式子是否符合“两个式子的平方差”的结构，再对应求解：
1. 第(1)题：先将两个项分别写成平方的形式，确定对应公式中的$a$、$b$，再直接套用公式；
2. 第(2)题：把$x+2y$看作一个整体当作公式中的$a$，把$3z$当作公式中的$b$，直接套用公式即可；
3. 第(3)题：分别把$x+2y$和$x-y$看作整体对应公式中的$a$和$b$，套用平方差公式后，再合并同类项，将结果化为最简形式。
【解析】
(1) 先将原式改写为平方差的形式：
原式$=(3x)^2 - (\frac{1}{2}y)^2$
根据平方差公式分解得：$=(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(2) 先整理为平方差的标准形式：
原式$=(x+2y)^2 - (3z)^2$
把$x+2y$看作整体，套用公式得：$=(x+2y+3z)(x+2y-3z)$
(3) 把两个括号内的多项式分别看作整体，套用平方差公式：
原式$=[(x+2y)+(x-y)][(x+2y)-(x-y)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x+2y+x-y=2x+y$
第二个括号：$x+2y-x+y=3y$
因此原式$=(2x+y)·3y=3y(2x+y)$
【答案】
(1)$(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(2)$(x+2y+3z)(x+2y-3z)$
(3)$3y(2x+y)$
【知识点】
平方差公式分解因式、整体思想、合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，遇到多项式项时可将其当作整体处理，分解后要注意检查结果是否最简，有无可合并的同类项。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查用平方差公式分解因式，平方差公式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，解题时先判断式子是否符合“两个式子的平方差”的结构，再对应求解：
1. 第(1)题：先将两个项分别写成平方的形式，确定对应公式中的$a$、$b$，再直接套用公式；
2. 第(2)题：把$x+2y$看作一个整体当作公式中的$a$，把$3z$当作公式中的$b$，直接套用公式即可；
3. 第(3)题：分别把$x+2y$和$x-y$看作整体对应公式中的$a$和$b$，套用平方差公式后，再合并同类项，将结果化为最简形式。
【解析】
(1) 先将原式改写为平方差的形式：
原式$=(3x)^2 - (\frac{1}{2}y)^2$
根据平方差公式分解得：$=(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(2) 先整理为平方差的标准形式：
原式$=(x+2y)^2 - (3z)^2$
把$x+2y$看作整体，套用公式得：$=(x+2y+3z)(x+2y-3z)$
(3) 把两个括号内的多项式分别看作整体，套用平方差公式：
原式$=[(x+2y)+(x-y)][(x+2y)-(x-y)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x+2y+x-y=2x+y$
第二个括号：$x+2y-x+y=3y$
因此原式$=(2x+y)·3y=3y(2x+y)$
【答案】
(1)$(3x+\frac{1}{2}y)(3x-\frac{1}{2}y)$
(2)$(x+2y+3z)(x+2y-3z)$
(3)$3y(2x+y)$
【知识点】
平方差公式分解因式、整体思想、合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，遇到多项式项时可将其当作整体处理，分解后要注意检查结果是否最简，有无可合并的同类项。
【难度系数】
0.8
1. 下列多项式中,通过因式分解可得到$(x+y)(x-y)$的是().
A.$x^2+y^2$
B.$x^2-y^2$
C.$-x^2-y^2$
D.$-x^2+y^2$
A.$x^2+y^2$
B.$x^2-y^2$
C.$-x^2-y^2$
D.$-x^2+y^2$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可从两个方向入手：一是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，将目标式$(x+y)(x-y)$展开，对比各选项找到匹配的结果；二是运用平方差公式的因式分解规则，逐一判断每个选项分解后是否符合题干要求。平方差公式分解因式的核心特征是：多项式为两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反，牢记这个特征可以快速排除错误选项。
【解析】
我们先回忆平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因式分解与整式乘法是互逆运算。
方法1：将$(x+y)(x-y)$展开计算：
$(x+y)(x-y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2$，和选项B完全一致。
方法2：逐一分析选项：
A.$x^2 + y^2$是两项同号的平方和，无法用平方差公式分解，排除；
B.$x^2 - y^2$符合平方差公式的结构，分解得$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，符合题干要求；
C.$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，无法分解为题干给出的式子，排除；
D.$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2 = (y+x)(y-x) = -(x+y)(x-y)$，与题干结果不符，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对平方差公式结构特征的理解，解题时既可以通过逆推整式乘法快速得到答案，也可以逐个分解选项验证，掌握平方差公式“两项异号、均为平方形式”的结构特点是快速解题的核心。
【难度系数】
0.85
解题思路可从两个方向入手：一是利用因式分解和整式乘法的互逆关系，将目标式$(x+y)(x-y)$展开，对比各选项找到匹配的结果；二是运用平方差公式的因式分解规则，逐一判断每个选项分解后是否符合题干要求。平方差公式分解因式的核心特征是：多项式为两项，两项都可写成平方的形式，且两项符号相反，牢记这个特征可以快速排除错误选项。
【解析】
我们先回忆平方差公式：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，因式分解与整式乘法是互逆运算。
方法1：将$(x+y)(x-y)$展开计算：
$(x+y)(x-y) = x^2 - xy + xy - y^2 = x^2 - y^2$，和选项B完全一致。
方法2：逐一分析选项：
A.$x^2 + y^2$是两项同号的平方和，无法用平方差公式分解，排除；
B.$x^2 - y^2$符合平方差公式的结构，分解得$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，符合题干要求；
C.$-x^2 - y^2 = -(x^2 + y^2)$，无法分解为题干给出的式子，排除；
D.$-x^2 + y^2 = y^2 - x^2 = (y+x)(y-x) = -(x+y)(x-y)$，与题干结果不符，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式、整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对平方差公式结构特征的理解，解题时既可以通过逆推整式乘法快速得到答案，也可以逐个分解选项验证，掌握平方差公式“两项异号、均为平方形式”的结构特点是快速解题的核心。
【难度系数】
0.85
2. 分解因式$(x-1)^2 -9$，结果是（）。
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
答案
D
解析
【分析】
本题考查利用平方差公式分解因式，解题思路如下：首先观察式子特征，发现式子是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=x-1$，$b=3$（因为9可以写成$3^2$）；接下来代入平方差公式展开，再合并每个括号内的同类项，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：先将原式变形为平方差的标准形式：
$(x-1)^2 -9=(x-1)^2 -3^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
$=[(x-1)+3][(x-1)-3]$
分别合并两个括号内的同类项：
第一个括号：$x-1+3=x+2$
第二个括号：$x-1-3=x-4$
因此原式分解结果为$(x+2)(x-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解；合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的识别与应用，解题的关键是准确把常数项转化为平方的形式，确定公式中的对应项，展开后正确合并同类项即可得到结果，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查利用平方差公式分解因式，解题思路如下：首先观察式子特征，发现式子是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=x-1$，$b=3$（因为9可以写成$3^2$）；接下来代入平方差公式展开，再合并每个括号内的同类项，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：先将原式变形为平方差的标准形式：
$(x-1)^2 -9=(x-1)^2 -3^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
$=[(x-1)+3][(x-1)-3]$
分别合并两个括号内的同类项：
第一个括号：$x-1+3=x+2$
第二个括号：$x-1-3=x-4$
因此原式分解结果为$(x+2)(x-4)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解；合并同类项
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对平方差公式结构特征的识别与应用，解题的关键是准确把常数项转化为平方的形式，确定公式中的对应项，展开后正确合并同类项即可得到结果，属于基础易得分题。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式:
(1)$1-m^2=$;
(2)$4a^2-1=$;
(3)$9x^2-y^2=$.
(1)$1-m^2=$;
(2)$4a^2-1=$;
(3)$9x^2-y^2=$.
答案
解：
(1) $1-m^2 = 1^2 - m^2 = (1+m)(1-m)$
(2) $4a^2-1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a+1)(2a-1)$
(3) $9x^2-y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x+y)(3x-y)$
(1) $1-m^2 = 1^2 - m^2 = (1+m)(1-m)$
(2) $4a^2-1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a+1)(2a-1)$
(3) $9x^2-y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x+y)(3x-y)$
解析
【分析】
这三道小题均为利用平方差公式分解因式的基础题，平方差公式分解因式的形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。解题时首先观察式子特征：三个式子均为两项的差，且两项都可以写成某个数（或整式）的平方的形式，只需先将原式转化为$a^2-b^2$的结构，找到对应的$a$和$b$，再代入公式即可完成因式分解。
【解析】
(1) 将$1$改写为$1^2$，转化为平方差形式后代入公式：
$1-m^2 = 1^2 - m^2 = (1+m)(1-m)$
(2) 将$4a^2$改写为$(2a)^2$，$1$改写为$1^2$，转化为平方差形式后代入公式：
$4a^2-1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a+1)(2a-1)$
(3) 将$9x^2$改写为$(3x)^2$，转化为平方差形式后代入公式：
$9x^2-y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x+y)(3x-y)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1+m)(1-m)}$；(2) $\boldsymbol{(2a+1)(2a-1)}$；(3) $\boldsymbol{(3x+y)(3x-y)}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，积的乘方
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别平方差公式“两项异号、均为平方形式”的结构特征，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这三道小题均为利用平方差公式分解因式的基础题，平方差公式分解因式的形式为$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。解题时首先观察式子特征：三个式子均为两项的差，且两项都可以写成某个数（或整式）的平方的形式，只需先将原式转化为$a^2-b^2$的结构，找到对应的$a$和$b$，再代入公式即可完成因式分解。
【解析】
(1) 将$1$改写为$1^2$，转化为平方差形式后代入公式：
$1-m^2 = 1^2 - m^2 = (1+m)(1-m)$
(2) 将$4a^2$改写为$(2a)^2$，$1$改写为$1^2$，转化为平方差形式后代入公式：
$4a^2-1 = (2a)^2 - 1^2 = (2a+1)(2a-1)$
(3) 将$9x^2$改写为$(3x)^2$，转化为平方差形式后代入公式：
$9x^2-y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x+y)(3x-y)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1+m)(1-m)}$；(2) $\boldsymbol{(2a+1)(2a-1)}$；(3) $\boldsymbol{(3x+y)(3x-y)}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，积的乘方
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查平方差公式的应用，解题的关键是准确识别平方差公式“两项异号、均为平方形式”的结构特征，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 分解因式：
(1) $16 - x^2$；
(2) $4x^2 - 25y^2$；
(3) $(a + b)^2 - c^2$。
(1) $16 - x^2$；
(2) $4x^2 - 25y^2$；
(3) $(a + b)^2 - c^2$。
答案
解：
(1) 原式 = 4² - x²
= (4 + x)(4 - x)
(2) 原式 = (2x)² - (5y)²
= (2x + 5y)(2x - 5y)
(3) 原式 = [(a + b) + c][(a + b) - c]
= (a + b + c)(a + b - c)
(1) 原式 = 4² - x²
= (4 + x)(4 - x)
(2) 原式 = (2x)² - (5y)²
= (2x + 5y)(2x - 5y)
(3) 原式 = [(a + b) + c][(a + b) - c]
= (a + b + c)(a + b - c)
解析
【分析】
这三道小题均为两个平方项相减的形式，符合平方差公式分解因式的结构特征：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。解题时先分别确定每个式子中对应公式里的“$a$”和“$b$”，再直接套用平方差公式即可，第三小问要注意把$(a+b)$看作一个整体处理。
【解析】
(1) 观察原式可变形为两个数的平方差，其中$16=4^2$，对应公式中$a=4$，$b=x$，代入得：
原式$=4^2 - x^2=(4+x)(4-x)$
(2) 观察原式可变形为两个整式的平方差，其中$4x^2=(2x)^2$，$25y^2=(5y)^2$，对应公式中$a=2x$，$b=5y$，代入得：
原式$=(2x)^2 - (5y)^2=(2x+5y)(2x-5y)$
(3) 将$(a+b)$看作整体，原式为两个整式的平方差，对应公式中$a=(a+b)$，$b=c$，代入后化简得：
原式$=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b+c)(a+b-c)$
【答案】
(1) $(4+x)(4-x)$；(2) $(2x+5y)(2x-5y)$；(3) $(a+b+c)(a+b-c)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题关键是准确找到两个平方项对应的底数，第三小问需要灵活运用整体思想简化运算，分解结果要化简至最简形式。
【难度系数】
0.85
这三道小题均为两个平方项相减的形式，符合平方差公式分解因式的结构特征：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。解题时先分别确定每个式子中对应公式里的“$a$”和“$b$”，再直接套用平方差公式即可，第三小问要注意把$(a+b)$看作一个整体处理。
【解析】
(1) 观察原式可变形为两个数的平方差，其中$16=4^2$，对应公式中$a=4$，$b=x$，代入得：
原式$=4^2 - x^2=(4+x)(4-x)$
(2) 观察原式可变形为两个整式的平方差，其中$4x^2=(2x)^2$，$25y^2=(5y)^2$，对应公式中$a=2x$，$b=5y$，代入得：
原式$=(2x)^2 - (5y)^2=(2x+5y)(2x-5y)$
(3) 将$(a+b)$看作整体，原式为两个整式的平方差，对应公式中$a=(a+b)$，$b=c$，代入后化简得：
原式$=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b+c)(a+b-c)$
【答案】
(1) $(4+x)(4-x)$；(2) $(2x+5y)(2x-5y)$；(3) $(a+b+c)(a+b-c)$
【知识点】
平方差公式，因式分解，整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题关键是准确找到两个平方项对应的底数，第三小问需要灵活运用整体思想简化运算，分解结果要化简至最简形式。
【难度系数】
0.85
5. 利用因式分解计算：
(1) $101^2 - 99^2$；
(2) $2027^2 - 2026^2$。
(1) $101^2 - 99^2$；
(2) $2027^2 - 2026^2$。
答案
解：
(1) 原式$=(101+99)(101-99)$
$=200×2$
$=400$
(2) 原式$=(2027+2026)(2027-2026)$
$=4053×1$
$=4053$
(1) 原式$=(101+99)(101-99)$
$=200×2$
$=400$
(2) 原式$=(2027+2026)(2027-2026)$
$=4053×1$
$=4053$
解析
【分析】
观察待计算的两个式子，均为两个数的平方相减的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此我们可以先利用平方差公式对原式因式分解，再计算数值，无需直接计算大数的平方，能大幅简化计算过程，降低出错率。解题时先确定每一问中对应的$a$和$b$，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 原式$=(101+99)(101-99)$
$=200×2$
$=400$
(2) 原式$=(2027+2026)(2027-2026)$
$=4053×1$
$=4053$
【答案】
(1) $\boxed{400}$；(2) $\boxed{4053}$
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解的简便应用
【点评】
本题属于基础运算题，核心是识别平方差的式子结构，熟练运用平方差公式进行因式分解，能有效规避大数乘方运算的易错点，提升计算效率。
【难度系数】
0.85
观察待计算的两个式子，均为两个数的平方相减的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，因此我们可以先利用平方差公式对原式因式分解，再计算数值，无需直接计算大数的平方，能大幅简化计算过程，降低出错率。解题时先确定每一问中对应的$a$和$b$，再代入公式计算即可。
【解析】
(1) 原式$=(101+99)(101-99)$
$=200×2$
$=400$
(2) 原式$=(2027+2026)(2027-2026)$
$=4053×1$
$=4053$
【答案】
(1) $\boxed{400}$；(2) $\boxed{4053}$
【知识点】
平方差公式因式分解；因式分解的简便应用
【点评】
本题属于基础运算题，核心是识别平方差的式子结构，熟练运用平方差公式进行因式分解，能有效规避大数乘方运算的易错点，提升计算效率。
【难度系数】
0.85
6.若$3x-2y=a,x-4y=b$,则$(x+y)^2-(2x-3y)^2$的值是().
A.$-ab$
B.$ab$
C.$a^2+b^2$
D.$a^2-b^2$
A.$-ab$
B.$ab$
C.$a^2+b^2$
D.$a^2-b^2$
答案
A
解析
【分析】
首先观察所求代数式是两个整式的平方差形式，优先考虑用平方差公式对其因式分解，分解后会得到两个一次多项式的乘积，再将这两个多项式与已知条件中a、b对应的代数式对比，通过整体代入即可快速求出结果，不需要单独求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
1. 利用平方差公式分解因式
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=x+y$，$n=2x-3y$，可得：
$\begin{aligned}(x+y)^2-(2x-3y)^2&=[(x+y)+(2x-3y)][(x+y)-(2x-3y)]\end{aligned}$
2. 化简两个括号内的整式
第一个括号：$(x+y)+(2x-3y)=3x-2y$
第二个括号：$(x+y)-(2x-3y)=-x+4y=-(x-4y)$
3. 整体代入已知条件求值
已知$3x-2y=a$，$x-4y=b$，代入化简后的式子可得：
$\begin{aligned}原式&=(3x-2y)×[-(x-4y)]\\&=a×(-b)\\&=-ab\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是灵活运用平方差公式对所求代数式因式分解，通过整体代入已知条件求值，避免了求解x、y的繁琐过程，考查了对因式分解公式的应用能力和整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式是两个整式的平方差形式，优先考虑用平方差公式对其因式分解，分解后会得到两个一次多项式的乘积，再将这两个多项式与已知条件中a、b对应的代数式对比，通过整体代入即可快速求出结果，不需要单独求解x、y的值，能简化计算过程。
【解析】
1. 利用平方差公式分解因式
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，令$m=x+y$，$n=2x-3y$，可得：
$\begin{aligned}(x+y)^2-(2x-3y)^2&=[(x+y)+(2x-3y)][(x+y)-(2x-3y)]\end{aligned}$
2. 化简两个括号内的整式
第一个括号：$(x+y)+(2x-3y)=3x-2y$
第二个括号：$(x+y)-(2x-3y)=-x+4y=-(x-4y)$
3. 整体代入已知条件求值
已知$3x-2y=a$，$x-4y=b$，代入化简后的式子可得：
$\begin{aligned}原式&=(3x-2y)×[-(x-4y)]\\&=a×(-b)\\&=-ab\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式，整体代入求值
【点评】
本题解题核心是灵活运用平方差公式对所求代数式因式分解，通过整体代入已知条件求值，避免了求解x、y的繁琐过程，考查了对因式分解公式的应用能力和整体代换的数学思想。
【难度系数】
0.7
7. 下列单项式中,使多项式$16a^2 + M$能用平方差公式分解因式的M是().
A.$a$
B.$b^2$
C.$-16a$
D.$-b^2$
A.$a$
B.$b^2$
C.$-16a$
D.$-b^2$
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆平方差公式分解因式的适用条件：能用平方差公式分解因式的多项式是二项式，两项都能写成某个整式的平方的形式，且两项符号相反。首先将已知的$16a^2$转化为平方形式：$16a^2=(4a)^2$，它是符号为正的平方项，因此M需要满足是符号为负的平方项，代入后整个多项式就能满足平方差的结构，再逐一验证选项即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，适用的多项式需满足：①为二项式；②两项均可表示为整式的平方；③两项符号相反。
已知$16a^2=(4a)^2$，是符号为正的平方项，因此M应为符号为负的平方项：
选项A：$a$不是平方项，不符合要求；
选项B：$b^2$是平方项但符号为正，代入后得$16a^2+b^2$，是平方和，不能用平方差分解；
选项C：$-16a$不是平方项，不符合要求；
选项D：$-b^2$是符号为负的平方项，代入后原式为$16a^2 - b^2=(4a)^2 - b^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(4a+b)(4a-b)$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 平方的运算
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，解题核心是准确把握平方差公式“两项为平方且符号相反”的结构特征，避免混淆平方和与平方差的符号差异。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要回忆平方差公式分解因式的适用条件：能用平方差公式分解因式的多项式是二项式，两项都能写成某个整式的平方的形式，且两项符号相反。首先将已知的$16a^2$转化为平方形式：$16a^2=(4a)^2$，它是符号为正的平方项，因此M需要满足是符号为负的平方项，代入后整个多项式就能满足平方差的结构，再逐一验证选项即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，适用的多项式需满足：①为二项式；②两项均可表示为整式的平方；③两项符号相反。
已知$16a^2=(4a)^2$，是符号为正的平方项，因此M应为符号为负的平方项：
选项A：$a$不是平方项，不符合要求；
选项B：$b^2$是平方项但符号为正，代入后得$16a^2+b^2$，是平方和，不能用平方差分解；
选项C：$-16a$不是平方项，不符合要求；
选项D：$-b^2$是符号为负的平方项，代入后原式为$16a^2 - b^2=(4a)^2 - b^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(4a+b)(4a-b)$。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 平方的运算
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的适用条件，解题核心是准确把握平方差公式“两项为平方且符号相反”的结构特征，避免混淆平方和与平方差的符号差异。
【难度系数】
0.8
8. 对任意整数$n$，$(2n+1)^2 -25$都能（）.
A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被6整除
A.被3整除
B.被4整除
C.被5整除
D.被6整除
答案
B
解析
【分析】
要判断代数式能被哪个数整除，可先对代数式因式分解，观察式子特征是两个平方项作差，符合平方差公式的结构，因此先用平方差公式分解因式，再对分解后的式子化简，判断其含有的公因数即可。也可通过代入特殊整数n验证，快速排除错误选项。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对原式分解化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 -25&=(2n+1)^2 -5^2\\&=(2n+1-5)(2n+1+5)\\&=(2n-4)(2n+6)\\&=2(n-2)×2(n+3)\\&=4(n-2)(n+3)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$(n-2)(n+3)$也是整数，因此$4(n-2)(n+3)$是4的整数倍，即原式能被4整除。
方法二：特殊值验证法
取$n=1$，代入原式得：$(2×1+1)^2-25=9-25=-16$
$-16÷3$结果不是整数，排除A；
$-16÷4=-4$，是整数，符合要求；
$-16÷5$结果不是整数，排除C；
$-16÷6$结果不是整数，排除D。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式；整除的判定
【点评】
本题考查因式分解在整式整除问题中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
要判断代数式能被哪个数整除，可先对代数式因式分解，观察式子特征是两个平方项作差，符合平方差公式的结构，因此先用平方差公式分解因式，再对分解后的式子化简，判断其含有的公因数即可。也可通过代入特殊整数n验证，快速排除错误选项。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对原式分解化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 -25&=(2n+1)^2 -5^2\\&=(2n+1-5)(2n+1+5)\\&=(2n-4)(2n+6)\\&=2(n-2)×2(n+3)\\&=4(n-2)(n+3)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$(n-2)(n+3)$也是整数，因此$4(n-2)(n+3)$是4的整数倍，即原式能被4整除。
方法二：特殊值验证法
取$n=1$，代入原式得：$(2×1+1)^2-25=9-25=-16$
$-16÷3$结果不是整数，排除A；
$-16÷4=-4$，是整数，符合要求；
$-16÷5$结果不是整数，排除C；
$-16÷6$结果不是整数，排除D。
综上选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式分解因式；整除的判定
【点评】
本题考查因式分解在整式整除问题中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键，也可通过代入特殊值快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
9.计算：$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 2^2 - 1 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
解：
原式
$=(100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + \dots + (2^2 - 1^2)$
$=(100+99)(100-99) + (98+97)(98-97) + \dots + (2+1)(2-1)$
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
$=\frac{(100+1)×100}{2}$
$=5050$
原式
$=(100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + \dots + (2^2 - 1^2)$
$=(100+99)(100-99) + (98+97)(98-97) + \dots + (2+1)(2-1)$
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
$=\frac{(100+1)×100}{2}$
$=5050$
解析
【分析】
观察算式特征，是从100到1的相邻两数的平方交替作差相加，共100项，可两两分组得到50组形如$a^2-b^2$的式子，正好符合平方差公式的结构。首先对每组运用平方差公式分解因式，计算后可发现每组的差项结果为1，因此每组的值等于对应两数的和，原式即可转化为1到100的连续整数之和，最后用连续整数求和公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
原式
$=(100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + \dots + (2^2 - 1^2)$
$=(100+99)(100-99) + (98+97)(98-97) + \dots + (2+1)(2-1)$
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
$=\frac{(100+1)×100}{2}$
$=5050$
【答案】
5050
【知识点】
平方差公式分解因式；有理数简便运算；连续整数求和
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活运用，核心解题技巧是合理分组，将原式转化为符合平方差公式的结构，从而简化运算，要求学生熟练掌握平方差公式的形式特征，具备一定的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
观察算式特征，是从100到1的相邻两数的平方交替作差相加，共100项，可两两分组得到50组形如$a^2-b^2$的式子，正好符合平方差公式的结构。首先对每组运用平方差公式分解因式，计算后可发现每组的差项结果为1，因此每组的值等于对应两数的和，原式即可转化为1到100的连续整数之和，最后用连续整数求和公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
原式
$=(100^2 - 99^2) + (98^2 - 97^2) + \dots + (2^2 - 1^2)$
$=(100+99)(100-99) + (98+97)(98-97) + \dots + (2+1)(2-1)$
$=100+99+98+97+\dots+2+1$
$=\frac{(100+1)×100}{2}$
$=5050$
【答案】
5050
【知识点】
平方差公式分解因式；有理数简便运算；连续整数求和
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活运用，核心解题技巧是合理分组，将原式转化为符合平方差公式的结构，从而简化运算，要求学生熟练掌握平方差公式的形式特征，具备一定的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
