登录
10. 分解因式:
(1)$(2x-3)^2 - x^2$;
(2)$(x+y)^2 - 9b^2$;
(3)$1 - (x+y)^2$;
(4)$4a^2 - (x+y)^2$.
(1)$(2x-3)^2 - x^2$;
(2)$(x+y)^2 - 9b^2$;
(3)$1 - (x+y)^2$;
(4)$4a^2 - (x+y)^2$.
答案
解：
(1)
原式$=(2x-3+x)(2x-3-x)$
$=(3x-3)(x-3)$
$=3(x-1)(x-3)$
(2)
原式$=(x+y)^2-(3b)^2$
$=(x+y+3b)(x+y-3b)$
(3)
原式$=1^2-(x+y)^2$
$=(1+x+y)(1-x-y)$
(4)
原式$=(2a)^2-(x+y)^2$
$=(2a+x+y)(2a-x-y)$
(1)
原式$=(2x-3+x)(2x-3-x)$
$=(3x-3)(x-3)$
$=3(x-1)(x-3)$
(2)
原式$=(x+y)^2-(3b)^2$
$=(x+y+3b)(x+y-3b)$
(3)
原式$=1^2-(x+y)^2$
$=(1+x+y)(1-x-y)$
(4)
原式$=(2a)^2-(x+y)^2$
$=(2a+x+y)(2a-x-y)$
解析
【分析】
这四道题均属于平方差公式分解因式的基础题型，解题思路清晰：首先观察式子的结构，确认均为两个平方项相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征；接下来将原式变形为标准的平方差形式，准确识别出公式中对应的$a$和$b$；套用公式展开后，检查是否需要合并同类项、提取公因式，保证分解结果彻底即可。
【解析】
(1) 将$2x-3$看作公式中的$a$，$x$看作公式中的$b$，套用平方差公式：
原式$=(2x-3+x)(2x-3-x)$
合并同类项得$=(3x-3)(x-3)$
提取公因式3得$=3(x-1)(x-3)$
(2) 先将$9b^2$改写为$(3b)^2$，将$x+y$看作$a$，$3b$看作$b$：
原式$=(x+y)^2-(3b)^2$
套用平方差公式得$=(x+y+3b)(x+y-3b)$
(3) 先将1改写为$1^2$，将1看作$a$，$x+y$看作$b$：
原式$=1^2-(x+y)^2$
套用平方差公式得$=(1+x+y)(1-x-y)$
(4) 先将$4a^2$改写为$(2a)^2$，将$2a$看作$a$，$x+y$看作$b$：
原式$=(2a)^2-(x+y)^2$
套用平方差公式得$=(2a+x+y)(2a-x-y)$
【答案】
(1) $3(x-1)(x-3)$
(2) $(x+y+3b)(x+y-3b)$
(3) $(1+x+y)(1-x-y)$
(4) $(2a+x+y)(2a-x-y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法，合并同类项
【点评】
本组题目侧重考查对平方差公式结构的识别能力，解题关键是准确对应公式中的两个平方项，分解完成后要注意检查结果是否彻底，避免遗漏公因式或者未合并同类项的问题。
【难度系数】
0.85
这四道题均属于平方差公式分解因式的基础题型，解题思路清晰：首先观察式子的结构，确认均为两个平方项相减的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征；接下来将原式变形为标准的平方差形式，准确识别出公式中对应的$a$和$b$；套用公式展开后，检查是否需要合并同类项、提取公因式，保证分解结果彻底即可。
【解析】
(1) 将$2x-3$看作公式中的$a$，$x$看作公式中的$b$，套用平方差公式：
原式$=(2x-3+x)(2x-3-x)$
合并同类项得$=(3x-3)(x-3)$
提取公因式3得$=3(x-1)(x-3)$
(2) 先将$9b^2$改写为$(3b)^2$，将$x+y$看作$a$，$3b$看作$b$：
原式$=(x+y)^2-(3b)^2$
套用平方差公式得$=(x+y+3b)(x+y-3b)$
(3) 先将1改写为$1^2$，将1看作$a$，$x+y$看作$b$：
原式$=1^2-(x+y)^2$
套用平方差公式得$=(1+x+y)(1-x-y)$
(4) 先将$4a^2$改写为$(2a)^2$，将$2a$看作$a$，$x+y$看作$b$：
原式$=(2a)^2-(x+y)^2$
套用平方差公式得$=(2a+x+y)(2a-x-y)$
【答案】
(1) $3(x-1)(x-3)$
(2) $(x+y+3b)(x+y-3b)$
(3) $(1+x+y)(1-x-y)$
(4) $(2a+x+y)(2a-x-y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法，合并同类项
【点评】
本组题目侧重考查对平方差公式结构的识别能力，解题关键是准确对应公式中的两个平方项，分解完成后要注意检查结果是否彻底，避免遗漏公因式或者未合并同类项的问题。
【难度系数】
0.85
11. 如图,某校劳动实践基地有两块边长分别为$a,b$的正方形土地A,B,其中不能使用的面积为$M$.
(1)用含$b,M$的代数式表示B中能使用的面积:;
(2)若$a+b=15$,$a-b=5$,求A比B多出的使用面积.
(1)用含$b,M$的代数式表示B中能使用的面积:;
(2)若$a+b=15$,$a-b=5$,求A比B多出的使用面积.
答案
解：
(1) $\boldsymbol{b^2 - M}$
(2) 由题意可得，A的使用面积为$a^2 - M$，B的使用面积为$b^2 - M$，
则A比B多出的使用面积为：
$(a^2 - M)-(b^2 - M)$
$=a^2 - b^2$
利用平方差公式分解因式得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a+b=15$，$a-b=5$代入上式：
$原式=15×5=75$
答：A比B多出的使用面积为75。
(1) $\boldsymbol{b^2 - M}$
(2) 由题意可得，A的使用面积为$a^2 - M$，B的使用面积为$b^2 - M$，
则A比B多出的使用面积为：
$(a^2 - M)-(b^2 - M)$
$=a^2 - b^2$
利用平方差公式分解因式得：
$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$
将$a+b=15$，$a-b=5$代入上式：
$原式=15×5=75$
答：A比B多出的使用面积为75。
解析
【分析】
（1）解决第一问首先明确正方形B的总面积为边长的平方$b^2$，能使用的面积等于总面积减去不能使用的面积M，直接代入即可得到对应表达式。
（2）解决第二问先分别表示出正方形A、B的使用面积，求两者的差时会发现公共的不可使用面积M可以抵消，得到差值为$a^2 - b^2$，再利用平方差公式将其分解为$(a+b)(a-b)$，直接代入已知的$a+b$和$a-b$的数值就能求出结果，不需要单独计算a、b的数值，可简化计算过程。
【解析】
（1）正方形B的总面积为$b^2$，其中不能使用的面积为M，因此B中能使用的面积为总面积减去不可使用面积，即$b^2 - M$。
（2）由题意得，A的使用面积为$a^2 - M$，B的使用面积为$b^2 - M$，
则A比B多出的使用面积为：
$\begin{aligned}&(a^2 - M)-(b^2 - M)\\=&a^2 - M - b^2 + M\\=&a^2 - b^2\end{aligned}$
利用平方差公式分解因式得：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
将$a+b=15$，$a-b=5$代入上式：
原式$=15×5=75$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b^2 - M}$；(2) $\boldsymbol{75}$
【知识点】
列代数式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景出题，既考查了代数式的基本表示方法，又考查了平方差公式在代数式求值中的应用，解题时注意到两个使用面积作差后公共部分M可以抵消，不用单独求解a、b的具体数值，体现了因式分解简化运算的作用。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先明确正方形B的总面积为边长的平方$b^2$，能使用的面积等于总面积减去不能使用的面积M，直接代入即可得到对应表达式。
（2）解决第二问先分别表示出正方形A、B的使用面积，求两者的差时会发现公共的不可使用面积M可以抵消，得到差值为$a^2 - b^2$，再利用平方差公式将其分解为$(a+b)(a-b)$，直接代入已知的$a+b$和$a-b$的数值就能求出结果，不需要单独计算a、b的数值，可简化计算过程。
【解析】
（1）正方形B的总面积为$b^2$，其中不能使用的面积为M，因此B中能使用的面积为总面积减去不可使用面积，即$b^2 - M$。
（2）由题意得，A的使用面积为$a^2 - M$，B的使用面积为$b^2 - M$，
则A比B多出的使用面积为：
$\begin{aligned}&(a^2 - M)-(b^2 - M)\\=&a^2 - M - b^2 + M\\=&a^2 - b^2\end{aligned}$
利用平方差公式分解因式得：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，
将$a+b=15$，$a-b=5$代入上式：
原式$=15×5=75$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{b^2 - M}$；(2) $\boldsymbol{75}$
【知识点】
列代数式，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题结合实际场景出题，既考查了代数式的基本表示方法，又考查了平方差公式在代数式求值中的应用，解题时注意到两个使用面积作差后公共部分M可以抵消，不用单独求解a、b的具体数值，体现了因式分解简化运算的作用。
【难度系数】
0.8
12.（规律探究题）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形，如图(1)，然后将剩余部分拼成一个长方形，如图(2)。
（1）上述操作过程能验证的等式是；
（2）若$9x^2 -16y^2=30$，$3x+4y=6$，求$4y-3x$的值；
（3）计算：$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})\dots(1-\frac{1}{99^2})(1-\frac{1}{100^2})$
（1）上述操作过程能验证的等式是；
（2）若$9x^2 -16y^2=30$，$3x+4y=6$，求$4y-3x$的值；
（3）计算：$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{4^2})\dots(1-\frac{1}{99^2})(1-\frac{1}{100^2})$
答案
解：
(1) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
(2) 由平方差公式得：
$9x^2 - 16y^2 = (3x+4y)(3x-4y)$
将$9x^2 -16y^2=30$，$3x+4y=6$代入上式：
$6×(3x-4y)=30$
解得$3x-4y=5$
因此$4y-3x=-(3x-4y)=-5$
(3) 由平方差公式，对每一项因式分解：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\&=(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×···×\frac{99}{100})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×···×\frac{101}{100})\\&=\frac{1}{100}×\frac{101}{2}\\&=\frac{101}{200}\end{aligned}$
(1) $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
(2) 由平方差公式得：
$9x^2 - 16y^2 = (3x+4y)(3x-4y)$
将$9x^2 -16y^2=30$，$3x+4y=6$代入上式：
$6×(3x-4y)=30$
解得$3x-4y=5$
因此$4y-3x=-(3x-4y)=-5$
(3) 由平方差公式，对每一项因式分解：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\&=(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×···×\frac{99}{100})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×···×\frac{101}{100})\\&=\frac{1}{100}×\frac{101}{2}\\&=\frac{101}{200}\end{aligned}$
解析
【分析】
（1）通过分别计算两个图形中阴影部分的面积推导等式：图1阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即$a^2-b^2$；图2拼合的长方形长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者面积相等即可得到验证的等式。
（2）$9x^2-16y^2$符合平方差公式结构，先因式分解，再代入已知条件求出$3x-4y$的值，取相反数即可得$4y-3x$的结果。
（3）每一项$1-\frac{1}{n^2}$都可利用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后中间的分数可相互约分，仅剩首尾两项相乘即可简化计算。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$；图2长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积$S_2=(a+b)(a-b)$，因阴影部分面积不变，故验证的等式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(2) 由平方差公式因式分解得：
$9x^2 - 16y^2 = (3x+4y)(3x-4y)$
将$9x^2 -16y^2=30$，$3x+4y=6$代入上式：
$6×(3x-4y)=30$
解得$3x-4y=5$
因此$4y-3x=-(3x-4y)=-5$。
(3) 由平方差公式对每一项因式分解：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\&=(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×···×\frac{99}{100})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×···×\frac{101}{100})\\&=\frac{1}{100}×\frac{101}{2}\\&=\frac{101}{200}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}$
(2) $\boldsymbol{-5}$
(3) $\boldsymbol{\frac{101}{200}}$
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，分数简便运算
【点评】
本题从几何验证、代数求值、规律运算三个维度考查平方差公式的应用，题目设置层层递进，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用拆分约分简化计算。
【难度系数】
0.7
（1）通过分别计算两个图形中阴影部分的面积推导等式：图1阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，即$a^2-b^2$；图2拼合的长方形长为$a+b$、宽为$a-b$，面积为$(a+b)(a-b)$，二者面积相等即可得到验证的等式。
（2）$9x^2-16y^2$符合平方差公式结构，先因式分解，再代入已知条件求出$3x-4y$的值，取相反数即可得$4y-3x$的结果。
（3）每一项$1-\frac{1}{n^2}$都可利用平方差公式拆分为$(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$，拆分后中间的分数可相互约分，仅剩首尾两项相乘即可简化计算。
【解析】
(1) 图1阴影部分面积：$S_1=a^2 - b^2$；图2长方形长为$a+b$，宽为$a-b$，面积$S_2=(a+b)(a-b)$，因阴影部分面积不变，故验证的等式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
(2) 由平方差公式因式分解得：
$9x^2 - 16y^2 = (3x+4y)(3x-4y)$
将$9x^2 -16y^2=30$，$3x+4y=6$代入上式：
$6×(3x-4y)=30$
解得$3x-4y=5$
因此$4y-3x=-(3x-4y)=-5$。
(3) 由平方差公式对每一项因式分解：
$\begin{aligned}原式&=(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})···(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\&=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{4}{3}×···×\frac{99}{100}×\frac{101}{100}\\&=(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×···×\frac{99}{100})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×···×\frac{101}{100})\\&=\frac{1}{100}×\frac{101}{2}\\&=\frac{101}{200}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}$
(2) $\boldsymbol{-5}$
(3) $\boldsymbol{\frac{101}{200}}$
【知识点】
平方差公式，因式分解应用，分数简便运算
【点评】
本题从几何验证、代数求值、规律运算三个维度考查平方差公式的应用，题目设置层层递进，解题核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用拆分约分简化计算。
【难度系数】
0.7
