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一、选择题
1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是()
1.下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是()
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭图形叫做三角形。解题时只需对照该定义的几个要点：三条线段、不在同一直线、首尾顺次相接、封闭图形，逐一判断各选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合三角形的定义逐一分析选项：
A选项：三根火柴没有首尾顺次相接，也不是封闭图形，不符合三角形概念，排除；
B选项：三根火柴未完全做到首尾顺次相接，部分端点超出连接位置，不符合要求，排除；
C选项：三根火柴不在同一直线上，且首尾顺次相接围成封闭图形，符合三角形的定义，当选；
D选项：三根火柴没有首尾顺次相接，不是封闭图形，不符合三角形概念，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题考查基础几何概念的辨析，只要准确掌握三角形的定义要点，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要明确三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所围成的封闭图形叫做三角形。解题时只需对照该定义的几个要点：三条线段、不在同一直线、首尾顺次相接、封闭图形，逐一判断各选项即可得到正确答案。
【解析】
我们结合三角形的定义逐一分析选项：
A选项：三根火柴没有首尾顺次相接，也不是封闭图形，不符合三角形概念，排除；
B选项：三根火柴未完全做到首尾顺次相接，部分端点超出连接位置，不符合要求，排除；
C选项：三根火柴不在同一直线上，且首尾顺次相接围成封闭图形，符合三角形的定义，当选；
D选项：三根火柴没有首尾顺次相接，不是封闭图形，不符合三角形概念，排除。
【答案】
C
【知识点】
三角形的定义
【点评】
本题考查基础几何概念的辨析，只要准确掌握三角形的定义要点，就能轻松选出正确答案。
【难度系数】
0.9
2.在$△ ABC$中,若$∠ A=30°,∠ B=50°$,则$△ ABC$的形状是()
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
C
解析
【分析】要判断三角形的形状，首先需要明确三角形三个内角的大小，已知其中两个内角的度数，我们可以先根据三角形内角和为180°求出第三个内角的度数，再找到最大的内角，根据最大内角的类型判断三角形按角分类的类型，同时观察是否有相等的内角判断是否为等腰三角形。
【解析】根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，已知∠A=30°，∠B=50°，因此第三个角的度数为：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-50°=100°$
三个内角中最大的角为$∠ C=100°$，属于钝角，且三个角度数均不相等，因此该三角形是钝角三角形。
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】本题属于基础题，主要考查三角形内角和的运用以及三角形分类的判断，解题关键是准确计算出第三个内角的度数，再结合分类标准判断即可。
【难度系数】0.9
【解析】根据三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，已知∠A=30°，∠B=50°，因此第三个角的度数为：
$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-30°-50°=100°$
三个内角中最大的角为$∠ C=100°$，属于钝角，且三个角度数均不相等，因此该三角形是钝角三角形。
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】本题属于基础题，主要考查三角形内角和的运用以及三角形分类的判断，解题关键是准确计算出第三个内角的度数，再结合分类标准判断即可。
【难度系数】0.9
3.一个三角形三条边的长度比为2:3:4，且其中一条边长是12 cm.这个三角形的周长不可能是()
A.54 cm
B.36 cm
C.27 cm
D.24 cm
A.54 cm
B.36 cm
C.27 cm
D.24 cm
答案
D
解析
【分析】
已知三角形三边长度比为2:3:4，仅说明其中一条边长为12cm，未明确12cm对应比例中的哪一份，因此需要分三种情况讨论：12cm对应比例的2份、3份、4份。我们可以先设三边分别为2x、3x、4x（x＞0），总周长为9x，分别算出三种情况下的周长，再对比选项，不在结果里的就是不可能的周长。
【解析】
设三角形三边长分别为$2x\ \mathrm{cm}$、$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），则三角形周长为：
$2x+3x+4x=9x\ \mathrm{cm}$
分三种情况讨论：
1. 若$2x=12$，解得$x=6$，周长$9x=9×6=54\ \mathrm{cm}$，对应选项A，可能；
2. 若$3x=12$，解得$x=4$，周长$9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$，对应选项B，可能；
3. 若$4x=12$，解得$x=3$，周长$9x=9×3=27\ \mathrm{cm}$，对应选项C，可能。
综上，周长不可能是24cm。
【答案】
D
【知识点】
按比分配，三角形周长计算，分类讨论
【点评】
本题解题关键是明确12cm对应三边比例的情况不唯一，需要全面讨论所有可能的情况，避免因漏看情况导致错选。
【难度系数】
0.7
已知三角形三边长度比为2:3:4，仅说明其中一条边长为12cm，未明确12cm对应比例中的哪一份，因此需要分三种情况讨论：12cm对应比例的2份、3份、4份。我们可以先设三边分别为2x、3x、4x（x＞0），总周长为9x，分别算出三种情况下的周长，再对比选项，不在结果里的就是不可能的周长。
【解析】
设三角形三边长分别为$2x\ \mathrm{cm}$、$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$（$x＞0$），则三角形周长为：
$2x+3x+4x=9x\ \mathrm{cm}$
分三种情况讨论：
1. 若$2x=12$，解得$x=6$，周长$9x=9×6=54\ \mathrm{cm}$，对应选项A，可能；
2. 若$3x=12$，解得$x=4$，周长$9x=9×4=36\ \mathrm{cm}$，对应选项B，可能；
3. 若$4x=12$，解得$x=3$，周长$9x=9×3=27\ \mathrm{cm}$，对应选项C，可能。
综上，周长不可能是24cm。
【答案】
D
【知识点】
按比分配，三角形周长计算，分类讨论
【点评】
本题解题关键是明确12cm对应三边比例的情况不唯一，需要全面讨论所有可能的情况，避免因漏看情况导致错选。
【难度系数】
0.7
二、填空题
4.如图，学校门口的移动路障是由三角形结构组成的，这样做的数学原理是。
4.如图，学校门口的移动路障是由三角形结构组成的，这样做的数学原理是。
答案
三角形具有稳定性
解析
【分析】
首先明确题目考查三角形特有性质的实际应用。我们可以先回忆不同几何图形的结构特点：四边形等多边形容易发生形变，而三角形的三条边首尾连接后结构固定，不易变形。移动路障需要在使用时保持稳固、不易变形，因此采用三角形结构，对应就是三角形的特有性质。
【解析】
三角形的三条边长确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，这一特性叫做三角形的稳定性。移动路障需要保持结构稳固，所以使用三角形结构，利用的就是该特性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活场景考查三角形的基础性质，体现了数学与生活的紧密联系，能引导学生学会用数学知识解释生活中的常见现象。
【难度系数】
0.9
首先明确题目考查三角形特有性质的实际应用。我们可以先回忆不同几何图形的结构特点：四边形等多边形容易发生形变，而三角形的三条边首尾连接后结构固定，不易变形。移动路障需要在使用时保持稳固、不易变形，因此采用三角形结构，对应就是三角形的特有性质。
【解析】
三角形的三条边长确定后，它的形状和大小就完全固定，不会轻易发生形变，这一特性叫做三角形的稳定性。移动路障需要保持结构稳固，所以使用三角形结构，利用的就是该特性。
【答案】
三角形具有稳定性
【知识点】
三角形的稳定性
【点评】
本题结合生活场景考查三角形的基础性质，体现了数学与生活的紧密联系，能引导学生学会用数学知识解释生活中的常见现象。
【难度系数】
0.9
5.如图，在$△ ABC$中，AD是BC边上的中线.若$AB-BC=6$，$AB+BD=12$，则DC的长为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线连接顶点和对边中点，因此AD是BC边上的中线时，可得BD=DC，且BC=2BD。要求DC的长等价于求BD的长，我们可以将已知条件中的BC用含BD的式子代换，得到仅含AB和BD的两个关系式，通过代入消元建立一元一次方程即可求出BD的长度，进而得到DC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线
∴BD=DC，$BC=2BD$
由$AB-BC=6$，可得$AB=BC+6=2BD+6$
又
∵$AB+BD=12$
将$AB=2BD+6$代入上式得：
$2BD+6+BD=12$
$3BD=6$
解得$BD=2$
∴$DC=BD=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中线的性质；代入消元法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题的核心是利用三角形中线的性质建立BC和BD的数量关系，再结合已知条件通过代数代换求解，侧重考查学生对基础概念的应用能力和简单运算能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线连接顶点和对边中点，因此AD是BC边上的中线时，可得BD=DC，且BC=2BD。要求DC的长等价于求BD的长，我们可以将已知条件中的BC用含BD的式子代换，得到仅含AB和BD的两个关系式，通过代入消元建立一元一次方程即可求出BD的长度，进而得到DC的长。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的中线
∴BD=DC，$BC=2BD$
由$AB-BC=6$，可得$AB=BC+6=2BD+6$
又
∵$AB+BD=12$
将$AB=2BD+6$代入上式得：
$2BD+6+BD=12$
$3BD=6$
解得$BD=2$
∴$DC=BD=2$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
三角形中线的性质；代入消元法；一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题的核心是利用三角形中线的性质建立BC和BD的数量关系，再结合已知条件通过代数代换求解，侧重考查学生对基础概念的应用能力和简单运算能力。
【难度系数】
0.7
6.如图，若$△ ABC$的中线$BD$和$CE$相交于点$O$，$OF⊥ BC$于点$F$，且$BC=5$，$OF=1.4$，则四边形$ADOE$的面积是。
答案
解：
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = DC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = EB，
∴ $S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCE}$。
等式两边同时减去$S_{△ BOE}$，可得：
$S_{\mathrm{四边形}ADOE} = S_{△ BOC}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$BC=5$，$OF=1.4$，
∴ $S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × BC × OF = \frac{1}{2} × 5 × 1.4 = 3.5$。
∴ 四边形ADOE的面积是$\boldsymbol{3.5}$。
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = DC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = EB，
∴ $S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCE}$。
等式两边同时减去$S_{△ BOE}$，可得：
$S_{\mathrm{四边形}ADOE} = S_{△ BOC}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$BC=5$，$OF=1.4$，
∴ $S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × BC × OF = \frac{1}{2} × 5 × 1.4 = 3.5$。
∴ 四边形ADOE的面积是$\boldsymbol{3.5}$。
解析
【分析】
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。首先由BD、CE都是△ABC的中线，可得△ABD和△BCE的面积都等于△ABC面积的一半，因此二者面积相等；观察图形可知，△ABD和△BCE有公共部分△BOE，两个面积相等的图形同时减去公共部分的面积，剩余部分的面积仍然相等，即可得到四边形ADOE的面积等于△BOC的面积；最后利用三角形面积公式计算△BOC的面积，即可得到所求四边形的面积。
【解析】
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = DC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = EB，
∴ $S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCE}$。
等式两边同时减去$S_{△ BOE}$，可得：
$S_{\mathrm{四边形}ADOE} = S_{△ BOC}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$BC=5$，$OF=1.4$，
∴ $S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × BC × OF = \frac{1}{2} × 5 × 1.4 = 3.5$。
∴ 四边形ADOE的面积是3.5。
【答案】
3.5
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题是三角形面积相关的典型题型，核心解题思路是利用中线的等积性质进行面积转化，避免了计算大三角形面积的复杂步骤，能够有效考查学生的图形观察能力和等积转化思维。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分。首先由BD、CE都是△ABC的中线，可得△ABD和△BCE的面积都等于△ABC面积的一半，因此二者面积相等；观察图形可知，△ABD和△BCE有公共部分△BOE，两个面积相等的图形同时减去公共部分的面积，剩余部分的面积仍然相等，即可得到四边形ADOE的面积等于△BOC的面积；最后利用三角形面积公式计算△BOC的面积，即可得到所求四边形的面积。
【解析】
∵ BD是△ABC的中线，
∴ AD = DC，
∴ $S_{△ ABD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∵ CE是△ABC的中线，
∴ AE = EB，
∴ $S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$。
∴ $S_{△ ABD} = S_{△ BCE}$。
等式两边同时减去$S_{△ BOE}$，可得：
$S_{\mathrm{四边形}ADOE} = S_{△ BOC}$。
∵ $OF ⊥ BC$，$BC=5$，$OF=1.4$，
∴ $S_{△ BOC} = \frac{1}{2} × BC × OF = \frac{1}{2} × 5 × 1.4 = 3.5$。
∴ 四边形ADOE的面积是3.5。
【答案】
3.5
【知识点】
三角形中线的性质，三角形面积计算，等积变换
【点评】
本题是三角形面积相关的典型题型，核心解题思路是利用中线的等积性质进行面积转化，避免了计算大三角形面积的复杂步骤，能够有效考查学生的图形观察能力和等积转化思维。
【难度系数】
0.7
三、解答题
7.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=55°$，$∠ ABD=32°$，$∠ ACB=70°$，且$CE$平分$∠ ACB$。求$∠ DEC$的度数。
7.如图，在$△ ABC$中，$∠ A=55°$，$∠ ABD=32°$，$∠ ACB=70°$，且$CE$平分$∠ ACB$。求$∠ DEC$的度数。
答案
解：
在△ABD中，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 55° + 32° = 87°，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}×70° = 35°$，
在△DEC中，由三角形内角和为180°得：
∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠ECD = 180° - 87° - 35° = 58°。
答：∠DEC的度数为58°。
在△ABD中，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 55° + 32° = 87°，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}×70° = 35°$，
在△DEC中，由三角形内角和为180°得：
∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠ECD = 180° - 87° - 35° = 58°。
答：∠DEC的度数为58°。
解析
【分析】
要求∠DEC的度数，首先观察到∠DEC是△DEC的内角，根据三角形内角和定理，只需要求出△DEC中另外两个内角∠EDC（即∠BDC）和∠ECD的度数即可。第一步先求∠BDC：∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，用已知的∠A和∠ABD的度数即可算出∠BDC；第二步求∠ECD：已知CE平分∠ACB，根据角平分线的定义，∠ECD是∠ACB的一半，代入∠ACB的度数即可算出；最后利用三角形内角和为180°，减去另外两个角的度数就能求出∠DEC的度数。
【解析】
在△ABD中，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 55° + 32° = 87°，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}×70° = 35°$，
在△DEC中，由三角形内角和为180°得：
∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠ECD = 180° - 87° - 35° = 58°。
【答案】
58°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题时需要先明确所求角所在的三角形，再结合已知条件逐步推导所需的角度值，逻辑链条清晰，熟练掌握三角形相关的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要求∠DEC的度数，首先观察到∠DEC是△DEC的内角，根据三角形内角和定理，只需要求出△DEC中另外两个内角∠EDC（即∠BDC）和∠ECD的度数即可。第一步先求∠BDC：∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，用已知的∠A和∠ABD的度数即可算出∠BDC；第二步求∠ECD：已知CE平分∠ACB，根据角平分线的定义，∠ECD是∠ACB的一半，代入∠ACB的度数即可算出；最后利用三角形内角和为180°，减去另外两个角的度数就能求出∠DEC的度数。
【解析】
在△ABD中，∠BDC是△ABD的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 55° + 32° = 87°，
∵ CE平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACB = $\frac{1}{2}×70° = 35°$，
在△DEC中，由三角形内角和为180°得：
∠DEC = 180° - ∠EDC - ∠ECD = 180° - 87° - 35° = 58°。
【答案】
58°
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题时需要先明确所求角所在的三角形，再结合已知条件逐步推导所需的角度值，逻辑链条清晰，熟练掌握三角形相关的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
