11. 提升题 已知 D 是∠ABC 所在平面内一点，连接 AD，CD.
(1) 如图①，若∠A=28°，∠B=72°，∠C=11°，求∠ADC 的度数；
(2) 如图②，若存在一点 P，使得 PB 平分∠ABC，同时 PD 平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C 的关系并证明；
(3) 如图③，在(2)的条件下，将点 D 移至∠ABC 的外部，其他条件不变，探究∠A，∠P，∠C 的关系并证明.

解：(1) 连接BD并延长，交AC于点E。
由三角形外角的性质，得∠ADE = ∠A + ∠ABD，∠CDE = ∠C + ∠CBD，
∴ ∠ADC = ∠ADE + ∠CDE = ∠A + ∠ABD + ∠CBD + ∠C = ∠A + ∠ABC + ∠C，
代入∠A=28°，∠ABC=72°，∠C=11°，得∠ADC = 28° + 72° + 11° = 111°。
(2) 探究得：$\boldsymbol{∠ A + ∠ C = 2∠ P}$，证明如下：
设AD与BP交于点M，DP与BC交于点N。
在△ABM和△PDM中，$∠ A + ∠ ABP = 180° - ∠ AMB$，$∠ P + ∠ ADP = 180° - ∠ DMP$，
∵ $∠ AMB = ∠ DMP$，
∴ $∠ A + ∠ ABP = ∠ P + ∠ ADP$ ①。
在△PBN和△DCN中，$∠ P + ∠ PBC = 180° - ∠ BNP$，$∠ C + ∠ CDP = 180° - ∠ CND$，
∵ $∠ BNP = ∠ CND$，
∴ $∠ P + ∠ PBC = ∠ C + ∠ CDP$ ②。
∵ PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，
∴ $∠ ABP = ∠ PBC$，$∠ ADP = ∠ CDP$。
将①+②，得：
$∠ A + ∠ ABP + ∠ P + ∠ PBC = ∠ P + ∠ ADP + ∠ C + ∠ CDP$，
化简得 $∠ A + 2∠ ABP + ∠ P = ∠ P + 2∠ ADP + ∠ C$，
消去相等项后可得 $∠ A + ∠ C = 2∠ P$。
(3) 探究得：$\boldsymbol{∠ C - ∠ A = 2∠ P}$，证明如下：
设AD与BP交于点M，CD与BP的延长线交于点N。
在△ABM和△PDM中，$∠ A + ∠ ABP = 180° - ∠ AMB$，$∠ P + ∠ ADP = 180° - ∠ DMP$，
∵ $∠ AMB = ∠ DMP$，
∴ $∠ A + ∠ ABP = ∠ P + ∠ ADP$，即 $∠ ABP - ∠ ADP = ∠ P - ∠ A$ ①。
在△BCN和△DPN中，$∠ C + ∠ CBN = 180° - ∠ BNC$，$∠ P + ∠ CDP = 180° - ∠ DNP$，
∵ $∠ BNC = ∠ DNP$，
∴ $∠ C + ∠ CBP = ∠ P + ∠ CDP$，即 $∠ CDP - ∠ CBP = ∠ C - ∠ P$ ②。
∵ PB平分∠ABC，PD平分∠ADC，
∴ $∠ ABP = ∠ CBP$，$∠ ADP = ∠ CDP$。
将①代入②，得：
$∠ P - ∠ A = ∠ C - ∠ P$，
整理可得 $∠ C - ∠ A = 2∠ P$。

【分析】
(1) 求∠ADC的度数时，观察图形为凹四边形，可通过作辅助线转化为三角形外角问题：连接BD并延长，利用三角形外角性质将∠ADC拆分为两个外角之和，可得出∠ADC与已知角∠A、∠ABC、∠C的等量关系，代入数值计算即可。
(2) 探究∠A、∠P、∠C的关系时，已知PB、PD分别为角平分线，可得两组相等的角；结合图形中的两组对顶角，分别在包含∠A、∠P的三角形和包含∠P、∠C的三角形中，利用三角形内角和定理，由对顶角相等得到两组角的和相等，列出两个等式后结合角平分线的等量关系，两式相加消去相等的角即可推导结论。
(3) 点D在∠ABC外部时，思路与(2)一致，同样利用三角形内角和、对顶角相等列出角的等量关系，结合角平分线性质对式子变形整理，即可得到三者的数量关系。
【解析】
(1) 连接BD并延长，交AC于点E。
由三角形外角的性质，得$∠ ADE = ∠ A + ∠ ABD$，$∠ CDE = ∠ C + ∠ CBD$，
∴ $∠ ADC = ∠ ADE + ∠ CDE = ∠ A + ∠ ABD + ∠ CBD + ∠ C = ∠ A + ∠ ABC + ∠ C$，
代入$∠ A=28°$，$∠ ABC=72°$，$∠ C=11°$，得$∠ ADC = 28° + 72° + 11° = 111°$。
(2) 关系为$∠ A + ∠ C = 2∠ P$，证明如下：
设AD与BP交于点M，DP与BC交于点N。
在$△ ABM$和$△ PDM$中，$∠ A + ∠ ABP = 180° - ∠ AMB$，$∠ P + ∠ ADP = 180° - ∠ DMP$，
∵ $∠ AMB = ∠ DMP$，
∴ $∠ A + ∠ ABP = ∠ P + ∠ ADP$ ①。
在$△ PBN$和$△ DCN$中，$∠ P + ∠ PBC = 180° - ∠ BNP$，$∠ C + ∠ CDP = 180° - ∠ CND$，
∵ $∠ BNP = ∠ CND$，
∴ $∠ P + ∠ PBC = ∠ C + ∠ CDP$ ②。
∵ PB平分$∠ ABC$，PD平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ABP = ∠ PBC$，$∠ ADP = ∠ CDP$。
将①+②，得：
$∠ A + ∠ ABP + ∠ P + ∠ PBC = ∠ P + ∠ ADP + ∠ C + ∠ CDP$，
化简得 $∠ A + 2∠ ABP + ∠ P = ∠ P + 2∠ ADP + ∠ C$，
消去相等项后可得 $∠ A + ∠ C = 2∠ P$。
(3) 关系为$∠ C - ∠ A = 2∠ P$，证明如下：
设AD与BP交于点M，CD与BP的延长线交于点N。
在$△ ABM$和$△ PDM$中，$∠ A + ∠ ABP = 180° - ∠ AMB$，$∠ P + ∠ ADP = 180° - ∠ DMP$，
∵ $∠ AMB = ∠ DMP$，
∴ $∠ A + ∠ ABP = ∠ P + ∠ ADP$，即 $∠ ABP - ∠ ADP = ∠ P - ∠ A$ ①。
在$△ BCN$和$△ DPN$中，$∠ C + ∠ CBN = 180° - ∠ BNC$，$∠ P + ∠ CDP = 180° - ∠ DNP$，
∵ $∠ BNC = ∠ DNP$，
∴ $∠ C + ∠ CBP = ∠ P + ∠ CDP$，即 $∠ CDP - ∠ CBP = ∠ C - ∠ P$ ②。
∵ PB平分$∠ ABC$，PD平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ABP = ∠ CBP$，$∠ ADP = ∠ CDP$。
将①代入②，得：
$∠ P - ∠ A = ∠ C - ∠ P$，
整理可得 $∠ C - ∠ A = 2∠ P$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ ADC=111°}$；
(2) $\boldsymbol{∠ A + ∠ C = 2∠ P}$；
(3) $\boldsymbol{∠ C - ∠ A = 2∠ P}$。
【知识点】
三角形外角性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的角的关系探究类几何题，综合考查了三角形相关性质的应用，解题核心是利用对顶角相等建立不同三角形内角的等量关系，结合角平分线性质化简推导结论，能有效锻炼角的转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6