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8.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=40°$,$∠ B=72°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$DF⊥ CE$于点$F$.
(1)若$CE$平分$∠ ACB$,求$∠ CDF$的度数;
(2)若$CD=12$,$DE=5$,$CE=13$,求$DF$的长.
(1)若$CE$平分$∠ ACB$,求$∠ CDF$的度数;
(2)若$CD=12$,$DE=5$,$CE=13$,求$DF$的长.
答案
解：(1) 在$△ ABC$中，
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 72° = 68°$，
$\because CE$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = 34°$，
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90°$，
$\therefore ∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 72° = 18°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD = 34° - 18° = 16°$，
$\because DF ⊥ CE$，$\therefore ∠ CFD = 90°$，
$\therefore ∠ CDF = 90° - ∠ DCE = 90° - 16° = 74°$。
(2) $\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDE = 90°$，
$\therefore S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · DE · CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，
又$\because DF ⊥ CE$，
$\therefore S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · CE · DF$，
$\therefore \frac{1}{2} × 13 × DF = 30$，
解得$DF = \frac{60}{13}$。
综上，(1) $∠ CDF = 74°$；(2) $DF$的长为$\frac{60}{13}$。
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 72° = 68°$，
$\because CE$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = 34°$，
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90°$，
$\therefore ∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 72° = 18°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD = 34° - 18° = 16°$，
$\because DF ⊥ CE$，$\therefore ∠ CFD = 90°$，
$\therefore ∠ CDF = 90° - ∠ DCE = 90° - 16° = 74°$。
(2) $\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDE = 90°$，
$\therefore S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · DE · CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，
又$\because DF ⊥ CE$，
$\therefore S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · CE · DF$，
$\therefore \frac{1}{2} × 13 × DF = 30$，
解得$DF = \frac{60}{13}$。
综上，(1) $∠ CDF = 74°$；(2) $DF$的长为$\frac{60}{13}$。
解析
【分析】
(1) 要求∠CDF的度数，已知DF⊥CE，根据直角三角形两锐角互余，只需先求出∠DCE的度数即可。第一步先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠ACB的度数，再结合CE平分∠ACB求出∠BCE的度数；接着根据CD⊥AB，在Rt△BCD中求出∠BCD的度数，用∠BCE减去∠BCD得到∠DCE的度数，最后在Rt△CDF中计算∠CDF即可。
(2) 求DF的长度，观察到DF是△CDE中CE边上的高，△CDE同时以DE为底时高是CD，可利用等面积法，即两种方式计算的△CDE面积相等，列方程即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 72° = 68°$，
$\because CE$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×68°= 34°$，
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90°$，
在$Rt△BCD$中，$∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 72° = 18°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD = 34° - 18° = 16°$，
$\because DF ⊥ CE$，$\therefore ∠ CFD = 90°$，
在$Rt△CDF$中，$∠ CDF = 90° - ∠ DCE = 90° - 16° = 74°$。
(2) $\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDE = 90°$，
$△ CDE$的面积可表示为：$S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · DE · CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，
又$\because DF ⊥ CE$，DF是CE边上的高，因此$△ CDE$的面积也可表示为：
$S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · CE · DF$，
代入面积值和CE的长度得：$\frac{1}{2} × 13 × DF = 30$，
解得$DF = \frac{60}{13}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{74°}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{60}{13}}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；等面积法求线段长
【点评】
本题属于几何基础计算题，第一问通过逐层推导角度的关系求解，逻辑连贯，只要熟练掌握三角形内角和、直角三角形锐角的性质就能顺利解答；第二问考查等面积法的应用，是几何中求高类问题的常用技巧，难度不大，需注意计算准确。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠CDF的度数，已知DF⊥CE，根据直角三角形两锐角互余，只需先求出∠DCE的度数即可。第一步先利用三角形内角和定理算出△ABC中∠ACB的度数，再结合CE平分∠ACB求出∠BCE的度数；接着根据CD⊥AB，在Rt△BCD中求出∠BCD的度数，用∠BCE减去∠BCD得到∠DCE的度数，最后在Rt△CDF中计算∠CDF即可。
(2) 求DF的长度，观察到DF是△CDE中CE边上的高，△CDE同时以DE为底时高是CD，可利用等面积法，即两种方式计算的△CDE面积相等，列方程即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 40° - 72° = 68°$，
$\because CE$平分$∠ ACB$，
$\therefore ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×68°= 34°$，
$\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDB = 90°$，
在$Rt△BCD$中，$∠ BCD = 90° - ∠ B = 90° - 72° = 18°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ BCE - ∠ BCD = 34° - 18° = 16°$，
$\because DF ⊥ CE$，$\therefore ∠ CFD = 90°$，
在$Rt△CDF$中，$∠ CDF = 90° - ∠ DCE = 90° - 16° = 74°$。
(2) $\because CD ⊥ AB$，$\therefore ∠ CDE = 90°$，
$△ CDE$的面积可表示为：$S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · DE · CD = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$，
又$\because DF ⊥ CE$，DF是CE边上的高，因此$△ CDE$的面积也可表示为：
$S_{△ CDE} = \frac{1}{2} · CE · DF$，
代入面积值和CE的长度得：$\frac{1}{2} × 13 × DF = 30$，
解得$DF = \frac{60}{13}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{74°}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{60}{13}}$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；等面积法求线段长
【点评】
本题属于几何基础计算题，第一问通过逐层推导角度的关系求解，逻辑连贯，只要熟练掌握三角形内角和、直角三角形锐角的性质就能顺利解答；第二问考查等面积法的应用，是几何中求高类问题的常用技巧，难度不大，需注意计算准确。
【难度系数】
0.7
9. 提升题 如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，P为负半轴上任意一点，它表示的数为x。
(1)计算$\frac{|a - b| + a + b}{2}$的值。
(2)嘉淇认为，当$-2 ≤ x ＜ 0$时，$PO + PA ＜ AB$，则以$PO$，$PA$，$AB$的长为边长不能构成三角形。若以$PO$，$PA$，$AB$的长为边长能构成三角形，请直接写出$x$的取值范围。
(1)计算$\frac{|a - b| + a + b}{2}$的值。
(2)嘉淇认为，当$-2 ≤ x ＜ 0$时，$PO + PA ＜ AB$，则以$PO$，$PA$，$AB$的长为边长不能构成三角形。若以$PO$，$PA$，$AB$的长为边长能构成三角形，请直接写出$x$的取值范围。
答案
解：(1) 由数轴可知，$a=-2$，$b=1$，
$\therefore a - b = -2 - 1 = -3 ＜ 0$，
$\therefore |a - b| = b - a$，
$\therefore \frac{|a - b| + a + b}{2} = \frac{(b - a) + a + b}{2} = \frac{2b}{2} = b = 1$。
(2) $x ＜ -\frac{5}{2}$
$\therefore a - b = -2 - 1 = -3 ＜ 0$，
$\therefore |a - b| = b - a$，
$\therefore \frac{|a - b| + a + b}{2} = \frac{(b - a) + a + b}{2} = \frac{2b}{2} = b = 1$。
(2) $x ＜ -\frac{5}{2}$
解析
【解析】
(1) 由数轴可得：$a=-2$，$b=1$
因此 $a-b=-2-1=-3＜0$，根据绝对值的性质，$|a-b|=b-a$
代入式子计算：
$\frac{|a - b| + a + b}{2}=\frac{(b-a)+a+b}{2}=\frac{2b}{2}=b=1$
(2) 由题意，点P表示的数为$x$（$x＜0$），可得：
$PO=|x|=-x$，$PA=|x-(-2)|=|x+2|$，$AB=|1-(-2)|=3$
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，要使三条线段能构成三角形，需满足$PO+PA＞AB$
即 $-x + |x+2| ＞ 3$，结合$x＜0$分情况讨论：
- 当$-2\le x＜0$时，$|x+2|=x+2$，不等式化为$-x+x+2＞3$，即$2＞3$，无解；
- 当$x＜-2$时，$|x+2|=-x-2$，不等式化为$-x -x -2＞3$，解得$x＜-\frac{5}{2}$。
因此以$PO$，$PA$，$AB$的长为边长能构成三角形时，$x$的取值范围是$x＜-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{x ＜ -\frac{5}{2}}$
【知识点】
数轴；绝对值化简；三角形三边关系
【点评】
本题结合数轴综合考查绝对值运算与三角形三边关系，需要学生先从数轴读取点对应的数值，再结合分类讨论思想求解不等式，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 由数轴可得：$a=-2$，$b=1$
因此 $a-b=-2-1=-3＜0$，根据绝对值的性质，$|a-b|=b-a$
代入式子计算：
$\frac{|a - b| + a + b}{2}=\frac{(b-a)+a+b}{2}=\frac{2b}{2}=b=1$
(2) 由题意，点P表示的数为$x$（$x＜0$），可得：
$PO=|x|=-x$，$PA=|x-(-2)|=|x+2|$，$AB=|1-(-2)|=3$
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，要使三条线段能构成三角形，需满足$PO+PA＞AB$
即 $-x + |x+2| ＞ 3$，结合$x＜0$分情况讨论：
- 当$-2\le x＜0$时，$|x+2|=x+2$，不等式化为$-x+x+2＞3$，即$2＞3$，无解；
- 当$x＜-2$时，$|x+2|=-x-2$，不等式化为$-x -x -2＞3$，解得$x＜-\frac{5}{2}$。
因此以$PO$，$PA$，$AB$的长为边长能构成三角形时，$x$的取值范围是$x＜-\frac{5}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{x ＜ -\frac{5}{2}}$
【知识点】
数轴；绝对值化简；三角形三边关系
【点评】
本题结合数轴综合考查绝对值运算与三角形三边关系，需要学生先从数轴读取点对应的数值，再结合分类讨论思想求解不等式，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
