1.对于任意非零实数$m$,直线$y=mx+2-5m$都经过一个定点,这个定点的坐标为()

A.$(0,2)$
B.$(1,2)$
C.$(5,2)$
D.$(2,-2)$

1.C

【分析】
要确定直线恒过的定点，即该点坐标不受参数m的取值影响，无论m取任意非零实数，代入直线解析式均成立。我们可以先将解析式中含m的项合并提取，令含m的项的系数为0，消除m的影响后即可求出对应的x、y值，得到定点坐标。
【解析】
先对直线解析式进行变形整理：
已知直线方程为$y=mx+2-5m$，提取公因式m得：
$y = m(x - 5) + 2$
因为定点坐标与m的取值无关，所以需使含m的项的系数为0，即：
$x - 5 = 0$，解得$x = 5$
将$x=5$代入上式，可得$y = 0 + 2 = 2$
因此无论m取任意非零实数，直线都经过点$(5,2)$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的性质；含参直线过定点求解
【点评】
本题属于一次函数的基础常考题，核心解题思路是抓住“定点坐标和参数取值无关”的特点，通过整理解析式消去参数的影响，即可快速得出结果，掌握该方法能高效解决同类过定点问题。
【难度系数】
0.8

2.若直线$y=mx$经过第二、四象限，且在正比例函数$y=nx$中，$y$随$x$的增大而增大，则一次函数$y=mx-n$的图象不经过()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

2.A

【分析】
解题时首先要回忆正比例函数的性质，先根据已知条件判断出m、n的正负，再结合一次函数图象与系数的关系推导一次函数经过的象限。第一步：正比例函数$y=kx$中，图象过第二、四象限说明$k＜0$，由此可得$m$的符号；第二步：正比例函数$y$随$x$增大而增大说明$k＞0$，由此可得$n$的符号；第三步：分析一次函数$y=mx-n$的一次项系数和常数项的符号，即可判断图象经过的象限，找到不经过的象限。
【解析】
1. 对于正比例函数$y=mx$，其图象经过第二、四象限，根据正比例函数性质可得：$m＜0$；
2. 对于正比例函数$y=nx$，$y$随$x$的增大而增大，根据正比例函数性质可得：$n＞0$，因此$-n＜0$；
3. 对于一次函数$y=mx-n$，一次项系数$m＜0$，说明直线从左上向右下倾斜；常数项$-n＜0$，说明直线与$y$轴交于负半轴。结合两个特征可知，该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的性质，一次函数图象与系数的关系，函数增减性
【点评】
本题属于函数部分的基础常考题，核心考查正比例函数、一次函数的系数与图象特征的对应关系，解题关键是准确判断$m$、$n$的符号，掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3.如图，函数$y=-2x+2$的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点。若线段AB绕点A顺时针旋转$90°$得到线段AC，则点C的坐标为()


A.$(2,1)$
B.$(1,2)$
C.$(3,1)$
D.$(1,3)$

3.C

【分析】
首先先求出一次函数与x轴、y轴的交点A、B的坐标：令函数中y=0可得A点坐标，令x=0可得B点坐标。接着根据旋转的性质可知AB=AC、∠BAC=90°，此时过点C作x轴的垂线，可构造出和△AOB全等的直角三角形，利用同角的余角相等得到一组角相等，结合直角相等和AB=AC证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等计算出点C的横、纵坐标即可。
【解析】
对于一次函数$y=-2x+2$：
1. 求A、B两点坐标：
当$y=0$时，$-2x+2=0$，解得$x=1$，因此点A的坐标为$(1,0)$，$OA=1$；
当$x=0$时，$y=2$，因此点B的坐标为$(0,2)$，$OB=2$。
2. 构造辅助线证明全等：
过点C作$CH⊥ x$轴，垂足为H，则$∠ AHC=∠ BOA=90°$。
由旋转的性质得：$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，因此$∠ OAB+∠ CAH=90°$。
又因为$\mathrm{Rt}△ AOB$中，$∠ OAB+∠ OBA=90°$，所以$∠ OBA=∠ CAH$。
在$△ AOB$和$△ CHA$中：
$\begin{cases}∠ BOA=∠ AHC \\∠ OBA=∠ HAC \\AB=AC\end{cases}$
所以$△ AOB≌△ CHA$（AAS）。
3. 计算点C坐标：
由全等三角形的性质得：$AH=OB=2$，$CH=OA=1$。
因此点C的横坐标为$OA+AH=1+2=3$，纵坐标为$CH=1$，即$C(3,1)$。
【答案】
C

【知识点】
一次函数与坐标轴交点，全等三角形的判定与性质，旋转的性质
【点评】
本题是一次函数与几何变换结合的基础题，解题的核心是通过作垂线构造全等三角形，将旋转带来的边角关系转化为可计算的线段长度，这类题型是函数结合几何的常见考法，要熟练掌握辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.7

4.若将直线$y=-2x+1$向下平移3个单位长度后恰好经过点$(a,3)$，则$a$的值为。

4.$-\frac{5}{2}$

【分析】
解决本题首先要明确一次函数图象的平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，第一步先根据平移规则求出直线向下平移3个单位后的解析式，第二步根据“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”，将点$(a,3)$代入平移后的解析式，建立关于$a$的一元一次方程，解方程即可求出$a$的值。
【解析】
1. 求平移后的直线解析式：
根据一次函数平移“上加下减”的规律，将直线$y=-2x+1$向下平移3个单位长度，只需将常数项减3，可得平移后的解析式为：
$y=-2x+1-3$，化简得$y=-2x-2$。
2. 代入点的坐标求$a$：
因为平移后的直线经过点$(a,3)$，所以将$x=a$，$y=3$代入$y=-2x-2$，得：
$3=-2a-2$
移项得：$2a=-2-3$
合并同类项得：$2a=-5$
系数化为1得：$a=-\frac{5}{2}$
【答案】
$-\frac{5}{2}$
【知识点】
一次函数图象的平移规律；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的平移性质以及点与函数图象的关系，熟练掌握一次函数的平移规则是顺利解题的关键。
【难度系数】
0.8

5.甲、乙两只气球分别从不同高度同时匀速上升60 min，气球所在位置距离地面的高度 y(单位:m)与气球上升的时间 x(单位:min)之间的关系如图所示。给出下列说法:①甲气球上升过程中，$y$与$x$之间的关系式为$y=x+5$；②10 min时，甲气球在乙气球的下方；③当两只气球高度差为15 m时，上升时间为50 min；④上升60 min时，乙气球距离地面的高度为40 m。其中正确的是(填序号)。

5.①②③

【分析】
这是一次函数在实际问题中的应用类题目，解题思路如下：1. 首先观察图像，提取甲、乙两个气球函数图像经过的已知点坐标；2. 利用待定系数法分别求出甲、乙的高度y关于上升时间x的一次函数解析式；3. 结合求出的解析式，逐个验证4个说法是否正确，注意判断高度差时要考虑时间的取值范围，舍去不符合实际的解。
【解析】
首先求甲气球的函数解析式：
观察图像可知甲的图像过点$(0,5)$和$(20,25)$，设甲的解析式为$y=k_1x+b_1$，
代入点$(0,5)$得$b_1=5$，
代入点$(20,25)$得$25=20k_1+5$，解得$k_1=1$，
故甲的解析式为$y=x+5$，因此①说法正确。
再求乙气球的函数解析式：
观察图像可知乙的图像过点$(0,15)$和$(20,25)$，设乙的解析式为$y=k_2x+b_2$，
代入点$(0,15)$得$b_2=15$，
代入点$(20,25)$得$25=20k_2+15$，解得$k_2=0.5$，
故乙的解析式为$y=0.5x+15$。
验证②：当$x=10\mathrm{min}$时，
甲的高度$y_甲=10+5=15\mathrm{m}$，
乙的高度$y_乙=0.5×10+15=20\mathrm{m}$，
$15\mathrm{m}＜20\mathrm{m}$，故甲气球在乙气球下方，②说法正确。
验证③：两只气球高度差为15m，分两种情况：
情况1：乙比甲高15m，列式：$(0.5x+15)-(x+5)=15$，
解得$x=-10$，时间不能为负，舍去；
情况2：甲比乙高15m，列式：$(x+5)-(0.5x+15)=15$，
解得$x=50$，符合题意，故上升时间为50min，③说法正确。
验证④：当$x=60\mathrm{min}$时，乙的高度$y_乙=0.5×60+15=45\mathrm{m}$，不是40m，故④说法错误。
综上，正确的是①②③。
【答案】
①②③

【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求解析式；一次函数的性质
【点评】
本题结合实际场景考查一次函数的相关知识，解题核心是准确从图像中提取有效信息求出函数解析式，验证结论时要注意结合实际意义排除不合逻辑的解，属于常考的一次函数应用题型。
【难度系数】
0.65

6.在平面直角坐标系中，已知点A(0,3)和点B(-2,1)。现要在x轴上确定一点P，使点P到A,B两点的距离之和最小，则点P的坐标为。

6.$(-\frac{3}{2},0)$

【分析】
要解决x轴上找点P使PA+PB最小的问题，属于最短路径的经典题型。首先点A、B都在x轴上方，属于x轴同侧的两点，直接连接AB与x轴无交点，无法得到距离和最小的点。根据轴对称的性质，我们可以作其中一个点关于x轴的对称点，将同侧问题转化为异侧问题，此时PA的长度等于对称点到P的长度，那么PA+PB就转化为对称点到B点的线段长度，根据“两点之间线段最短”，这条线段与x轴的交点就是所求的P点，再通过求直线解析式即可得到P点坐标。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点$A'$：
已知点$A(0,3)$，关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此$A'$的坐标为$(0,-3)$。
2. 求直线$A'B$的解析式：
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(0,-3)$、$B(-2,1)$代入解析式：
代入$A'(0,-3)$得：$b=-3$；
代入$B(-2,1)$得：$1 = -2k - 3$，解得$k=-2$；
因此直线$A'B$的解析式为$y=-2x-3$。
3. 求直线$A'B$与x轴的交点P：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，代入解析式得：
$0 = -2x - 3$，解得$x=-\frac{3}{2}$。
因此点P的坐标为$(-\frac{3}{2},0)$。
【答案】
$(-\frac{3}{2},0)$
【知识点】
1. 最短路径问题
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的常见考法，解题核心是利用轴对称将同侧两点距离和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合一次函数的知识求解交点坐标，需要熟练掌握对称点坐标的变化规律和一次函数解析式的求解方法。
【难度系数】
0.7

7.已知一次函数$y=(k-2)x-3k+12$。
(1)当k为何值时,该一次函数的图象与直线$y=-2x+9$的交点在y轴上?
(2)当k为何值时,该一次函数的图象与$y=-2x$的图象平行?
(3)当k为何值时,y随x的增大而减小?

解:(1)因为直线$y=-2x+9$与y轴的交点坐标为(0,9),
所以$-3k+12=9$,解得$k=1$。
(2)因为一次函数的图象与$y=-2x$的图象平行,
所以$k-2=-2$,且$-3k+12≠0$,
所以$k=0$。
(3)因为y随x的增大而减小,
所以$k-2＜0$,所以$k＜2$。

【分析】
本题围绕一次函数的基础性质设置三个小问，解题思路分别如下：
(1) 交点在y轴上时，该点横坐标为0，先求出直线$y=-2x+9$与y轴的交点坐标，再将交点坐标代入待求一次函数表达式，即可求解k值；
(2) 两个一次函数图象平行的条件是：一次项系数相等，且常数项不相等（避免两直线重合），据此列等式和不等式求解即可；
(3) 一次函数y随x的增大而减小的充要条件是一次项系数小于0，据此列不等式求解即可。
【解析】
(1) 直线$y=-2x+9$与y轴相交时$x=0$，代入得$y=9$，即交点坐标为$(0,9)$。
将$(0,9)$代入一次函数$y=(k-2)x-3k+12$，得：
$-3k+12=9$
解得$k=1$。
(2) 一次函数图象与$y=-2x$平行，需满足一次项系数相等且常数项不等，即：
$\begin{cases}k-2=-2\\-3k+12≠0\end{cases}$
解得$k=0$。
(3) 若y随x的增大而减小，则一次项系数小于0，即：
$k-2＜0$
解得$k＜2$。
【答案】
(1)$k=1$；(2)$k=0$；(3)$k＜2$
【知识点】
一次函数的性质；两直线平行的条件；一次函数与坐标轴的交点
【点评】
本题属于一次函数的基础考查题型，重点考察对一次函数斜率、截距相关性质的理解与应用，解题时需注意两直线平行时不要忽略“截距不相等”的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8