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7.科学研究发现,空气中的含氧量y(单位:%)与海拔x(单位:m)之间近似满足一次函数关系。经测量,海拔为0 m时,空气中的含氧量为21%。已知某山山脚处海拔为2 400 m,测得空气中的含氧量约为17%。
(1)求空气中的含氧量y与海拔x之间的关系式。
(2)当空气中的含氧量低于14%时,登山运动员需要佩戴氧气瓶补充氧气。已知该山能到达的最高点海拔为4 680 m,试判断登山运动员是否需要提前准备氧气瓶,并说明理由。
(1)求空气中的含氧量y与海拔x之间的关系式。
(2)当空气中的含氧量低于14%时,登山运动员需要佩戴氧气瓶补充氧气。已知该山能到达的最高点海拔为4 680 m,试判断登山运动员是否需要提前准备氧气瓶,并说明理由。
答案
解:(1)设 $y=kx+b(k≠0)$。
依题意,得$\begin{cases}2\ 400k+b=17,\\b=21。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{600},\\b=21。\end{cases}$
所以 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y=-\dfrac{1}{600}x+21$。
(2)需要。理由如下：
当空气中的含氧量为 $14\%$ 时，$-\dfrac{1}{600}x+21=14$，解得 $x=4\ 200$。
因为 $4\ 200＜4\ 680$，
所以登山运动员需要提前准备氧气瓶。
依题意,得$\begin{cases}2\ 400k+b=17,\\b=21。\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-\dfrac{1}{600},\\b=21。\end{cases}$
所以 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y=-\dfrac{1}{600}x+21$。
(2)需要。理由如下：
当空气中的含氧量为 $14\%$ 时，$-\dfrac{1}{600}x+21=14$，解得 $x=4\ 200$。
因为 $4\ 200＜4\ 680$，
所以登山运动员需要提前准备氧气瓶。
解析
【分析】
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目已明确y与x满足一次函数关系，因此采用待定系数法求解解析式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再代入已知的两组对应值计算参数：已知海拔为0m时含氧量为21%，即$x=0,y=21$，可直接得到$b$的值；再代入海拔2400m时含氧量17%的条件，即可求出$k$的值，最终得到函数关系式。
(2) 判断是否需要携带氧气瓶，可先计算含氧量为14%时对应的海拔临界值，再将临界值与山的最高点海拔对比：若最高点海拔高于临界海拔，说明最高点含氧量低于14%，需要携带氧气瓶；也可直接将最高点海拔代入解析式，计算对应含氧量后与14%对比判断。
【解析】
(1) 设空气中的含氧量$y$与海拔$x$之间的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
依题意，当$x=0$时，$y=21$，代入得$b=21$；
当$x=2400$时，$y=17$，将$b=21$代入得：
$2400k+21=17$
解得$k=-\dfrac{1}{600}$
因此$y$与$x$之间的关系式为$y=-\dfrac{1}{600}x+21$。
(2) 需要准备氧气瓶，理由如下：
当空气中的含氧量$y=14\%$时，代入函数关系式得：
$-\dfrac{1}{600}x+21=14$
解得$x=4200$
即海拔为4200m时含氧量为14%，海拔越高含氧量越低。
因为$4200＜4680$，说明该山最高点的含氧量低于14%，因此登山运动员需要提前准备氧气瓶。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{600}x+21$
(2) 需要提前准备氧气瓶，理由见解析。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 一元一次方程的求解
【点评】
本题结合登山含氧量的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再结合解析式完成实际问题的判断，题目贴近生活，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的实际应用，解题思路如下：
(1) 题目已明确y与x满足一次函数关系，因此采用待定系数法求解解析式：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，再代入已知的两组对应值计算参数：已知海拔为0m时含氧量为21%，即$x=0,y=21$，可直接得到$b$的值；再代入海拔2400m时含氧量17%的条件，即可求出$k$的值，最终得到函数关系式。
(2) 判断是否需要携带氧气瓶，可先计算含氧量为14%时对应的海拔临界值，再将临界值与山的最高点海拔对比：若最高点海拔高于临界海拔，说明最高点含氧量低于14%，需要携带氧气瓶；也可直接将最高点海拔代入解析式，计算对应含氧量后与14%对比判断。
【解析】
(1) 设空气中的含氧量$y$与海拔$x$之间的函数关系式为$y=kx+b\ (k≠0)$。
依题意，当$x=0$时，$y=21$，代入得$b=21$；
当$x=2400$时，$y=17$，将$b=21$代入得：
$2400k+21=17$
解得$k=-\dfrac{1}{600}$
因此$y$与$x$之间的关系式为$y=-\dfrac{1}{600}x+21$。
(2) 需要准备氧气瓶，理由如下：
当空气中的含氧量$y=14\%$时，代入函数关系式得：
$-\dfrac{1}{600}x+21=14$
解得$x=4200$
即海拔为4200m时含氧量为14%，海拔越高含氧量越低。
因为$4200＜4680$，说明该山最高点的含氧量低于14%，因此登山运动员需要提前准备氧气瓶。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{600}x+21$
(2) 需要提前准备氧气瓶，理由见解析。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 一次函数的实际应用
3. 一元一次方程的求解
【点评】
本题结合登山含氧量的生活场景考查一次函数的应用，解题核心是熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，再结合解析式完成实际问题的判断，题目贴近生活，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
8. 提升题 如图，直线 $ y = kx + b(k ≠ 0) $ 与坐标轴分别交于A，B两点，OA=8，OB=6，点M(3，m)在直线上。动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线A→O→B运动，到达点B时运动停止。设点P的运动时间为t s。
(1)求点M的坐标。
(2)用含t的代数式表示OP的长度。
(3)当t=3时，求△OPM的面积。
(4)当△OPM的面积为6时，求t的值。
(1)求点M的坐标。
(2)用含t的代数式表示OP的长度。
(3)当t=3时，求△OPM的面积。
(4)当△OPM的面积为6时，求t的值。
答案
解:(1)依题意,得点 A 的坐标为$(0,8)$,点 B 的坐标为$(6,0)$。
设直线 AB 的函数表达式为 $y=kx+8$。
将 $B(6,0)$ 代入,得 $k=-\dfrac{4}{3}$。
所以直线 AB 的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+8$。
当 $x=3$ 时,$y=4$,所以点 M 的坐标为$(3,4)$。
(2)当点 P 在 OA 上,即 $0≤ t≤ 8$ 时,$AP=t$,所以 $OP=8-t$；
当点 P 在 OB 上,即 $8＜ t≤ 14$ 时，$OP=t-8$。
综上所述，$OP=\begin{cases} 8-t(0≤ t≤ 8),\\ t-8(8＜ t≤ 14)。\end{cases}$
(3)$S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×5×3=\dfrac{15}{2}$。
(4)当 $0≤ t≤ 8$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×(8-t)×3=6$,解得 $t=4$；
当 $8＜ t≤ 14$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |y_M|=\dfrac{1}{2}×(t-8)×4=6$,解得 $t=11$。
综上所述，当$△ OPM$ 的面积为 6 时，$t$ 的值为 4 或 11。
设直线 AB 的函数表达式为 $y=kx+8$。
将 $B(6,0)$ 代入,得 $k=-\dfrac{4}{3}$。
所以直线 AB 的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+8$。
当 $x=3$ 时,$y=4$,所以点 M 的坐标为$(3,4)$。
(2)当点 P 在 OA 上,即 $0≤ t≤ 8$ 时,$AP=t$,所以 $OP=8-t$；
当点 P 在 OB 上,即 $8＜ t≤ 14$ 时，$OP=t-8$。
综上所述，$OP=\begin{cases} 8-t(0≤ t≤ 8),\\ t-8(8＜ t≤ 14)。\end{cases}$
(3)$S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×5×3=\dfrac{15}{2}$。
(4)当 $0≤ t≤ 8$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×(8-t)×3=6$,解得 $t=4$；
当 $8＜ t≤ 14$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |y_M|=\dfrac{1}{2}×(t-8)×4=6$,解得 $t=11$。
综上所述，当$△ OPM$ 的面积为 6 时，$t$ 的值为 4 或 11。
解析
【分析】
(1) 求点M坐标需先推导直线AB的解析式：由OA=8、OB=6可得A(0,8)、B(6,0)，将两点坐标代入一次函数表达式求出系数k、b，再把M的横坐标x=3代入解析式即可求出纵坐标，得到M的坐标。
(2) 动点P的运动分为OA段、OB段两个阶段，需分类讨论：①当P在OA段运动（$0≤t≤8$）时，$OP=OA-AP$；②当P在OB段运动（$8＜t≤14$）时，OP等于P从O点出发后运动的路程，即总时间t减去走OA段消耗的8秒，据此写出OP的分段表达式即可。
(3) 当t=3时P在OA段，先求出此时OP的长度，△OPM中以OP为底，M点到y轴的水平距离（即M的横坐标绝对值）为高，代入三角形面积公式计算即可。
(4) 分别对应P在OA、OB两段的情况，将对应OP的表达式代入△OPM的面积公式列方程求解，验证解是否在对应时间区间内，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 依题意，得点A的坐标为$(0,8)$，点B的坐标为$(6,0)$。
设直线AB的函数表达式为 $y=kx+8$。
将 $B(6,0)$ 代入，得 $0=6k+8$，解得 $k=-\dfrac{4}{3}$。
所以直线AB的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+8$。
当 $x=3$ 时，$y=-\dfrac{4}{3}×3+8=4$，所以点M的坐标为$(3,4)$。
(2) 当点P在OA上，即 $0≤ t≤ 8$ 时，$AP=t$，所以 $OP=OA-AP=8-t$；
当点P在OB上，即 $8＜ t≤ 14$ 时，P从A到O用时8秒，后续运动的路程即为OP的长度，所以 $OP=t-8$。
综上所述，$OP=\begin{cases} 8-t(0≤ t≤ 8),\\ t-8(8＜ t≤ 14)。\end{cases}$
(3) 当$t=3$时，$OP=8-3=5$，$S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×5×3=\dfrac{15}{2}$。
(4) 当 $0≤ t≤ 8$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×(8-t)×3=6$，解得 $t=4$，符合取值范围；
当 $8＜ t≤ 14$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |y_M|=\dfrac{1}{2}×(t-8)×4=6$，解得 $t=11$，符合取值范围。
综上所述，当$△ OPM$ 的面积为 6 时，$t$ 的值为 4 或 11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,4)}$
(2) $\boldsymbol{OP=\begin{cases} 8-t(0≤ t≤ 8)\\ t-8(8＜ t≤ 14) \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{15}{2}}$
(4) $\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{11}$
【知识点】
一次函数解析式求解，动点分类讨论，三角形面积计算
【点评】
本题结合一次函数与动点问题，重点考查分类讨论思想，解题时要注意动点在不同运动阶段的线段长度表示，求解后需验证结果是否符合对应区间要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
(1) 求点M坐标需先推导直线AB的解析式：由OA=8、OB=6可得A(0,8)、B(6,0)，将两点坐标代入一次函数表达式求出系数k、b，再把M的横坐标x=3代入解析式即可求出纵坐标，得到M的坐标。
(2) 动点P的运动分为OA段、OB段两个阶段，需分类讨论：①当P在OA段运动（$0≤t≤8$）时，$OP=OA-AP$；②当P在OB段运动（$8＜t≤14$）时，OP等于P从O点出发后运动的路程，即总时间t减去走OA段消耗的8秒，据此写出OP的分段表达式即可。
(3) 当t=3时P在OA段，先求出此时OP的长度，△OPM中以OP为底，M点到y轴的水平距离（即M的横坐标绝对值）为高，代入三角形面积公式计算即可。
(4) 分别对应P在OA、OB两段的情况，将对应OP的表达式代入△OPM的面积公式列方程求解，验证解是否在对应时间区间内，舍去不符合要求的解即可。
【解析】
(1) 依题意，得点A的坐标为$(0,8)$，点B的坐标为$(6,0)$。
设直线AB的函数表达式为 $y=kx+8$。
将 $B(6,0)$ 代入，得 $0=6k+8$，解得 $k=-\dfrac{4}{3}$。
所以直线AB的函数表达式为 $y=-\dfrac{4}{3}x+8$。
当 $x=3$ 时，$y=-\dfrac{4}{3}×3+8=4$，所以点M的坐标为$(3,4)$。
(2) 当点P在OA上，即 $0≤ t≤ 8$ 时，$AP=t$，所以 $OP=OA-AP=8-t$；
当点P在OB上，即 $8＜ t≤ 14$ 时，P从A到O用时8秒，后续运动的路程即为OP的长度，所以 $OP=t-8$。
综上所述，$OP=\begin{cases} 8-t(0≤ t≤ 8),\\ t-8(8＜ t≤ 14)。\end{cases}$
(3) 当$t=3$时，$OP=8-3=5$，$S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×5×3=\dfrac{15}{2}$。
(4) 当 $0≤ t≤ 8$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |x_M|=\dfrac{1}{2}×(8-t)×3=6$，解得 $t=4$，符合取值范围；
当 $8＜ t≤ 14$ 时，根据题意，得 $S_{△ OPM}=\dfrac{1}{2}OP· |y_M|=\dfrac{1}{2}×(t-8)×4=6$，解得 $t=11$，符合取值范围。
综上所述，当$△ OPM$ 的面积为 6 时，$t$ 的值为 4 或 11。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(3,4)}$
(2) $\boldsymbol{OP=\begin{cases} 8-t(0≤ t≤ 8)\\ t-8(8＜ t≤ 14) \end{cases}}$
(3) $\boldsymbol{\dfrac{15}{2}}$
(4) $\boldsymbol{4}$或$\boldsymbol{11}$
【知识点】
一次函数解析式求解，动点分类讨论，三角形面积计算
【点评】
本题结合一次函数与动点问题，重点考查分类讨论思想，解题时要注意动点在不同运动阶段的线段长度表示，求解后需验证结果是否符合对应区间要求，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
