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1. 2024·天津 母题·教材P153练习T1 计算$\frac{3x}{x-1}-\frac{3}{x-1}$的结果等于（
A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2-1}$
A
）A.3
B.$x$
C.$\frac{x}{x-1}$
D.$\frac{3}{x^2-1}$
答案
A
2. 新考法 逆向思维法 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是 （
A.$\frac{1}{x-3}$
B.$\frac{x+3}{x-3}$
C.2
D.1
D
）A.$\frac{1}{x-3}$
B.$\frac{x+3}{x-3}$
C.2
D.1
答案
D
3. 下列计算正确的是（
A.$\frac{2}{m} + \frac{1}{-m} = \frac{3}{m}$
B.$\frac{2}{y+2} - \frac{1+y}{2+y} = \frac{1+y}{y+2}$
C.$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{b-a} = 1$
D.$\frac{a}{(a-b)^2} - \frac{b}{(b-a)^2} = \frac{1}{a-b}$
D
）A.$\frac{2}{m} + \frac{1}{-m} = \frac{3}{m}$
B.$\frac{2}{y+2} - \frac{1+y}{2+y} = \frac{1+y}{y+2}$
C.$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{b-a} = 1$
D.$\frac{a}{(a-b)^2} - \frac{b}{(b-a)^2} = \frac{1}{a-b}$
答案
D
4. 新考法 过程辨析法 小明在化简分式$\frac{3n}{m-2n}+\frac{2m-n}{2n-m}$的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（
原式$=\frac{3n-(2m-n)}{m-2n}$ ………………………………①
$=\frac{4n-2m}{m-2n}$ ………………………………………②
$=\frac{2(2n-m)}{m-2n}$ ………………………………………③
$=2.$ …………………………………………………④
A.①
B.②
C.③
D.④
D
）原式$=\frac{3n-(2m-n)}{m-2n}$ ………………………………①
$=\frac{4n-2m}{m-2n}$ ………………………………………②
$=\frac{2(2n-m)}{m-2n}$ ………………………………………③
$=2.$ …………………………………………………④
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
D
5. [2024 内江] 已知实数$a,b$满足$ab=1$，则$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}=$
1
。答案
1 【点拨】$\because ab=1,\therefore 原式=\frac{ab}{a^2+ab}+\frac{ab}{b^2+ab}=\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}=\frac{a+b}{a+b}=1.$
6. 新考法 整体代入法 若$a,b$互为倒数，且$a≠b$，则分式$\frac{a^2b}{a-b} - \frac{ab^2}{a-b}$的值为
1
。答案
1
7. 母题 教材 P152例1 计算：
(1) $\dfrac{3a - 2}{a^2 - a} + \dfrac{2a - 1}{a - a^2}$；
(2) $\dfrac{3a + 2b}{5a^2b} + \dfrac{a + b}{5a^2b} - \dfrac{b - a}{5a^2b}$。
(1) $\dfrac{3a - 2}{a^2 - a} + \dfrac{2a - 1}{a - a^2}$；
(2) $\dfrac{3a + 2b}{5a^2b} + \dfrac{a + b}{5a^2b} - \dfrac{b - a}{5a^2b}$。
答案
【解】(1) 原式$=\frac{3a-2}{a^2-a}-\frac{2a-1}{a^2-a}=\frac{3a-2-(2a-1)}{a^2-a}=\frac{3a-2-2a+1}{a(a-1)}=\frac{a-1}{a(a-1)}=\frac{1}{a}.$
(2)原式$=\frac{3a+2b+a+b+a-b}{5a^2b}=\frac{5a+2b}{5a^2b}.$
(2)原式$=\frac{3a+2b+a+b+a-b}{5a^2b}=\frac{5a+2b}{5a^2b}.$
8. 若$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{1}{c-a}$，则$x+y$的值为（
A.0
B.−1
C.1
D.0.5
B
）A.0
B.−1
C.1
D.0.5
答案
B 【点拨】$\because \frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{1}{c-a},\therefore x=\frac{a-b}{c-a},y=\frac{b-c}{c-a},$
$\therefore x+y=\frac{a-b+b-c}{c-a}=\frac{a-c}{c-a}=-1.$
$\therefore x+y=\frac{a-b+b-c}{c-a}=\frac{a-c}{c-a}=-1.$
9. 新考法 数形结合法 若$x$是非负整数，则表示$\frac{2x}{x+2} - \frac{x^2 -4}{(x+2)^2}$的值的对应点落在如图所示的数轴上的范围是（
A.①
B.②
C.③
D.①或②
B
）A.①
B.②
C.③
D.①或②
答案
B 【点拨】原式$=\frac{2x}{x+2}-\frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)^2}=\frac{2x}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{2x-(x-2)}{x+2}=\frac{2x-x+2}{x+2}=\frac{x+2}{x+2}=1,$则表示$\frac{2x}{x+2}-\frac{x^2-4}{(x+2)^2}$的值的对应点落在数轴上的范围是②.
10. 计算：① $\frac{1}{x} - \frac{x+1}{x}$；② $\frac{x^2 - y^2}{4xy} - \frac{x^2 + y^2}{4xy}$；③ $\frac{x^2 + y^2}{x - y} + \frac{2xy}{y - x}$；④ $\frac{x+3}{x+2} - \frac{x-2}{x^2 -4}$。所得的结果中，是整式的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C 【点拨】①$\frac{1}{x}-\frac{x+1}{x}=\frac{1-x-1}{x}=-1,$②$\frac{x^2-y^2}{4xy}-\frac{x^2+y^2}{4xy}=\frac{x^2-y^2-x^2-y^2}{4xy}=\frac{-2y^2}{4xy}=-\frac{y}{2x},$③$\frac{x^2+y^2}{x-y}+\frac{2xy}{y-x}=\frac{x^2+y^2-2xy}{x-y}=\frac{(x-y)^2}{x-y}=x-y,$④$\frac{x+3}{x+2}-\frac{x-2}{x^2-4}=\frac{x+3}{x+2}-\frac{1}{x+2}=\frac{x+3-1}{x+2}=1,$故①③④所得的结果是整式.
11. 新考法 作差比较法 已知 $P=\dfrac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}, Q=\dfrac{2ab}{a^2 - b^2}$，其中 $a＞b＞0$，则 $P,Q$ 的大小关系是（
A.$P=Q$
B.$P＞Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定
B
）A.$P=Q$
B.$P＞Q$
C.$P＜Q$
D.不能确定
答案
B
