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12. 新考法 错中求解法 在计算$\frac{m^2}{m+1} ÷ \frac{\otimes}{m+1}$时，把运算符号“÷”看成了“－”，得到的计算结果是$m-1$，则$\frac{m^2}{m+1} ÷ \frac{\otimes}{m+1}$的结果为
$m^2$
。答案
$m^2$
13. 如果$a,b,c$是正数，且满足$a+b+c=1$，$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=6$，求$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$的值。
答案
【解】$\because a+b+c=1,$
$\therefore a=1-b-c,b=1-a-c,c=1-a-b.$
$\because \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=6,$
$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{1-a-b}{a+b}+\frac{1-b-c}{b+c}+\frac{1-a-c}{a+c}=\frac{1}{a+b}+\frac{-a-b}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{-b-c}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{-a-c}{a+c}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}-3=6-3=3.$
$\therefore a=1-b-c,b=1-a-c,c=1-a-b.$
$\because \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}=6,$
$\therefore \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\frac{1-a-b}{a+b}+\frac{1-b-c}{b+c}+\frac{1-a-c}{a+c}=\frac{1}{a+b}+\frac{-a-b}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{-b-c}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{-a-c}{a+c}=\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}-3=6-3=3.$
14. 情境题 生活应用 从甲地到乙地有两条路，每条路都是6 km，其中第一条路是平路，第二条路有3 km的上坡路和3 km的下坡路.小丽在上坡路上的骑车速度为$v$ km/h，在平路上的骑车速度为$2v$ km/h，在下坡路上的骑车速度为$3v$ km/h.
(1)当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多少时间？
(2)她走哪条路花费的时间少？少多长时间？
(1)当走第二条路时，她从甲地到乙地需要多少时间？
(2)她走哪条路花费的时间少？少多长时间？
答案
【解】(1)小丽走第二条路的时间$=\frac{3}{v}+\frac{3}{3v}=\frac{4}{v}(\mathrm{h}).$
故当走第二条路时,她从甲地到乙地需要$\frac{4}{v}\mathrm{h}.$
(2)小丽走第一条路的时间$=\frac{6}{2v}=\frac{3}{v}(\mathrm{h}).$$\frac{4}{v}-\frac{3}{v}=\frac{1}{v}(\mathrm{h}),\therefore$小丽走第一条路花费的时间少,少$\frac{1}{v}\mathrm{h}.$
故当走第二条路时,她从甲地到乙地需要$\frac{4}{v}\mathrm{h}.$
(2)小丽走第一条路的时间$=\frac{6}{2v}=\frac{3}{v}(\mathrm{h}).$$\frac{4}{v}-\frac{3}{v}=\frac{1}{v}(\mathrm{h}),\therefore$小丽走第一条路花费的时间少,少$\frac{1}{v}\mathrm{h}.$
15. 对于形如$\frac{x^2 + ax + b}{x + c}$的分式，我们可以通过观察分母的特征，采取“凑分母”的方法将分式变形，最终表示成整式与分式和（差）的形式或者整式的形式。例如：
$\frac{x^2 + x + 1}{x} = \frac{x^2 + x}{x} + \frac{1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}$，
$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = \frac{x(x - 1)}{x - 1} + \frac{2x + 1}{x - 1} = x + \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1}$。
解决问题：
(1) 分式$\frac{x^2 - 2x + 3}{x}$可以表示成$P + \frac{3}{x}$的形式，且$P$为整式，用含$x$的式子表示$P$；
(2) 已知$m$为整数。
① 若$\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$可以表示成一个整式，求$m$的值；
② 若$m = 5$，$x$为整数，且$\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$的结果也为整数，直接写出$x$的值。
$\frac{x^2 + x + 1}{x} = \frac{x^2 + x}{x} + \frac{1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}$，
$\frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = \frac{x(x - 1)}{x - 1} + \frac{2x + 1}{x - 1} = x + \frac{2(x - 1) + 3}{x - 1} = x + 2 + \frac{3}{x - 1}$。
解决问题：
(1) 分式$\frac{x^2 - 2x + 3}{x}$可以表示成$P + \frac{3}{x}$的形式，且$P$为整式，用含$x$的式子表示$P$；
(2) 已知$m$为整数。
① 若$\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$可以表示成一个整式，求$m$的值；
② 若$m = 5$，$x$为整数，且$\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$的结果也为整数，直接写出$x$的值。
答案
【解】(1)$\frac{x^2 - 2x + 3}{x}=\frac{x^2 - 2x}{x}+\frac{3}{x}=\frac{x(x-2)}{x}+\frac{3}{x}=x-2+\frac{3}{x},$
$\because$分式$\frac{x^2 - 2x + 3}{x}$可以表示成$P+\frac{3}{x}$的形式,且$P$为整式,$\therefore P=x-2.$
(2) ① $\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}=\frac{x^2 - x}{x - 1}+\frac{-2x + m}{x - 1}=\frac{x(x-1)}{x-1}-\frac{2x-2-m+2}{x-1}=x-\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{m-2}{x-1}=x-2+\frac{m-2}{x-1},$
$\because \frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$可以表示成一个整式,
$\therefore \frac{m-2}{x-1}=0,\therefore m-2=0,$解得$m=2.$
②$m$的值为4或2或−2或0.
【点拨】$\because m=5,$
$\therefore \frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}=x-2+\frac{m-2}{x-1}=x-2+\frac{3}{x-1}.$
$\because \frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$的结果为整数,$\therefore \frac{3}{x-1}$是整数.
$\because x$为整数,$\therefore x-1=\pm3$或$x-1=\pm1.$
解得$x=4$或$x=-2$或$x=2$或$x=0,$
$\therefore x$的值为4或2或−2或0.
$\because$分式$\frac{x^2 - 2x + 3}{x}$可以表示成$P+\frac{3}{x}$的形式,且$P$为整式,$\therefore P=x-2.$
(2) ① $\frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}=\frac{x^2 - x}{x - 1}+\frac{-2x + m}{x - 1}=\frac{x(x-1)}{x-1}-\frac{2x-2-m+2}{x-1}=x-\frac{2(x-1)}{x-1}+\frac{m-2}{x-1}=x-2+\frac{m-2}{x-1},$
$\because \frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$可以表示成一个整式,
$\therefore \frac{m-2}{x-1}=0,\therefore m-2=0,$解得$m=2.$
②$m$的值为4或2或−2或0.
【点拨】$\because m=5,$
$\therefore \frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}=x-2+\frac{m-2}{x-1}=x-2+\frac{3}{x-1}.$
$\because \frac{x^2 - 3x + m}{x - 1}$的结果为整数,$\therefore \frac{3}{x-1}$是整数.
$\because x$为整数,$\therefore x-1=\pm3$或$x-1=\pm1.$
解得$x=4$或$x=-2$或$x=2$或$x=0,$
$\therefore x$的值为4或2或−2或0.
