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11. 新视角 新定义题 规定一种新的运算“$JQ_{x \to +∞}\frac{A}{B}$”，其中$A$和$B$是关于$x$的多项式. 当$A$的次数小于$B$的次数时，$JQ_{x \to +∞}\frac{A}{B}=0$；当$A$的次数等于$B$的次数时，$JQ_{x \to +∞}\frac{A}{B}$的值为$A$，$B$的最高次项的系数的商；当$A$的次数大于$B$的次数时，$JQ_{x \to +∞}\frac{A}{B}$不存在.
例：$JQ_{x \to +∞}\frac{2}{x-1}=0$，
$JQ_{x \to +∞}\frac{x^2+2}{2x^2+3x-1}=\frac{1}{2}$.
若$\frac{A}{B}=\frac{2x-5}{x-1}÷\frac{6x^2-15x}{x^2-1}$，则$JQ_{x \to +∞}\frac{A}{B}$的值为（
A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.不存在
例：$JQ_{x \to +∞}\frac{2}{x-1}=0$，
$JQ_{x \to +∞}\frac{x^2+2}{2x^2+3x-1}=\frac{1}{2}$.
若$\frac{A}{B}=\frac{2x-5}{x-1}÷\frac{6x^2-15x}{x^2-1}$，则$JQ_{x \to +∞}\frac{A}{B}$的值为（
C
）A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.不存在
答案
C
【点拨】$\dfrac{A}{B} = \dfrac{2x-5}{x-1} ÷ \dfrac{6x^2 -15x}{x^2 -1} = \dfrac{2x-5}{x-1} ÷ \dfrac{3x(2x-5)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{2x-5}{x-1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{3x(2x-5)} = \dfrac{x+1}{3x},$
$\therefore JQ_{x \to +∞}\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{3}.$ 故选C.
【点拨】$\dfrac{A}{B} = \dfrac{2x-5}{x-1} ÷ \dfrac{6x^2 -15x}{x^2 -1} = \dfrac{2x-5}{x-1} ÷ \dfrac{3x(2x-5)}{(x+1)(x-1)} = \dfrac{2x-5}{x-1} · \dfrac{(x+1)(x-1)}{3x(2x-5)} = \dfrac{x+1}{3x},$
$\therefore JQ_{x \to +∞}\dfrac{A}{B}=\dfrac{1}{3}.$ 故选C.
12. 已知$A=xy+x^2$，$B=\dfrac{x^2+2xy+y^2}{xy}$，$C=\dfrac{x^2}{x+y}$，若$A÷ B^2=C^2× D$，则$D=$
$\dfrac{y^2}{x(x+y)}$
答案
$\dfrac{y^2}{x(x+y)}$
【点拨】$\because A ÷ B^2 = C^2 × D, \therefore D=A ÷ B^2 ÷ C^2, \therefore D=(xy+x^2) ÷ (\dfrac{x^2+2xy+y^2}{xy})^2 ÷ (\dfrac{x^2}{x+y})^2 = x(y+x) · \dfrac{x^2 y^2}{(x+y)^4} · \dfrac{(x+y)^2}{x^4} = \dfrac{y^2}{x(x+y)}.$
【点拨】$\because A ÷ B^2 = C^2 × D, \therefore D=A ÷ B^2 ÷ C^2, \therefore D=(xy+x^2) ÷ (\dfrac{x^2+2xy+y^2}{xy})^2 ÷ (\dfrac{x^2}{x+y})^2 = x(y+x) · \dfrac{x^2 y^2}{(x+y)^4} · \dfrac{(x+y)^2}{x^4} = \dfrac{y^2}{x(x+y)}.$
13. 如图,将长、宽分别为$a,b$的四个长方形硬纸片拼成一个“带孔”的正方形,已知拼成的大正方形的面积为49,中间小正方形的面积为1,则
$(a^4 - b^4) ÷ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值为________.
$(a^4 - b^4) ÷ \dfrac{a^2 + b^2}{ab} ÷ (6a - 6b)$的值为________.
答案
14
14. (1)若$A=\frac{a-1}{a+2}·\frac{a^2 - 4}{a^2 - 2a + 1}÷\frac{1}{a - 1}$，化简$A$；
(2)若$a$满足$a^2 - a = 0$，求$A$的值。
(2)若$a$满足$a^2 - a = 0$，求$A$的值。
答案
(1)$A=\dfrac{a-1}{a+2} · \dfrac{(a-2)(a+2)}{(a-1)^2} · (a-1)=a-2.$
(2)$\because a^2 -a =a(a-1)=0, \therefore a=0$ 或 $a=1. \because$ 要使得A有意义，$\therefore a+2 \ne 0, a^2 -2a +1=(a-1)^2 \ne 0, a-1 \ne 0. \therefore a \ne -2$ 且 $a \ne 1. \therefore a=0.$ 将$a=0$代入$A=a-2,$ 得$A=a-2=0-2=-2.$
点方法：(1)理解法则，若是除法运算，先转化成乘法运算.(2)分子、分母能分解因式的先分解因式，然后再约分.(3)运算的结果要化为最简分式或整式.(4)自选数的代入求值问题，不要忽视分母不为零的条件.
(2)$\because a^2 -a =a(a-1)=0, \therefore a=0$ 或 $a=1. \because$ 要使得A有意义，$\therefore a+2 \ne 0, a^2 -2a +1=(a-1)^2 \ne 0, a-1 \ne 0. \therefore a \ne -2$ 且 $a \ne 1. \therefore a=0.$ 将$a=0$代入$A=a-2,$ 得$A=a-2=0-2=-2.$
点方法：(1)理解法则，若是除法运算，先转化成乘法运算.(2)分子、分母能分解因式的先分解因式，然后再约分.(3)运算的结果要化为最简分式或整式.(4)自选数的代入求值问题，不要忽视分母不为零的条件.
15. 小明同学做完$- ( \dfrac{m}{n} )^5 · ( -\dfrac{n^2}{m} )^4 ÷ (-mn^4)$后，说：“当$m=-3$或$-9$，$n=12$时，原式的值都是一样的。”你认为他的说法对吗？说说你的观点。
答案
小明同学的说法是对的. 理由：原式$=-\dfrac{m^5}{n^5} · \dfrac{n^8}{m^4} ÷ (-mn^4) = -mn^3 · (-\dfrac{1}{mn^4}) = \dfrac{1}{n},$ 因此上式的值与m没有关系，$\therefore$ 小明同学的说法正确.
16. 新趋势 跨学科 通常购买同一种西瓜时，西瓜的质量越大，花费越高，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好，假如我们把西瓜都看成球体（西瓜的半径为$ r $），并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜皮的厚度都是$ d $，已知球的体积公式为$ V=\frac{4}{3}π R^3 $（其中$ R $为球的半径）。
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积分别是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积分别是多少？
(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？
(3)买大西瓜合算还是买小西瓜合算？
答案
(1)西瓜瓤的体积$V_1=\dfrac{4}{3}π · (r-d)^3,$ 整个西瓜的体积为$V=\dfrac{4}{3}π r^3.$
(2)$\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{\dfrac{4}{3}π(r-d)^3}{\dfrac{4}{3}π r^3}=\dfrac{(r-d)^3}{r^3}=(1-\dfrac{d}{r})^3.$
(3)由(2)知$\dfrac{V_1}{V}=(1-\dfrac{d}{r})^3,$ 当d一定时，r越大，$\dfrac{V_1}{V}$越大，故买大西瓜合算.
(2)$\dfrac{V_1}{V}=\dfrac{\dfrac{4}{3}π(r-d)^3}{\dfrac{4}{3}π r^3}=\dfrac{(r-d)^3}{r^3}=(1-\dfrac{d}{r})^3.$
(3)由(2)知$\dfrac{V_1}{V}=(1-\dfrac{d}{r})^3,$ 当d一定时，r越大，$\dfrac{V_1}{V}$越大，故买大西瓜合算.
