三、解答题（共44分）
15.（8分）母题 教材P117习题T3 计算：
(1)$(3x+1)(3x-1)-(x+3)^2$；
(2)$(2x-y-1)(2x+y-1)$。

(1)原式$=9x^2-1-(x^2+6x+9)=9x^2-1-x^2-6x-9=8x^2-6x-10.$
(2)原式$=[(2x-1)-y][(2x-1)+y]=(2x-1)^2-y^2=4x^2-4x+1-y^2.$

16. (8分)母题 教材P115例4 用简便的方法计算：
(1)$50\frac{1}{20} × 49\frac{19}{20}$；
(2)$200^2 - 400 × 199 + 199^2$。

(1)原式$=(50+\frac{1}{20})×(50-\frac{1}{20})=50^2-(\frac{1}{20})^2=2\ 500-\frac{1}{400}=2\ 499\frac{399}{400}.$
(2)原式$=200^2-2×200×199+199^2=(200-199)^2=1.$

17. (8分) 新考法 过程辨析法 化简: $(a+2b)^2 - (a+2b)(a-2b)$，以下是小明的解题过程：
$(a+2b)^2 - (a+2b)(a-2b)$
$=a^2 +4b^2 - (a^2 -4b^2)……第一步$
$=a^2 +4b^2 -a^2 +4b^2……第二步$
$=8b^2.……第三步$
老师看到后，说小明做错了.
(1)请问:小明错在第步；
(2)请写出正确的解题过程,并计算当 $a=-1$，$b=\frac{1}{2}$时原式的值.

(1)一
(2)$(a+2b)^2-(a+2b)(a-2b)=a^2+4ab+4b^2-(a^2-4b^2)=a^2+4ab+4b^2-a^2+4b^2=4ab+8b^2.$
当$a=-1,b=\frac{1}{2}$时,原式$=4×(-1)×\frac{1}{2}+8×(\frac{1}{2})^2=0.$

18. (10分)[2025北京海淀区期中]化简求值:当$x^2 -2x -3=0$时,求代数式$(x-1)^2 +x(x-4)+(x-2)(x+2)$的值.

$(x-1)^2+x(x-4)+(x-2)(x+2)=x^2-2x+1+x^2-4x+x^2-4=3x^2-6x-3.$
$\because x^2-2x-3=0,\therefore x^2-2x=3.$
$\therefore$原式$=3(x^2-2x)-3=3×3-3=6.$

19.(10分)“算两次”,又称“富比尼原理”,是指把同一个量用两种不同的方式表示出来,通过等量关系进行求解的一种数学策略.通过把面积“算两次”,可以巧妙地解决一些数学问题.
如图①,是一个长为$2m$、宽为$2n$的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.

(1)图②中阴影部分的面积为;
(2)观察图②,请你根据“算两次”策略,写出三个代数式$(m+n)^2$、$(m-n)^2$、$mn$之间的等量关系式:;
(3)根据(2)中的结论,若$x+y=-6,xy=2.75$,则$x-y=$;
(4)观察图③,请你根据“算两次”策略,写出你能得到的代数恒等式:;
(5)试画一个几何图形,使它的面积能表示$(m+n)(m+3n)=m^2+4mn+3n^2$.

(1)$(m-n)^2$
(2)$(m-n)^2+4mn=(m+n)^2$
(3)$\pm5$
点拨：由(2)可知,$(x-y)^2+4xy=(x+y)^2$,将$x+y=-6,xy=2.75$代入该式得$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=36-4×2.75=25,\therefore x-y=\pm5.$
(4)$(2m+n)(m+n)=2m^2+3mn+n^2$
(5)