登录
1 将一元二次方程$5x^2 - 1 = 4x$化为一般形式，其中，一次项系数是 （
A.5
B.$-4$
C.4
D.$-1$
B
）A.5
B.$-4$
C.4
D.$-1$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将给定方程移项，把所有项都移到等号左侧，使等号右侧为0，整理成一般形式后，即可找到一次项系数，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。
对原方程$5x^2 -1 = 4x$移项，将右侧的$4x$移到左侧，移项要变号，可得：
$5x^2 -4x -1 = 0$
该方程的一次项为$-4x$，因此一次项系数为$-4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是移项时忘记变号，或者确定系数时漏掉项前面的负号，解题时要注意整理完一般形式后再确定对应系数。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先需要明确一元二次方程一般形式的定义：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中$ax^2$是二次项，$a$是二次项系数，$bx$是一次项，$b$是一次项系数，$c$是常数项。解题时先将给定方程移项，把所有项都移到等号左侧，使等号右侧为0，整理成一般形式后，即可找到一次项系数，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）。
对原方程$5x^2 -1 = 4x$移项，将右侧的$4x$移到左侧，移项要变号，可得：
$5x^2 -4x -1 = 0$
该方程的一次项为$-4x$，因此一次项系数为$-4$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是移项时忘记变号，或者确定系数时漏掉项前面的负号，解题时要注意整理完一般形式后再确定对应系数。
【难度系数】
0.9
2 若关于$x$的方程$(m-2)x^{m^2 -2} +4x -7=0$是一元二次方程，则$m$的值满足（
A.$m≠2$
B.$m=±2$
C.$m=-2$
D.$m=2$
C
）A.$m≠2$
B.$m=±2$
C.$m=-2$
D.$m=2$
答案
2. C
解析
【分析】
要确定m的取值，首先回忆一元二次方程的判定规则：一元二次方程需同时满足两个核心条件：①只含一个未知数，且未知数的最高次数为2；②是整式方程，且二次项系数不为0。本题中先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(m-2)x^{m^2 -2} +4x -7=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
综合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程定义的应用，解题时需注意二次项系数不为0是容易遗漏的条件，避免因只考虑次数要求错选B选项。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，首先回忆一元二次方程的判定规则：一元二次方程需同时满足两个核心条件：①只含一个未知数，且未知数的最高次数为2；②是整式方程，且二次项系数不为0。本题中先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 方程$(m-2)x^{m^2 -2} +4x -7=0$是一元二次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2 = 2$
移项得$m^2 = 4$，解得$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0，即：
$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$
综合两个条件，舍去$m=2$，因此$m=-2$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程定义的应用，解题时需注意二次项系数不为0是容易遗漏的条件，避免因只考虑次数要求错选B选项。
【难度系数】
0.7
3 若关于$x$的一元二次方程$mx^2 + nx -1 = 0$（$m≠0$）的一个根是$x=1$，则$2m + 2n$的值是
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
已知一元二次方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程可得到关于参数m、n的等式，整理得出m+n的值后，观察所求代数式2m+2n可变形为2(m+n)，采用整体代入的方法即可计算出结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$mx^2 + nx -1 = 0$（$m≠0$）的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$m × 1^2 + n × 1 - 1 = 0$
整理得：$m + n = 1$
又
∵$2m + 2n = 2(m + n)$
将$m + n = 1$代入得：$2m + 2n = 2 × 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握方程根的定义，结合整体代入思想简化计算，避免单独求解m、n的数值，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
已知一元二次方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程可得到关于参数m、n的等式，整理得出m+n的值后，观察所求代数式2m+2n可变形为2(m+n)，采用整体代入的方法即可计算出结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$mx^2 + nx -1 = 0$（$m≠0$）的根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$m × 1^2 + n × 1 - 1 = 0$
整理得：$m + n = 1$
又
∵$2m + 2n = 2(m + n)$
将$m + n = 1$代入得：$2m + 2n = 2 × 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握方程根的定义，结合整体代入思想简化计算，避免单独求解m、n的数值，提升解题效率。
【难度系数】
0.9
4 用配方法解方程$x^2 + 8x + 7 = 0$，变形正确的是（
A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=16$
D.$(x+8)^2=57$
A
）A.$(x+4)^2=9$
B.$(x-4)^2=9$
C.$(x-8)^2=16$
D.$(x+8)^2=57$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确配方法解一元二次方程的核心步骤：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧凑成完全平方式，最后化简右侧结果，和选项比对即可得到正确答案，解题时要注意一次项系数的符号，避免完全平方式的符号出错。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 8x + 7 = 0$进行配方变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 8x = -7$；
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给等号两边同时加16，得：
$x^2 + 8x + 16 = -7 + 16$
3. 整理：等号左侧为完全平方式，右侧合并常数项，得$(x+4)^2=9$，和选项比对可知A正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作流程，要注意配方时所加的常数是一次项系数一半的平方，完全平方式内的符号和一次项系数的符号一致，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确配方法解一元二次方程的核心步骤：首先将方程中的常数项移到等号右侧，再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把等号左侧凑成完全平方式，最后化简右侧结果，和选项比对即可得到正确答案，解题时要注意一次项系数的符号，避免完全平方式的符号出错。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 8x + 7 = 0$进行配方变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 + 8x = -7$；
2. 配方：一次项系数为8，其一半的平方为$(\frac{8}{2})^2=16$，给等号两边同时加16，得：
$x^2 + 8x + 16 = -7 + 16$
3. 整理：等号左侧为完全平方式，右侧合并常数项，得$(x+4)^2=9$，和选项比对可知A正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础考查题型，解题关键是熟练掌握配方法的操作流程，要注意配方时所加的常数是一次项系数一半的平方，完全平方式内的符号和一次项系数的符号一致，避免因符号判断错误丢分。
【难度系数】
0.8
5 若菱形两条对角线的长度是方程$x^2 -4x +3=0$的两根，则该菱形的面积为
$\frac{3}{2}$
。答案
5. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 回忆菱形面积的计算公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，因此只需算出两条对角线的乘积即可求得面积；2. 已知两条对角线的长是方程$x^2 -4x +3=0$的两根，无需解方程求根，直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）即可快速求出两根之积，代入面积公式即可得到结果。
【解析】
解：设方程$x^2 -4x +3=0$的两根分别为$x_1$、$x_2$，即菱形两条对角线的长度为$x_1$、$x_2$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=3$，因此$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
根据菱形面积公式：$S_{菱形}=\frac{1}{2}×对角线乘积$，代入得：
$S_{菱形}=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 菱形面积计算 2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础的代数几何综合题，将一元二次方程的性质和菱形面积公式结合考查，解题时灵活运用韦达定理求两根之积，可省去解方程的步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：1. 回忆菱形面积的计算公式：菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，因此只需算出两条对角线的乘积即可求得面积；2. 已知两条对角线的长是方程$x^2 -4x +3=0$的两根，无需解方程求根，直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）即可快速求出两根之积，代入面积公式即可得到结果。
【解析】
解：设方程$x^2 -4x +3=0$的两根分别为$x_1$、$x_2$，即菱形两条对角线的长度为$x_1$、$x_2$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之积满足$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=3$，因此$x_1x_2=\frac{3}{1}=3$。
根据菱形面积公式：$S_{菱形}=\frac{1}{2}×对角线乘积$，代入得：
$S_{菱形}=\frac{1}{2}x_1x_2=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 菱形面积计算 2. 一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是基础的代数几何综合题，将一元二次方程的性质和菱形面积公式结合考查，解题时灵活运用韦达定理求两根之积，可省去解方程的步骤，提高解题效率。
【难度系数】
0.8
6 用适当的方法解下列方程：
(1) $(x-1)^2=\frac{9}{4}$；
(2) $2(x+5)^2=x(x+5)$；
(3) $(x+1)(x+8)=-12$；
(4) $x^2+4x=6$。
(1) $(x-1)^2=\frac{9}{4}$；
(2) $2(x+5)^2=x(x+5)$；
(3) $(x+1)(x+8)=-12$；
(4) $x^2+4x=6$。
答案
6. (1) $x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$
(2) $x_1 = -10, x_2 = -5$
(3) $x_1=-4, x_2=-5$
(4) $x_1=-2+\sqrt{10}, x_2=-2-\sqrt{10}$
(2) $x_1 = -10, x_2 = -5$
(3) $x_1=-4, x_2=-5$
(4) $x_1=-2+\sqrt{10}, x_2=-2-\sqrt{10}$
解析
【分析】
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左边是完全平方形式，右边为非负常数，适合用直接开平方法求解，直接开平方降次即可转化为一元一次方程；
(2) 方程两边都含有公因式$(x+5)$，适合用因式分解法，注意不能直接两边除以$(x+5)$，否则会丢失$x=-5$这个根，需先移项再提取公因式降次；
(3) 方程左边是多项式乘积，右边为常数，先展开整理为一元二次方程的一般形式，观察发现可通过十字相乘法因式分解求解；
(4) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，也可整理为一般式后用公式法求解。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=\frac{9}{4}$直接开平方，得：
$x-1=\pm\frac{3}{2}$
即$x=1+\frac{3}{2}$或$x=1-\frac{3}{2}$
解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) 对$2(x+5)^2=x(x+5)$移项，得：
$2(x+5)^2 - x(x+5)=0$
提取公因式$(x+5)$，得：
$(x+5)[2(x+5)-x]=0$
化简得$(x+5)(x+10)=0$
$\therefore x+5=0$或$x+10=0$
解得$x_1=-5,x_2=-10$
(3) 先展开$(x+1)(x+8)=-12$左边，整理得：
$x^2+9x+8=-12$
移项合并同类项得$x^2+9x+20=0$
因式分解得$(x+4)(x+5)=0$
$\therefore x+4=0$或$x+5=0$
解得$x_1=-4,x_2=-5$
(4) 对$x^2+4x=6$配方，两边同时加4，得：
$x^2+4x+4=6+4$
即$(x+2)^2=10$
开平方得$x+2=\pm\sqrt{10}$
解得$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$
【答案】
(1) $x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$
(2) $x_1 = -10, x_2 = -5$
(3) $x_1=-4, x_2=-5$
(4) $x_1=-2+\sqrt{10}, x_2=-2-\sqrt{10}$
【知识点】
直接开平方法，因式分解法，配方法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活应用，解题时需根据方程的特点选择最简方法，提高解题效率，注意不要随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左边是完全平方形式，右边为非负常数，适合用直接开平方法求解，直接开平方降次即可转化为一元一次方程；
(2) 方程两边都含有公因式$(x+5)$，适合用因式分解法，注意不能直接两边除以$(x+5)$，否则会丢失$x=-5$这个根，需先移项再提取公因式降次；
(3) 方程左边是多项式乘积，右边为常数，先展开整理为一元二次方程的一般形式，观察发现可通过十字相乘法因式分解求解；
(4) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，也可整理为一般式后用公式法求解。
【解析】
(1) 对$(x-1)^2=\frac{9}{4}$直接开平方，得：
$x-1=\pm\frac{3}{2}$
即$x=1+\frac{3}{2}$或$x=1-\frac{3}{2}$
解得$x_1=\frac{5}{2},x_2=-\frac{1}{2}$
(2) 对$2(x+5)^2=x(x+5)$移项，得：
$2(x+5)^2 - x(x+5)=0$
提取公因式$(x+5)$，得：
$(x+5)[2(x+5)-x]=0$
化简得$(x+5)(x+10)=0$
$\therefore x+5=0$或$x+10=0$
解得$x_1=-5,x_2=-10$
(3) 先展开$(x+1)(x+8)=-12$左边，整理得：
$x^2+9x+8=-12$
移项合并同类项得$x^2+9x+20=0$
因式分解得$(x+4)(x+5)=0$
$\therefore x+4=0$或$x+5=0$
解得$x_1=-4,x_2=-5$
(4) 对$x^2+4x=6$配方，两边同时加4，得：
$x^2+4x+4=6+4$
即$(x+2)^2=10$
开平方得$x+2=\pm\sqrt{10}$
解得$x_1=-2+\sqrt{10},x_2=-2-\sqrt{10}$
【答案】
(1) $x_1 = \frac{5}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$
(2) $x_1 = -10, x_2 = -5$
(3) $x_1=-4, x_2=-5$
(4) $x_1=-2+\sqrt{10}, x_2=-2-\sqrt{10}$
【知识点】
直接开平方法，因式分解法，配方法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活应用，解题时需根据方程的特点选择最简方法，提高解题效率，注意不要随意除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.8
