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7 [2025 德阳]若关于x的一元二次方程$-2x^2 + 4x + k = 0$有两个相等的实数根，则k的值是（
A.2
B.0
C.-2
D.-4
C
）A.2
B.0
C.-2
D.-4
答案
7. C
解析
【分析】
看到题目中一元二次方程有两个相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中对应$a、b、c$的取值（注意带符号），再代入$\Delta=0$的等式，解关于$k$的一元一次方程即可得到$k$的值。
【解析】
对于一元二次方程$-2x^2 + 4x + k = 0$，可得：
二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=k$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$
代入系数得：
$4^2 - 4×(-2)× k = 0$
计算得：$16 + 8k = 0$
移项得：$8k = -16$
解得：$k=-2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需注意准确提取方程各项的系数，避免符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
看到题目中一元二次方程有两个相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：当判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根。接下来先明确一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$中对应$a、b、c$的取值（注意带符号），再代入$\Delta=0$的等式，解关于$k$的一元一次方程即可得到$k$的值。
【解析】
对于一元二次方程$-2x^2 + 4x + k = 0$，可得：
二次项系数$a=-2$，一次项系数$b=4$，常数项$c=k$
∵ 方程有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta=b^2-4ac=0$
代入系数得：
$4^2 - 4×(-2)× k = 0$
计算得：$16 + 8k = 0$
移项得：$8k = -16$
解得：$k=-2$
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时需注意准确提取方程各项的系数，避免符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.8
8 [2024泰安]若关于x的一元二次方程$2x^2 - 3x + k = 0$有实数根，则实数k的取值范围是（
A.$k ＜ \dfrac{9}{8}$
B.$k ≤ \dfrac{9}{8}$
C.$k ≥ \dfrac{9}{8}$
D.$k ＜ -\dfrac{9}{8}$
B
）A.$k ＜ \dfrac{9}{8}$
B.$k ≤ \dfrac{9}{8}$
C.$k ≥ \dfrac{9}{8}$
D.$k ＜ -\dfrac{9}{8}$
答案
8. B
解析
【分析】
看到题目是一元二次方程有实数根的问题，首先想到利用一元二次方程根的判别式求解：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根的等价条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，接着找出本题方程中对应的$a、b、c$的值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有实数根时，判别式满足$\Delta = b^2-4ac≥0$。
本题中方程为$2x^2 - 3x + k = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=k$，代入判别式可得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2× k ≥0$
计算得：$9 - 8k ≥0$
移项得：$8k ≤9$
两边同时除以8得：$k ≤ \dfrac{9}{8}$
因此符合条件的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意“有实数根”包含有两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况，对应判别式要取大于等于0，不要遗漏等号。
【难度系数】
0.8
看到题目是一元二次方程有实数根的问题，首先想到利用一元二次方程根的判别式求解：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有实数根的等价条件是判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，接着找出本题方程中对应的$a、b、c$的值，代入判别式得到关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围，对应选项选出答案。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当方程有实数根时，判别式满足$\Delta = b^2-4ac≥0$。
本题中方程为$2x^2 - 3x + k = 0$，其中$a=2$，$b=-3$，$c=k$，代入判别式可得：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2× k ≥0$
计算得：$9 - 8k ≥0$
移项得：$8k ≤9$
两边同时除以8得：$k ≤ \dfrac{9}{8}$
因此符合条件的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是基础常考题，核心考查一元二次方程根的情况与判别式的对应关系，解题时需注意“有实数根”包含有两个相等实数根和两个不相等实数根两种情况，对应判别式要取大于等于0，不要遗漏等号。
【难度系数】
0.8
9 若$m,n$是一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的两根，则$m^2 - n - 3$的值为（
A.0
B.1
C.2
D.3
A
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将含二次项的$m^2$转化为一次式，实现降次简化目标式，再结合一元二次方程根与系数的关系，整体代入两根之和即可求出结果，无需单独求解m、n的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + m - 2 = 0$，即$m^2 = 2 - m$。
将$m^2 = 2 - m$代入$m^2 - n - 3$得：
原式$= 2 - m - n - 3 = -(m + n) - 1$。
又
∵ $m,n$是一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = -1$，
∴ 原式$=-(-1) -1 = 1 - 1 = 0$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的灵活应用，通过降次和整体代入的思路可快速解题，避免了求解方程根的繁琐运算，能有效考查学生的转化思维和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将含二次项的$m^2$转化为一次式，实现降次简化目标式，再结合一元二次方程根与系数的关系，整体代入两根之和即可求出结果，无需单独求解m、n的具体值，简化计算过程。
【解析】
∵ $m$是一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的根，
∴ 将$x=m$代入方程得：$m^2 + m - 2 = 0$，即$m^2 = 2 - m$。
将$m^2 = 2 - m$代入$m^2 - n - 3$得：
原式$= 2 - m - n - 3 = -(m + n) - 1$。
又
∵ $m,n$是一元二次方程$x^2 + x - 2 = 0$的两根，根据根与系数的关系，两根之和$m + n = -\frac{b}{a} = -1$，
∴ 原式$=-(-1) -1 = 1 - 1 = 0$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程相关性质的灵活应用，通过降次和整体代入的思路可快速解题，避免了求解方程根的繁琐运算，能有效考查学生的转化思维和公式应用能力。
【难度系数】
0.7
10 [2025 泸州]若一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α,β$,则$2α^2 -3α +3β$的值为
10
.答案
10. 10
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，利用方程根的定义，因为α是给定一元二次方程的根，代入方程可得到2α²和α的关系式，实现二次项降次；第二步，将得到的关系式代入所求代数式，化简后可得到含有两根之和α+β的形式；第三步，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的式子即可算出结果，不需要直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
∵α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，整理可得$2α^2=6α+1$。
把$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$得：
$\begin{aligned}原式&=6α+1-3α+3β\\&=3α+3β+1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
根据根与系数的关系，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，两根α、β的和为$α+β=-\frac{-6}{2}=3$。
将$α+β=3$代入上式得：$3×3+1=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质的常规综合应用题，核心技巧是通过根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入求值，能有效规避直接求根的繁琐计算，是该模块的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，利用方程根的定义，因为α是给定一元二次方程的根，代入方程可得到2α²和α的关系式，实现二次项降次；第二步，将得到的关系式代入所求代数式，化简后可得到含有两根之和α+β的形式；第三步，根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的式子即可算出结果，不需要直接求解方程的根，能简化计算。
【解析】
∵α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴将$x=α$代入方程得：$2α^2 -6α -1=0$，整理可得$2α^2=6α+1$。
把$2α^2=6α+1$代入$2α^2 -3α +3β$得：
$\begin{aligned}原式&=6α+1-3α+3β\\&=3α+3β+1\\&=3(α+β)+1\end{aligned}$
根据根与系数的关系，对于方程$2x^2 -6x -1=0$，两根α、β的和为$α+β=-\frac{-6}{2}=3$。
将$α+β=3$代入上式得：$3×3+1=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程性质的常规综合应用题，核心技巧是通过根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入求值，能有效规避直接求根的繁琐计算，是该模块的典型考法。
【难度系数】
0.7
11（易错题）已知关于x的方程$x^2 - 2mx = -m^2 + 2x$的两个实数根$x_1,x_2$满足$|x_1|=x_2$，则实数m的值为
$-\frac{1}{2}$
。答案
11. $-\frac{1}{2}$
【解析】原方程可化为 $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$，
$\because$ 方程有两个实数根，$\therefore$ 判别式 $\Delta ≥ 0$，即$[-2(m + 1)]^2 - 4×1× m^2=8m+4≥0$，解得 $m≥-\frac{1}{2}$。$\because |x_1|=x_2$，$\therefore x_1=x_2$ 或 $x_1=-x_2$。若 $x_1=x_2$，则 $\Delta=0$，即 $8m+4=0$，解得 $m=-\frac{1}{2}$；若 $x_1=-x_2$，则 $x_1+x_2=0$。由根与系数的关系，得 $x_1+x_2=2(m+1)=0$，解得 $m=-1$(不合题意，舍去)。$\therefore m=-\frac{1}{2}$。
易错分析：一是根据条件$|x_1|=x_2$，去掉绝对值符号后不分两种情况讨论，造成解题过程不完整；二是根据根与系数的关系求解出$m$的值后，忽视用判别式对求出的$m$值进行检验。
【解析】原方程可化为 $x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$，
$\because$ 方程有两个实数根，$\therefore$ 判别式 $\Delta ≥ 0$，即$[-2(m + 1)]^2 - 4×1× m^2=8m+4≥0$，解得 $m≥-\frac{1}{2}$。$\because |x_1|=x_2$，$\therefore x_1=x_2$ 或 $x_1=-x_2$。若 $x_1=x_2$，则 $\Delta=0$，即 $8m+4=0$，解得 $m=-\frac{1}{2}$；若 $x_1=-x_2$，则 $x_1+x_2=0$。由根与系数的关系，得 $x_1+x_2=2(m+1)=0$，解得 $m=-1$(不合题意，舍去)。$\therefore m=-\frac{1}{2}$。
易错分析：一是根据条件$|x_1|=x_2$，去掉绝对值符号后不分两种情况讨论，造成解题过程不完整；二是根据根与系数的关系求解出$m$的值后，忽视用判别式对求出的$m$值进行检验。
解析
【分析】
解题时首先要将给定方程整理为一元二次方程的标准形式，第一步先利用方程有两个实数根的条件，通过根的判别式求出m的取值范围，避免后续求出的m值不符合实根要求。接下来处理$|x_1|=x_2$的条件，根据绝对值的性质分两种情况讨论：①$x_1=x_2$，即两根相等，此时判别式$\Delta=0$，可直接求解m；②$x_1=-x_2$，即两根互为相反数，此时两根之和为0，可结合根与系数的关系求解m。最后将两种情况求出的m值代入之前得到的取值范围验证，舍去不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
先将原方程整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta ≥ 0$，代入计算：
$\Delta = [-2(m + 1)]^2 - 4 × 1 × m^2 = 8m + 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ -\frac{1}{2}$
由$|x_1|=x_2$分两种情况讨论：
1. 当$x_1 = x_2$时，方程有两个相等的实数根，即$\Delta = 0$：
$8m + 4 = 0$，解得$m = -\frac{1}{2}$，符合$m ≥ -\frac{1}{2}$的条件；
2. 当$x_1 = -x_2$时，两根互为相反数，由根与系数的关系可知两根之和$x_1 + x_2 = 0$：
$x_1 + x_2 = 2(m + 1) = 0$，解得$m = -1$，
∵$-1 ＜ -\frac{1}{2}$，不符合判别式要求，舍去。
综上，实数m的值为$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的性质
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意两点：一是处理绝对值条件时要分两种情况讨论，避免漏解；二是利用根的性质求出参数值后，必须结合判别式的取值范围检验，排除不符合实根条件的增根。
【难度系数】
0.6
解题时首先要将给定方程整理为一元二次方程的标准形式，第一步先利用方程有两个实数根的条件，通过根的判别式求出m的取值范围，避免后续求出的m值不符合实根要求。接下来处理$|x_1|=x_2$的条件，根据绝对值的性质分两种情况讨论：①$x_1=x_2$，即两根相等，此时判别式$\Delta=0$，可直接求解m；②$x_1=-x_2$，即两根互为相反数，此时两根之和为0，可结合根与系数的关系求解m。最后将两种情况求出的m值代入之前得到的取值范围验证，舍去不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
先将原方程整理为标准一元二次方程形式：
$x^2 - 2(m + 1)x + m^2 = 0$
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta ≥ 0$，代入计算：
$\Delta = [-2(m + 1)]^2 - 4 × 1 × m^2 = 8m + 4 ≥ 0$
解得：$m ≥ -\frac{1}{2}$
由$|x_1|=x_2$分两种情况讨论：
1. 当$x_1 = x_2$时，方程有两个相等的实数根，即$\Delta = 0$：
$8m + 4 = 0$，解得$m = -\frac{1}{2}$，符合$m ≥ -\frac{1}{2}$的条件；
2. 当$x_1 = -x_2$时，两根互为相反数，由根与系数的关系可知两根之和$x_1 + x_2 = 0$：
$x_1 + x_2 = 2(m + 1) = 0$，解得$m = -1$，
∵$-1 ＜ -\frac{1}{2}$，不符合判别式要求，舍去。
综上，实数m的值为$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，绝对值的性质
【点评】
本题属于易错题，解题时需注意两点：一是处理绝对值条件时要分两种情况讨论，避免漏解；二是利用根的性质求出参数值后，必须结合判别式的取值范围检验，排除不符合实根条件的增根。
【难度系数】
0.6
12 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + (2a + 1)x + a^2 - 1 = 0$有两个不相等的实数根$x_1, x_2.$
（1）求$a$的取值范围；
（2）若$a$为满足条件的负整数，写出$a$的值，并求出$x_1 + x_2$的值.
（1）求$a$的取值范围；
（2）若$a$为满足条件的负整数，写出$a$的值，并求出$x_1 + x_2$的值.
答案
12. (1) $\because$ 方程有两个不等的实数根，$\therefore \Delta=(2a+1)^2-4(a^2-1)=4a+5＞0$。$\therefore a＞-\frac{5}{4}$
(2) $\because a$ 为负整数，且$a＞-\frac{5}{4}$，$\therefore a$ 的值为$-1$。$\therefore x_1+x_2=-(2a+1)=1$
(2) $\because a$ 为负整数，且$a＞-\frac{5}{4}$，$\therefore a$ 的值为$-1$。$\therefore x_1+x_2=-(2a+1)=1$
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此先写出该方程的判别式表达式，代入对应系数化简后解不等式，即可求出a的取值范围。
（2）结合第一问得到的a的取值范围，找出其中的负整数得到a的值，再根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，代入a的值计算即可得到$x_1+x_2$的值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (2a + 1)x + a^2 - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$2a+1$，常数项为$a^2-1$，
代入得：$\Delta=(2a+1)^2 - 4×1×(a^2 - 1)$
$=4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 + 4$
$=4a + 5 ＞ 0$
解不等式得：$a ＞ -\frac{5}{4}$。
（2）
∵ a为满足条件的负整数，且$a ＞ -\frac{5}{4}$，
∴ 符合条件的负整数a的值为$-1$。
根据根与系数的关系，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(2a+1)$，
将$a=-1$代入得：$x_1 + x_2 = -[2×(-1)+1] = -(-2+1) = 1$。
【答案】
(1) $a＞-\frac{5}{4}$；(2) $a=-1$，$x_1+x_2=1$
【知识点】
根的判别式，韦达定理，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规题型，重点考查根的判别式与根的个数的对应关系、韦达定理的应用，解题时要注意判别式的计算不要出错，应用韦达定理时不要漏掉负号。
【难度系数】
0.8
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根，因此先写出该方程的判别式表达式，代入对应系数化简后解不等式，即可求出a的取值范围。
（2）结合第一问得到的a的取值范围，找出其中的负整数得到a的值，再根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，代入a的值计算即可得到$x_1+x_2$的值。
【解析】
（1）
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 + (2a + 1)x + a^2 - 1 = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中二次项系数为1，一次项系数为$2a+1$，常数项为$a^2-1$，
代入得：$\Delta=(2a+1)^2 - 4×1×(a^2 - 1)$
$=4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 + 4$
$=4a + 5 ＞ 0$
解不等式得：$a ＞ -\frac{5}{4}$。
（2）
∵ a为满足条件的负整数，且$a ＞ -\frac{5}{4}$，
∴ 符合条件的负整数a的值为$-1$。
根据根与系数的关系，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(2a+1)$，
将$a=-1$代入得：$x_1 + x_2 = -[2×(-1)+1] = -(-2+1) = 1$。
【答案】
(1) $a＞-\frac{5}{4}$；(2) $a=-1$，$x_1+x_2=1$
【知识点】
根的判别式，韦达定理，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础常规题型，重点考查根的判别式与根的个数的对应关系、韦达定理的应用，解题时要注意判别式的计算不要出错，应用韦达定理时不要漏掉负号。
【难度系数】
0.8
13 新情境 数学文化 [2025 辽宁]我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”其大意是:一块矩形田地的面积为 864 平方步,只知道它的长与宽共 60步,问:它的长比宽多多少步?设这个矩形的宽为 x 步,根据题意可列方程为 (
A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
A
)A.$x(60-x)=864$
B.$x(x-60)=864$
C.$x(60+x)=864$
D.$2[x+(x+60)]=864$
答案
13. A
解析
【分析】
解题时首先梳理题目已知条件：矩形田地面积为864平方步，长与宽的和为60步，已设宽为x步。第一步先推导长的表达式：由长+宽=60步，可得长为(60-x)步；第二步回忆矩形面积计算公式：矩形面积=长×宽；第三步将长、宽、面积的数值代入公式，即可得到对应的方程，再匹配选项就能选出正确答案。
【解析】
设该矩形的宽为x步，
∵ 长与宽的和为60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
∵ 矩形面积=长×宽，且已知面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可得方程：$x(60-x)=864$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积公式
【点评】
本题以我国古代数学文化为背景，考查列方程解应用题的基础能力，解题核心是找准等量关系，正确表示出矩形的长是解题的关键，整体逻辑清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.9
解题时首先梳理题目已知条件：矩形田地面积为864平方步，长与宽的和为60步，已设宽为x步。第一步先推导长的表达式：由长+宽=60步，可得长为(60-x)步；第二步回忆矩形面积计算公式：矩形面积=长×宽；第三步将长、宽、面积的数值代入公式，即可得到对应的方程，再匹配选项就能选出正确答案。
【解析】
设该矩形的宽为x步，
∵ 长与宽的和为60步，
∴ 矩形的长为$(60-x)$步，
∵ 矩形面积=长×宽，且已知面积为864平方步，
∴ 代入等量关系可得方程：$x(60-x)=864$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元二次方程；矩形面积公式
【点评】
本题以我国古代数学文化为背景，考查列方程解应用题的基础能力，解题核心是找准等量关系，正确表示出矩形的长是解题的关键，整体逻辑清晰，没有复杂运算。
【难度系数】
0.9
14 据统计，某景区的游客人数在春节假期第一天为4万，第三天为5.76万。设平均每天的增长率为x，则可列方程为
$4(1+x)^2=5.76$
。答案
14. $4(1+x)^2=5.76$
解析
【分析】
这是一道典型的增长率类应用题，解题思路如下：首先明确增长率问题的核心等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。本题中初始量是第一天的游客人数4万，从第一天到第三天共经过2次增长，平均日增长率为x，第三天的游客人数为5.76万，我们只要按照增长顺序逐步推导第三天的人数表达式，再和已知的第三天人数相等即可列出方程。
【解析】
解：已知第一天游客人数为4万，平均每天的增长率为x。
1. 第二天的游客人数为第一天人数乘(1+x)，即：$4(1+x)$ 万；
2. 第三天的游客人数是在第二天人数的基础上再增长x，即：$4(1+x) × (1+x) = 4(1+x)^2$ 万；
3. 题目给出第三天游客人数为5.76万，因此可列方程：$4(1+x)^2 = 5.76$。
【答案】
$4(1+x)^2=5.76$
【知识点】
增长率问题，一元二次方程应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确判断增长的次数，熟练掌握增长率问题的基本公式，避免误将增长次数算作3次的错误。
【难度系数】
0.8
这是一道典型的增长率类应用题，解题思路如下：首先明确增长率问题的核心等量关系：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)。本题中初始量是第一天的游客人数4万，从第一天到第三天共经过2次增长，平均日增长率为x，第三天的游客人数为5.76万，我们只要按照增长顺序逐步推导第三天的人数表达式，再和已知的第三天人数相等即可列出方程。
【解析】
解：已知第一天游客人数为4万，平均每天的增长率为x。
1. 第二天的游客人数为第一天人数乘(1+x)，即：$4(1+x)$ 万；
2. 第三天的游客人数是在第二天人数的基础上再增长x，即：$4(1+x) × (1+x) = 4(1+x)^2$ 万；
3. 题目给出第三天游客人数为5.76万，因此可列方程：$4(1+x)^2 = 5.76$。
【答案】
$4(1+x)^2=5.76$
【知识点】
增长率问题，一元二次方程应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是准确判断增长的次数，熟练掌握增长率问题的基本公式，避免误将增长次数算作3次的错误。
【难度系数】
0.8
15 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用共18 m长的篱笆围成，生态园的面积能否为40 m²？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由。
答案
15. 生态园的面积能为 40 m²
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore AB=CD,AD=BC$。设 $AB$ 的长为 $x$ m，则 $BC$ 的长为 $\frac{18-x}{2}$ m。
由题意，得 $x · \frac{18-x}{2}=40$。整理，得 $x^2 - 18x + 80 = 0$，解得 $x_1=10, x_2=8$。$\therefore$ 生态园的面积能为 40 m²，$AB$ 的长为 10 m 或 8 m。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore AB=CD,AD=BC$。设 $AB$ 的长为 $x$ m，则 $BC$ 的长为 $\frac{18-x}{2}$ m。
由题意，得 $x · \frac{18-x}{2}=40$。整理，得 $x^2 - 18x + 80 = 0$，解得 $x_1=10, x_2=8$。$\therefore$ 生态园的面积能为 40 m²，$AB$ 的长为 10 m 或 8 m。
解析
【分析】
首先观察图形可知矩形ABCD的AB边靠墙，仅AD、DC、BC三边需要篱笆，且矩形对边相等。我们可以先设AB的长度为x m，根据篱笆总长18m表示出BC边的长度，再结合矩形面积=长×宽的公式，列出关于x的一元二次方程，若方程有符合实际意义（长度为正）的解，则面积可以达到40m²，解出的正解即为AB的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC。
设AB的长为x m，则BC的长为$\frac{18-x}{2}$ m。
根据矩形面积为40 m²，列方程得：
$x · \frac{18-x}{2}=40$
方程两边同乘2得：$x(18-x)=80$
整理得：$x^2 - 18x + 80 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x-8)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=8$。
经检验，$x_1=10$和$x_2=8$均为正数，符合实际长度要求。
【答案】
生态园的面积能为40 m²，AB的长为10 m或8 m。
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于实际生活中的面积类应用题，核心是结合几何图形的性质找到等量关系，正确列出一元二次方程求解，求解后要注意验证解是否符合实际意义，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知矩形ABCD的AB边靠墙，仅AD、DC、BC三边需要篱笆，且矩形对边相等。我们可以先设AB的长度为x m，根据篱笆总长18m表示出BC边的长度，再结合矩形面积=长×宽的公式，列出关于x的一元二次方程，若方程有符合实际意义（长度为正）的解，则面积可以达到40m²，解出的正解即为AB的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC。
设AB的长为x m，则BC的长为$\frac{18-x}{2}$ m。
根据矩形面积为40 m²，列方程得：
$x · \frac{18-x}{2}=40$
方程两边同乘2得：$x(18-x)=80$
整理得：$x^2 - 18x + 80 = 0$
因式分解得：$(x-10)(x-8)=0$
解得：$x_1=10$，$x_2=8$。
经检验，$x_1=10$和$x_2=8$均为正数，符合实际长度要求。
【答案】
生态园的面积能为40 m²，AB的长为10 m或8 m。
【知识点】
矩形的性质；一元二次方程的应用；一元二次方程的解法
【点评】
本题属于实际生活中的面积类应用题，核心是结合几何图形的性质找到等量关系，正确列出一元二次方程求解，求解后要注意验证解是否符合实际意义，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7
