1.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,∠ C=60°,BC=4$,则AC的长为 （）

A.1
B.1.5
C.2
D.2.5

1.C

【分析】
解题思路如下：第一步先利用三角形内角和定理计算出∠B的度数，得到∠B=30°；第二步回忆含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；第三步找到30°角∠B所对的直角边是AC，已知斜边BC的长度，代入性质公式计算即可得到AC的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ C=60°$，
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-90°-60°=30°$，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，
$∠ B=30°$，它所对的直角边为$AC$，斜边$BC=4$，
因此$AC=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是先求出30°的内角，再准确对应30°角所对的直角边和斜边，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.(2025·铁岭期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=6,CD是高,则AD的长为 ()

A.6
B.7
C.8
D.9

2.D

【分析】
解题时先观察图形特征，图中有两个直角三角形（Rt△ABC和Rt△BCD），且已知30°角，优先考虑含30°角的直角三角形的性质。第一步先在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半求出斜边AB的长度，再求出∠B的度数；第二步在Rt△BCD中，再次利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度，最后用AB减去BD即可得到AD的长度。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，
根据含30°角的直角三角形的性质：30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB = 2BC = 2×6 = 12$，
且$∠ B = 90° - ∠ A = 60°$。
∵CD是AB边上的高，
∴$∠ CDB=90°$，
在Rt△BCD中，$∠ CDB=90°$，$∠ B=60°$，
∴$∠ BCD = 90° - ∠ B = 30°$，
同理可得$BD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×6 = 3$，
∴$AD = AB - BD = 12 - 3 = 9$。
【答案】
D
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是对含30°角的直角三角形性质的灵活运用，解题时需注意找准30°角对应的直角边和斜边，避免混淆线段关系。
【难度系数】
0.8

3.(教材 P86 习题 T12 变式)如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°,∠ B=30°,CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D,DE// AC$,且交$BC$于点$E$.若$AC=3$,则$DE$的长为 ()

A.$2$
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$

3.A

【分析】
解题时先从已知的直角三角形角度条件入手，首先利用三角形内角和求出∠ACB的度数，结合角平分线定义得到相等的角；再利用平行线的性质推导角的等量关系，结合等角对等边得到DE和CE的关系；然后根据含30°角的直角三角形的性质得到BE和DE的关系，最后通过BC的总长度建立等式求解DE即可。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ A=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$
根据三角形内角和得：$∠ ACB=180°-90°-30°=60°$
根据含30°角的直角三角形性质，30°角对的直角边是斜边的一半，得：$BC=2AC=2×3=6$
2. $\because CD$平分$∠ ACB$，$\therefore ∠ ACD=∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$
3. $\because DE// AC$，根据两直线平行，内错角相等，得：$∠ EDC=∠ ACD=30°$
$\therefore ∠ EDC=∠ BCD=30°$，根据等角对等边，得：$DE=CE$
4. $\because DE// AC$，$∠ A=90°$，$\therefore ∠ BDE=∠ A=90°$
在$Rt△ BDE$中，$∠ B=30°$，得：$BE=2DE$
5. $\because BC=BE+CE=2DE+DE=3DE$，代入$BC=6$
得：$3DE=6$，解得$DE=2$
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、角平分线的定义、平行线的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，将直角三角形性质、平行线性质、角平分线定义结合考察，解题核心是通过角的等量关系推导边的关系，再结合已知边长求解，是三角形部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

4.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=60°$，$AD$是$BC$边上的高，$E$为$AD$的中点，连接$BE$并延长交$AC$于点$F$.若$∠ AFB=90°$，$EF=2$，求$BF$的长.

4.10

【分析】
解题思路：首先结合已知的直角和∠C=60°，利用直角三角形两锐角互余求出∠DAC和∠FBC均为30°；再在Rt△AEF中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半，由EF的长度求出AE的长；结合E是AD中点得到DE的长；之后在Rt△BDE中再次利用30°角的直角三角形性质求出BE的长，最后通过线段和差关系计算BF的长度即可。
【解析】
解：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC=90°
∵∠C=60°，
∴∠DAC=90°-∠C=30°
∵∠AFB=90°，即EF⊥AC，在Rt△AEF中，∠EAF=30°，EF=2
∴AE=2EF=2×2=4
∵E为AD的中点，
∴DE=AE=4
同理在Rt△BFC中，∠C=60°，
∴∠FBC=90°-∠C=30°
在Rt△BDE中，∠DBE=30°，
∴BE=2DE=2×4=8
∴BF=BE+EF=8+2=10
【答案】
10
【知识点】
直角三角形两锐角互余，含30°角的直角三角形的性质，线段中点的定义
【点评】
本题重点考查含30°角的直角三角形性质的应用，解题时要结合图形找准对应直角三角形，两次运用30°角所对直角边等于斜边一半的性质即可求解，需注意线段和差关系的正确应用。
【难度系数】
0.65

5.如图，AC平分∠MAN.
(1)在图1中，若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:AB+AD=AC.
(2)在图2中，若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

5.(1)略
(2)(1)中的结论仍然成立.证明略

【分析】
（1）已知AC平分∠MAN，∠MAN=120°，可得∠CAB=∠CAD=60°，结合∠ABC=∠ADC=90°，可知△ADC和△ABC都是含30°角的直角三角形，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，分别得到AD、AB与AC的数量关系，相加即可证得AB+AD=AC。
（2）结论仍然成立。我们可以通过作辅助线构造和图1相同的直角结构：过点C作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，首先由角平分线的性质得两条垂线段相等，且由（1）的结论可知AE+AF=AC；再根据∠ABC+∠ADC=180°，推导出相等的角，证明三角形全等，将AB、AD的和转化为AE与AF的和，即可证明结论。
【解析】
（1）证明：
∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°，
∴∠CAD=∠CAB=60°，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴∠ACD=∠ACB=30°，
∴在Rt△ADC中，$AD=\frac{1}{2}AC$，
在Rt△ABC中，$AB=\frac{1}{2}AC$，
∴$AB+AD=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AC=AC$。
（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：
过点C作CE⊥AM于点E，CF⊥AN于点F，则$∠ CED=∠ CFB=90°$。
∵AC平分∠MAN，CE⊥AM，CF⊥AN，
∴$CE=CF$，
由（1）可得$AE+AF=AC$。
∵$∠ ADC+∠ ABC=180°$，$∠ ADC+∠ EDC=180°$，
∴$∠ EDC=∠ FBC$，
在$△ CDE$和$△ CBF$中：
$\begin{cases}∠ CED=∠ CFB \\∠ EDC=∠ FBC \\CE=CF\end{cases}$
∴$△ CDE≌△ CBF$（AAS），
∴$DE=BF$，
∴$AB+AD=(AF-BF)+(AE+DE)=AF+AE=AC$，
故（1）中的结论仍然成立。
【答案】
(1) 可证$AB+AD=AC$，成立；
(2) （1）中的结论仍然成立。
【知识点】
角平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何证明题，第一问直接利用特殊直角三角形的性质即可求解，第二问通过作垂线构造全等三角形，实现线段的转化，是解决此类线段和差证明问题的常用方法，需要熟练掌握构造辅助线的技巧。
【难度系数】
0.6