8.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上.若∠EBC＝45°，则∠ACE＝（）

A.15°
B.30°
C.45°
D.60°

8.A

【分析】
解题时先从已知的等边三角形性质入手：等边三角形三个内角均为60°，且等边三角形三线合一，AD是BC边上的高，因此AD同时是BC的垂直平分线；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可得EB=EC，由等边对等角可推出∠ECB=∠EBC；最后用∠ACB的度数减去∠ECB的度数即可求出∠ACE的大小。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，△ABC为等边三角形，根据三线合一可知AD是BC的垂直平分线，
又
∵点E在AD上，
∴EB=EC，
∴∠ECB=∠EBC=45°，
∴∠ACE=∠ACB - ∠ECB=60° - 45°=15°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用等边三角形三线合一的性质得到AD是BC的垂直平分线，进而推导角的等量关系，整体逻辑清晰，考查对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8

9.【新情境·跨学科】(教材P85习题T9变式)如图，一艘轮船从海平面上的A地出发，沿南偏西$40°$方向行驶40海里到达B地，再从B地沿北偏西$20°$方向行驶40海里到达C地，则A，C两地相距海里。

9.40

【分析】
解题时先从方位角关系入手：首先A、B两地的正北方向线互相平行，根据平行线的内错角相等，可求出AB与B地正北方向的夹角为40°；结合B到C的方向是北偏西20°，就能算出∠ABC的度数。再看已知条件AB=BC=40海里，若∠ABC为60°，可根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”判定△ABC的形状，进而得到AC的长度。
【解析】
解：
∵A地和B地的正北方向线互相平行，轮船从A地沿南偏西40°方向行驶到B地，
∴AB与B地正北方向的夹角为40°（两直线平行，内错角相等），
又
∵轮船从B地沿北偏西20°方向行驶到C地，
∴∠ABC = 40° + 20° = 60°，
由题意可知AB = BC = 40海里，
∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AC = AB = 40海里。
【答案】
40
【知识点】
方向角，平行线的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题结合航行实际情境，把方位角和三角形知识融合考查，解题核心是准确通过方位角求出三角形内角，再结合边长关系判断三角形的形状。
【难度系数】
0.7

10.如图,在等边三角形ABC中,M为边AB上的任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的式子表示).

10.(1)略 (2)$\frac{a}{2}$

【分析】
(1)要证MP=NP，可通过构造全等三角形证明：过点M作MQ平行于BN交AC于点Q，利用等边三角形的性质可得△AMQ是等边三角形，从而得到MQ=CN，再结合平行线性质和对顶角相等证明△MQP≌△NCP，即可得MP=NP。
(2)求PH的长度时，先利用等边三角形三线合一的性质得到AH=HQ，再结合全等三角形对应边相等得到QP=PC，进而将PH转化为AC长度的一半，结合等边三角形边长即可求解。
【解析】
(1)证明：过点M作$MQ// BN$，交AC于点Q。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A=∠ B=∠ ACB=60°$，$AB=AC$。
∵$MQ// BN$，
∴$∠ AMQ=∠ B=60°$，$∠ AQM=∠ ACB=60°$，
∴$△ AMQ$是等边三角形，
∴$AM=MQ$。
又
∵$CN=AM$，
∴$MQ=CN$。
在$△ MQP$和$△ NCP$中：
$\begin{cases}∠ QPM=∠ CPN \quad (\mathrm{对顶角相等}) \\∠ QMP=∠ N \quad (\mathrm{两直线平行，内错角相等}) \\MQ=CN\end{cases}$
∴$△ MQP≌△ NCP(\mathrm{AAS})$，
∴$MP=NP$。
(2)解：
∵$△ AMQ$是等边三角形，$MH⊥ AC$，
∴根据等腰三角形三线合一，得$AH=HQ$。
由$△ MQP≌△ NCP$可得$QP=PC$，
∴$PH=HQ+QP=\frac{1}{2}AQ+\frac{1}{2}QC=\frac{1}{2}(AQ+QC)=\frac{1}{2}AC$。
∵$△ ABC$是等边三角形，$AB=a$，
∴$AC=AB=a$，
∴$PH=\frac{1}{2}a=\frac{a}{2}$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$\frac{a}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一
【点评】
本题重点考察等边三角形相关性质与全等三角形的应用，构造平行辅助线是解决第一问的突破口，第二问通过线段拆分转化将未知线段与已知边长建立联系，考察了学生的辅助线构造能力和转化思想的应用能力。
【难度系数】
0.65

11.如图，$△ ABC$，$△ CDE$都是等边三角形，AD，BE相交于点O，M，N分别是线段AD，BE的中点，连接CM，MN，CN.
(1)求证:$AD=BE$;
(2)求$∠ DOE$的度数;
(3)求证:$△ MNC$是等边三角形.

11.解:(1)证明:$\because △ ABC,△ CDE$都是等边三角形,$\therefore AC=BC,CD=CE,∠ ACB=∠ DCE=60°$,
$\therefore ∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$,
$\therefore ∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ ACD$ 和 $△ BCE$ 中,$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ ACD=∠ BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS}),\therefore AD=BE$.
(2)$60°$
(3)证明:由(1)可知$△ ACD≌△ BCE,AC=BC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ CBE,AD=BE$.
$\because M,N$ 分别是线段 $AD,BE$ 的中点,
$\therefore AM=\frac{1}{2}AD,BN=\frac{1}{2}BE,\therefore AM=BN$.
在$△ ACM$ 和 $△ BCN$ 中,$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ CAM=∠ CBN,\\ AM=BN, \end{cases}$
$\therefore △ ACM≌△ BCN(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CM=CN,∠ ACM=∠ BCN$.
$\because ∠ ACB=60°,\therefore ∠ ACM+∠ MCB=60°$,
$\therefore ∠ BCN+∠ MCB=60°,$即$∠ MCN=60°$,
$\therefore △ MNC$ 是等边三角形.

【分析】
(1) 要证两条线段相等，可证线段所在的三角形全等。已知两个等边三角形，能得到两组对应边相等，再通过加公共角推出夹角相等，用SAS判定三角形全等即可得到AD=BE。
(2) 求∠DOE的度数，可利用(1)中全等三角形对应角相等的性质，结合等边三角形的内角为60°，通过三角形内角和关系推导得到∠DOE的度数。
(3) 要证△MNC是等边三角形，先证一组邻边相等，再证夹角为60°即可。结合中点性质和(1)的全等结论，再次用SAS证明三角形全等得到CM=CN，再推导夹角∠MCN=60°，即可判定为等边三角形。
【解析】
(1) 证明：$\because △ABC,△CDE$都是等边三角形，
$\therefore AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°$,
$\therefore ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD$,
$\therefore ∠ACD=∠BCE$.
在$△ACD$ 和 $△BCE$ 中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠ACD=∠BCE,\\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD=BE$.
(2) 解：由(1)知$△ ACD≌△ BCE$，$\therefore ∠ADC=∠BEC$，
$\because △CDE$是等边三角形，$\therefore ∠CDE=∠CED=60°$，
在$△ ODE$中，
$∠DOE=180°-∠ODE-∠OED$
$=180°-(∠CDE+∠ADC)-(∠CED-∠BEC)$
$=180°-60°-∠ADC-60°+∠BEC$
$=60°$.
(3) 证明：由(1)可知$△ACD≌△BCE,AC=BC$,
$\therefore ∠CAD=∠CBE,AD=BE$.
$\because M,N$ 分别是线段 $AD,BE$ 的中点,
$\therefore AM=\frac{1}{2}AD,BN=\frac{1}{2}BE$,$\therefore AM=BN$.
在$△ACM$ 和 $△BCN$ 中,
$\begin{cases} AC=BC,\\ ∠CAM=∠CBN,\\ AM=BN, \end{cases}$
$\therefore △ACM≌△ BCN(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CM=CN,∠ACM=∠BCN$.
$\because ∠ACB=60°$,$\therefore ∠ACM+∠MCB=60°$,
$\therefore ∠BCN+∠MCB=60°,$即$∠MCN=60°$,
$\therefore △MNC$ 是等边三角形.
【答案】
(1) $AD=BE$得证；
(2) $\boldsymbol{60°}$；
(3) $△ MNC$是等边三角形得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质与判定
3. 三角形角度计算
【点评】
本题是几何综合经典题型，三个小问层层递进，前一问结论可作为后一问的解题条件，既考查了基础的几何性质识记，也能很好地锻炼学生的逻辑推理和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.65