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1.(2024·沈阳月考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ B=54°$.以点$C$为圆心,以$CA$的长为半径作弧交$AB$于点$D$,再分别以点$A$和点$D$为圆心,以大于$\frac{1}{2}AD$的长为半径作弧,两弧相交于点$E$,作直线$CE$,交$AB$于点$F$,则$∠ ACF$的度数是
18°
.答案
1.18°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据等腰三角形AB=AC的性质，结合已知底角∠B的度数，求出顶角∠BAC的度数；第二步，识别题目中的尺规作图痕迹，判断出直线CE是线段AD的垂直平分线，因此CF垂直于AB，得到∠AFC=90°；第三步，在直角三角形AFC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=54°，
∴∠ACB=∠B=54°（等腰三角形等边对等角），
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-54°×2=72°。
由尺规作图的痕迹可知，直线CE是线段AD的垂直平分线，
∴CF⊥AB，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠A=90°-72°=18°。
【答案】
18°
【知识点】
等腰三角形的性质；尺规作图作垂直平分线；直角三角形的性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质、尺规作图的识别及三角形内角和相关知识，解题的关键是准确判断作图得到的CE是AD的垂直平分线，属于常规基础题型，需熟练掌握常见尺规作图的特征。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据等腰三角形AB=AC的性质，结合已知底角∠B的度数，求出顶角∠BAC的度数；第二步，识别题目中的尺规作图痕迹，判断出直线CE是线段AD的垂直平分线，因此CF垂直于AB，得到∠AFC=90°；第三步，在直角三角形AFC中，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠ACF的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠B=54°，
∴∠ACB=∠B=54°（等腰三角形等边对等角），
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-54°×2=72°。
由尺规作图的痕迹可知，直线CE是线段AD的垂直平分线，
∴CF⊥AB，即∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，∠ACF=90°-∠A=90°-72°=18°。
【答案】
18°
【知识点】
等腰三角形的性质；尺规作图作垂直平分线；直角三角形的性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质、尺规作图的识别及三角形内角和相关知识，解题的关键是准确判断作图得到的CE是AD的垂直平分线，属于常规基础题型，需熟练掌握常见尺规作图的特征。
【难度系数】
0.7
2.(2025·沈阳虹桥中学期初)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=65°,∠ ACB=45°,AD$是高,以点$A$为圆心,以$AB$的长为半径画弧,交$AC$于点$E$,再分别以点$B,E$为圆心,以大于$\frac{1}{2}BE$的长为半径画弧,两弧在$∠ BAC$的内部交于点$F$,作射线$AF$,则$∠ DAF$的度数是
10
°.答案
2.10
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠BAC的度数；再根据尺规作图的特征判断AF是∠BAC的角平分线，求出∠BAF的度数；接着根据AD是高，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后通过角度的和差运算，用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 65° - 45° = 70°$
由尺规作图的步骤可知，AF是$∠ BAC$的角平分线，因此：
$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×70° = 35°$
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB = 90°$
在Rt△ABD中，两锐角互余，因此：
$∠ BAD = 90° - ∠ ABC = 90° - 65° = 25°$
∴$∠ DAF = ∠ BAF - ∠ BAD = 35° - 25° = 10°$
【答案】
10
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是能准确识别尺规作图的类型，再结合三角形的相关性质进行角度的和差计算，是几何基础知识点的常规综合考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠BAC的度数；再根据尺规作图的特征判断AF是∠BAC的角平分线，求出∠BAF的度数；接着根据AD是高，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数；最后通过角度的和差运算，用∠BAF减去∠BAD即可得到∠DAF的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ BAC = 180° - ∠ ABC - ∠ ACB = 180° - 65° - 45° = 70°$
由尺规作图的步骤可知，AF是$∠ BAC$的角平分线，因此：
$∠ BAF = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×70° = 35°$
∵AD是BC边上的高，
∴$∠ ADB = 90°$
在Rt△ABD中，两锐角互余，因此：
$∠ BAD = 90° - ∠ ABC = 90° - 65° = 25°$
∴$∠ DAF = ∠ BAF - ∠ BAD = 35° - 25° = 10°$
【答案】
10
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的尺规作图，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是能准确识别尺规作图的类型，再结合三角形的相关性质进行角度的和差计算，是几何基础知识点的常规综合考查题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，已知$△ ABC$，$∠ BAC=90°$.请用尺规在边BC上求作点P，使得$∠ PAC=∠ B$（不写作法，保留作图痕迹）.
答案
解：
如图，点P即为所求作的点。
（作图保留尺规作一个角等于已知角∠B的全部圆弧痕迹：以A为顶点，AC为一边，在△ABC内部作∠PAC=∠B，该角的另一边与BC的交点即为点P。）
如图，点P即为所求作的点。
（作图保留尺规作一个角等于已知角∠B的全部圆弧痕迹：以A为顶点，AC为一边，在△ABC内部作∠PAC=∠B，该角的另一边与BC的交点即为点P。）
解析
【分析】
要在BC边上找到满足∠PAC=∠B的点P，核心是利用尺规作图中“作一个角等于已知角”的方法。首先明确待构造角的顶点为A，其中一条边为AC，只需在△ABC内部，以A为顶点、AC为边作出与∠B相等的角，该角的另一条边与BC的交点就是所求的点P。
【解析】
利用尺规作一个角等于已知角的方法操作：
1. 以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于两点；
2. 以点A为圆心，和上一步相同的长度为半径画弧，交AC于一点；
3. 以AC上的交点为圆心，取步骤1中∠B上两个交点的距离为半径画弧，与步骤2中所画的弧交于△ABC内部一点；
4. 过点A和该交点作射线，射线与BC边的交点即为点P。
作图过程不要求写出作法，只需保留全部圆弧作图痕迹即可。
【答案】
如图，点P即为所求作的点。（作图保留尺规作一个角等于已知角∠B的全部圆弧痕迹：以A为顶点，AC为一边，在△ABC内部作∠PAC=∠B，该角的另一边与BC的交点即为点P。）
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图
【点评】
本题是基础尺规作图题，解题关键是准确理解作图要求，熟练掌握作等角的操作方法，作图时需注意要在三角形内部作角，保证所作角的边与BC边相交得到符合要求的点，同时要保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要在BC边上找到满足∠PAC=∠B的点P，核心是利用尺规作图中“作一个角等于已知角”的方法。首先明确待构造角的顶点为A，其中一条边为AC，只需在△ABC内部，以A为顶点、AC为边作出与∠B相等的角，该角的另一条边与BC的交点就是所求的点P。
【解析】
利用尺规作一个角等于已知角的方法操作：
1. 以点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交BA、BC于两点；
2. 以点A为圆心，和上一步相同的长度为半径画弧，交AC于一点；
3. 以AC上的交点为圆心，取步骤1中∠B上两个交点的距离为半径画弧，与步骤2中所画的弧交于△ABC内部一点；
4. 过点A和该交点作射线，射线与BC边的交点即为点P。
作图过程不要求写出作法，只需保留全部圆弧作图痕迹即可。
【答案】
如图，点P即为所求作的点。（作图保留尺规作一个角等于已知角∠B的全部圆弧痕迹：以A为顶点，AC为一边，在△ABC内部作∠PAC=∠B，该角的另一边与BC的交点即为点P。）
【知识点】
作一个角等于已知角；尺规作图
【点评】
本题是基础尺规作图题，解题关键是准确理解作图要求，熟练掌握作等角的操作方法，作图时需注意要在三角形内部作角，保证所作角的边与BC边相交得到符合要求的点，同时要保留完整的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
4.如图，A，C是平面内的两个定点，P为射线AB上的一个动点，过点P作PC的垂线交直线AC于点D(保留作图痕迹，不写作法)。
答案
解：
按尺规作过直线上一点的垂线的方法作图，所得直线PD⊥PC，PD与直线AC的交点即为点D，保留所有对应作图圆弧痕迹，最终图形即为所求。
按尺规作过直线上一点的垂线的方法作图，所得直线PD⊥PC，PD与直线AC的交点即为点D，保留所有对应作图圆弧痕迹，最终图形即为所求。
解析
【分析】
解决本题首先要明确作图的两个核心要求：一是过点P作PC的垂线，二是找到该垂线与直线AC的交点D。我们可以利用已学的尺规作垂线的方法操作：已知点P在直线PC上，优先选用过直线上一点作已知直线垂线的尺规作法作出垂线，再确定垂线和直线AC的交点即可，作图全程要保留所有圆弧辅助痕迹，不能擦除作图过程线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点P为圆心，取适当长度为半径画弧，交直线PC于两个点，分别记为E、F；
2. 分别以E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧交于直线PC外的一点Q；
3. 过P、Q两点作直线PQ，直线PQ与直线AC的交点即为所求点D，直线PD就是PC的垂线，保留所有作图的圆弧痕迹即可。
【答案】
按尺规作过直线上一点的垂线的方法作图，所得直线PD⊥PC，PD与直线AC的交点即为点D，保留所有对应作图圆弧痕迹，最终图形即为所求。
【知识点】
尺规作垂线，垂线的定义，直线相交
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，重点考查过直线上一点作已知直线垂线的操作能力，作图时要注意保留完整的作图痕迹，严格按照尺规作图的规范步骤操作即可完成。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确作图的两个核心要求：一是过点P作PC的垂线，二是找到该垂线与直线AC的交点D。我们可以利用已学的尺规作垂线的方法操作：已知点P在直线PC上，优先选用过直线上一点作已知直线垂线的尺规作法作出垂线，再确定垂线和直线AC的交点即可，作图全程要保留所有圆弧辅助痕迹，不能擦除作图过程线。
【解析】
作图步骤如下：
1. 以点P为圆心，取适当长度为半径画弧，交直线PC于两个点，分别记为E、F；
2. 分别以E、F为圆心，取大于$\frac{1}{2}EF$的长度为半径画弧，两弧交于直线PC外的一点Q；
3. 过P、Q两点作直线PQ，直线PQ与直线AC的交点即为所求点D，直线PD就是PC的垂线，保留所有作图的圆弧痕迹即可。
【答案】
按尺规作过直线上一点的垂线的方法作图，所得直线PD⊥PC，PD与直线AC的交点即为点D，保留所有对应作图圆弧痕迹，最终图形即为所求。
【知识点】
尺规作垂线，垂线的定义，直线相交
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，重点考查过直线上一点作已知直线垂线的操作能力，作图时要注意保留完整的作图痕迹，严格按照尺规作图的规范步骤操作即可完成。
【难度系数】
0.8
5.(2024·陕西A卷)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作一个等腰直角三角形ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上(保留作图痕迹,不写作法).
答案
解：
作图完成后所得的△ABC即为所求的等腰直角三角形，作图痕迹保留如下：
1. 作出过点A垂直于直线l的垂线，垂足为D；
2. 在直线l上点D的两侧分别截取DB=DC=AD，得到点B、C；
3. 连接AB、AC。
该三角形满足AB=AC，∠BAC=90°，顶点B、C均在直线l上，符合题目要求。
作图完成后所得的△ABC即为所求的等腰直角三角形，作图痕迹保留如下：
1. 作出过点A垂直于直线l的垂线，垂足为D；
2. 在直线l上点D的两侧分别截取DB=DC=AD，得到点B、C；
3. 连接AB、AC。
该三角形满足AB=AC，∠BAC=90°，顶点B、C均在直线l上，符合题目要求。
解析
【分析】
要构造满足条件的等腰直角三角形ABC，可按如下思路推导：首先确定以点A为直角顶点，此时需要同时满足AB=AC、∠BAC=90°，且B、C都在直线l上。结合等腰三角形三线合一的性质，过A作直线l的垂线，垂足D就是BC的中点；再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，当AD=BD=DC时，即可同时满足∠BAC=90°和AB=AC，即可得到符合要求的图形。
【解析】
1. 使用尺规作图的方法，过点A作直线l的垂线，标记垂足为D；
2. 以D为圆心、AD的长度为半径画弧，弧线与直线l交于D点两侧的两个交点，分别标记为B、C，此时DB=DC=AD；
3. 用直尺依次连接AB、AC，得到三角形ABC。
【答案】
作图完成后所得的△ABC即为所求，作图痕迹保留如下：1. 作出过点A垂直于直线l的垂线，垂足为D；2. 在直线l上点D的两侧分别截取DB=DC=AD，得到点B、C；3. 连接AB、AC。该三角形满足AB=AC，∠BAC=90°，顶点B、C均在直线l上，符合题目要求。
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 等腰三角形判定
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于基础尺规作图综合题，将基础作图操作和特殊三角形的性质结合考查，解题关键是结合等腰直角三角形的几何特征确定合理的作图步骤，要求熟练掌握常见的尺规作图操作方法。
【难度系数】
0.7
要构造满足条件的等腰直角三角形ABC，可按如下思路推导：首先确定以点A为直角顶点，此时需要同时满足AB=AC、∠BAC=90°，且B、C都在直线l上。结合等腰三角形三线合一的性质，过A作直线l的垂线，垂足D就是BC的中点；再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，当AD=BD=DC时，即可同时满足∠BAC=90°和AB=AC，即可得到符合要求的图形。
【解析】
1. 使用尺规作图的方法，过点A作直线l的垂线，标记垂足为D；
2. 以D为圆心、AD的长度为半径画弧，弧线与直线l交于D点两侧的两个交点，分别标记为B、C，此时DB=DC=AD；
3. 用直尺依次连接AB、AC，得到三角形ABC。
【答案】
作图完成后所得的△ABC即为所求，作图痕迹保留如下：1. 作出过点A垂直于直线l的垂线，垂足为D；2. 在直线l上点D的两侧分别截取DB=DC=AD，得到点B、C；3. 连接AB、AC。该三角形满足AB=AC，∠BAC=90°，顶点B、C均在直线l上，符合题目要求。
【知识点】
1. 尺规作垂线
2. 等腰三角形判定
3. 等腰直角三角形性质
【点评】
本题属于基础尺规作图综合题，将基础作图操作和特殊三角形的性质结合考查，解题关键是结合等腰直角三角形的几何特征确定合理的作图步骤，要求熟练掌握常见的尺规作图操作方法。
【难度系数】
0.7
6.(2025·大连沙河口区期末)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心,以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,点C在直线MN上,连接CA,CB,延长AC至点D.请根据要求完成以下作图与证明.
(1)用尺规完成基本作图:作∠BCD的平分线CE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中,求证:$CE// AB$.
(1)用尺规完成基本作图:作∠BCD的平分线CE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中,求证:$CE// AB$.
答案
6.解:(1)如图,射线CE即为所求.
(2)证明:由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,
∴CA=CB,
∴∠A=∠B.
∵∠BCD=∠A+∠B,
∴∠BCD=2∠B,即$∠B=\frac{1}{2}∠BCD$.
∵CE平分∠BCD,
∴$∠BCE=\frac{1}{2}∠BCD$,
∴∠B=∠BCE,
∴CE//AB.
解析
【分析】
(1) 作∠BCD的角平分线是基础尺规作图，操作思路为：以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交CD、CB于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BCD内部的交点与点C的连线即为所求角平分线。
(2) 要证CE//AB，可通过证明内错角∠B与∠BCE相等推导。首先根据MN的作图方法，可判断MN是AB的垂直平分线，因此CA=CB，△ABC为等腰三角形，可得∠A=∠B；再利用三角形外角性质，∠BCD是△ABC的外角，等于∠A+∠B，因此∠BCD=2∠B；最后结合CE是∠BCD的平分线，可得∠BCE=½∠BCD，等量代换得∠B=∠BCE，即可由内错角相等推出两直线平行。
【解析】
(1) 按照角平分线尺规作图的规范操作，保留作图痕迹，得到的射线CE即为所求。
(2) 证明：
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此$CA=CB$，
∴ $∠A=∠B$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $∠BCD$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，
∴ $∠BCD=∠A+∠B=2∠B$，即$∠B=\frac{1}{2}∠BCD$。
∵ CE平分$∠BCD$，根据角平分线的定义，
∴ $∠BCE=\frac{1}{2}∠BCD$，
通过等量代换可得$∠B=∠BCE$，
∴ $CE// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)如图,射线CE即为所求.
(2)证明:由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,
∴CA=CB,
∴∠A=∠B.
∵∠BCD=∠A+∠B,
∴∠BCD=2∠B,即$∠B=\frac{1}{2}∠BCD$.
∵CE平分∠BCD,
∴$∠BCE=\frac{1}{2}∠BCD$,
∴∠B=∠BCE,
∴CE//AB.
【知识点】
尺规作图，线段垂直平分线性质，平行线判定
【点评】
本题结合了尺规作图与几何证明，既考查了角平分线、线段垂直平分线的基础作图能力，又综合了等腰三角形性质、三角形外角性质、平行线判定等核心几何知识，侧重对基础推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 作∠BCD的角平分线是基础尺规作图，操作思路为：以点C为圆心，取适当长度为半径画弧，分别交CD、CB于两个交点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两交点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BCD内部的交点与点C的连线即为所求角平分线。
(2) 要证CE//AB，可通过证明内错角∠B与∠BCE相等推导。首先根据MN的作图方法，可判断MN是AB的垂直平分线，因此CA=CB，△ABC为等腰三角形，可得∠A=∠B；再利用三角形外角性质，∠BCD是△ABC的外角，等于∠A+∠B，因此∠BCD=2∠B；最后结合CE是∠BCD的平分线，可得∠BCE=½∠BCD，等量代换得∠B=∠BCE，即可由内错角相等推出两直线平行。
【解析】
(1) 按照角平分线尺规作图的规范操作，保留作图痕迹，得到的射线CE即为所求。
(2) 证明：
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此$CA=CB$，
∴ $∠A=∠B$（等腰三角形两底角相等）。
∵ $∠BCD$是$△ ABC$的外角，根据三角形外角性质，外角等于不相邻两个内角的和，
∴ $∠BCD=∠A+∠B=2∠B$，即$∠B=\frac{1}{2}∠BCD$。
∵ CE平分$∠BCD$，根据角平分线的定义，
∴ $∠BCE=\frac{1}{2}∠BCD$，
通过等量代换可得$∠B=∠BCE$，
∴ $CE// AB$（内错角相等，两直线平行）。
【答案】
(1)如图,射线CE即为所求.
(2)证明:由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,
∴CA=CB,
∴∠A=∠B.
∵∠BCD=∠A+∠B,
∴∠BCD=2∠B,即$∠B=\frac{1}{2}∠BCD$.
∵CE平分∠BCD,
∴$∠BCE=\frac{1}{2}∠BCD$,
∴∠B=∠BCE,
∴CE//AB.
【知识点】
尺规作图，线段垂直平分线性质，平行线判定
【点评】
本题结合了尺规作图与几何证明，既考查了角平分线、线段垂直平分线的基础作图能力，又综合了等腰三角形性质、三角形外角性质、平行线判定等核心几何知识，侧重对基础推理能力的考查。
【难度系数】
0.7
