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1 [2025沧州献县段考]将二次三项式$2x^2 - 8x + 7$进行配方，正确的结果是（
A.$(x - 2)^2 + 3$
B.$2(x - 2)^2 + 3$
C.$2(x - 2)^2 - 1$
D.$2(x - 2)^2 + 1$
C
）A.$(x - 2)^2 + 3$
B.$2(x - 2)^2 + 3$
C.$2(x - 2)^2 - 1$
D.$2(x - 2)^2 + 1$
答案
1. C
解析
【分析】
要对二次项系数不为1的二次三项式配方，需按以下思路解题：①先提取二次项系数，把含x的项放在括号内，将括号内二次项系数化为1；②对括号内的二次式配方：加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证式子的值不变，把括号内凑成完全平方式；③去括号合并常数项，得到最终配方结果，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对$2x^2 - 8x + 7$配方，步骤如下：
1. 提取二次项系数2，分离含x的项：
$2x^2 - 8x + 7 = 2(x^2 - 4x) + 7$
2. 对括号内的式子配方：一次项系数为-4，一半是-2，平方为4，因此括号内加4再减4：
$= 2[(x^2 - 4x + 4) - 4] + 7$
3. 将括号内的完全平方式整理，再去括号合并常数项：
$= 2[(x-2)^2 - 4] + 7$
$= 2(x-2)^2 - 8 + 7$
$= 2(x-2)^2 - 1$
因此正确结果为选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题考查二次三项式的配方，解题关键是先提取二次项系数，将括号内二次项系数化为1后再配方，配方时需注意“加多少减多少”，保证原式的值不变，避免去括号时常数项计算错误。
【难度系数】
0.7
要对二次项系数不为1的二次三项式配方，需按以下思路解题：①先提取二次项系数，把含x的项放在括号内，将括号内二次项系数化为1；②对括号内的二次式配方：加上一次项系数一半的平方，再减去相同的数，保证式子的值不变，把括号内凑成完全平方式；③去括号合并常数项，得到最终配方结果，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对$2x^2 - 8x + 7$配方，步骤如下：
1. 提取二次项系数2，分离含x的项：
$2x^2 - 8x + 7 = 2(x^2 - 4x) + 7$
2. 对括号内的式子配方：一次项系数为-4，一半是-2，平方为4，因此括号内加4再减4：
$= 2[(x^2 - 4x + 4) - 4] + 7$
3. 将括号内的完全平方式整理，再去括号合并常数项：
$= 2[(x-2)^2 - 4] + 7$
$= 2(x-2)^2 - 8 + 7$
$= 2(x-2)^2 - 1$
因此正确结果为选项C。
【答案】
C
【知识点】
配方法，完全平方公式
【点评】
本题考查二次三项式的配方，解题关键是先提取二次项系数，将括号内二次项系数化为1后再配方，配方时需注意“加多少减多少”，保证原式的值不变，避免去括号时常数项计算错误。
【难度系数】
0.7
2 如果关于x的二次三项式$16x^2 - kx + 36$配方后是完全平方式，那么常数k的值是
±48
。答案
2. ±48
解析
【分析】
本题考查完全平方式的结构特征，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，先将给定二次三项式的首项和常数项转化为平方形式，确定公式中对应的$a$和$b$，再根据中间项等于$\pm2ab$的关系列等式求解，注意要考虑完全平方式的两种情况，避免漏解。
【解析】
因为关于$x$的二次三项式$16x^2 - kx + 36$是完全平方式，
首先将首尾两项写成平方形式：$16x^2=(4x)^2$，$36=6^2$，
根据完全平方公式，该完全平方式可表示为$(4x\pm6)^2$，
展开得：$(4x\pm6)^2=16x^2\pm48x+36$，
将展开式与原式$16x^2 - kx + 36$对比，可得：$-k=\pm48$，
解得：$k=\pm48$。
【答案】
$\pm48$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是配方法相关的基础常考题，核心是掌握完全平方式的结构，解题时需注意完全平方式包含“和的平方”“差的平方”两种形式，切勿因忽略符号导致漏解。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方式的结构特征，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的两种形式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，先将给定二次三项式的首项和常数项转化为平方形式，确定公式中对应的$a$和$b$，再根据中间项等于$\pm2ab$的关系列等式求解，注意要考虑完全平方式的两种情况，避免漏解。
【解析】
因为关于$x$的二次三项式$16x^2 - kx + 36$是完全平方式，
首先将首尾两项写成平方形式：$16x^2=(4x)^2$，$36=6^2$，
根据完全平方公式，该完全平方式可表示为$(4x\pm6)^2$，
展开得：$(4x\pm6)^2=16x^2\pm48x+36$，
将展开式与原式$16x^2 - kx + 36$对比，可得：$-k=\pm48$，
解得：$k=\pm48$。
【答案】
$\pm48$
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是配方法相关的基础常考题，核心是掌握完全平方式的结构，解题时需注意完全平方式包含“和的平方”“差的平方”两种形式，切勿因忽略符号导致漏解。
【难度系数】
0.8
3 用配方法将二次三项式$2a^2 + 4a + 5$变形，配方结果是
$2(a+1)^2+3$
。答案
3. $2(a+1)^2+3$
解析
【分析】
要对二次项系数不为1的二次三项式配方，核心是凑完全平方式，解题思路如下：第一步先提取二次项系数，将含未知数的项的二次项系数化为1；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证式子值不变；第三步将括号内的前三项写成完全平方形式，最后去括号合并常数项即可得到配方结果。
【解析】
对$2a^2 + 4a + 5$按配方法步骤变形：
1. 提取二次项系数2，将含a的项括到括号内：
$2a^2 + 4a + 5 = 2(a^2 + 2a) + 5$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为2，一半是1，平方为1，因此括号内加1再减1：
$=2[(a^2 + 2a + 1) - 1] + 5$
3. 将括号内的完全平方式整理，再去括号合并常数项：
$=2[(a+1)^2 - 1] + 5$
$=2(a+1)^2 - 2 + 5$
$=2(a+1)^2 + 3$
【答案】
$2(a+1)^2+3$
【知识点】
配方法；完全平方公式；整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是牢记二次项系数不为1时的配方步骤，注意变形过程中要保证代数式的值不变，熟练掌握完全平方公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
要对二次项系数不为1的二次三项式配方，核心是凑完全平方式，解题思路如下：第一步先提取二次项系数，将含未知数的项的二次项系数化为1；第二步在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数保证式子值不变；第三步将括号内的前三项写成完全平方形式，最后去括号合并常数项即可得到配方结果。
【解析】
对$2a^2 + 4a + 5$按配方法步骤变形：
1. 提取二次项系数2，将含a的项括到括号内：
$2a^2 + 4a + 5 = 2(a^2 + 2a) + 5$
2. 括号内凑完全平方：一次项系数为2，一半是1，平方为1，因此括号内加1再减1：
$=2[(a^2 + 2a + 1) - 1] + 5$
3. 将括号内的完全平方式整理，再去括号合并常数项：
$=2[(a+1)^2 - 1] + 5$
$=2(a+1)^2 - 2 + 5$
$=2(a+1)^2 + 3$
【答案】
$2(a+1)^2+3$
【知识点】
配方法；完全平方公式；整式恒等变形
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题关键是牢记二次项系数不为1时的配方步骤，注意变形过程中要保证代数式的值不变，熟练掌握完全平方公式是解题的基础。
【难度系数】
0.8
4 用配方法解方程 $2x^2 - \frac{4}{3}x - 2 = 0$ 时，应先变形为 （
A.$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}$
B.$(x - \frac{2}{3})^2 = 0$
C.$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{8}{9}$
D.$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{10}{9}$
D
）A.$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}$
B.$(x - \frac{2}{3})^2 = 0$
C.$(x - \frac{2}{3})^2 = \frac{8}{9}$
D.$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{10}{9}$
答案
4. D
解析
【分析】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，按以下思路逐步变形即可：第一步先将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数；第二步将常数项移到方程的右边；第三步给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，计算右边的结果后即可对应选项得到答案。
【解析】
第一步：将二次项系数化为1，给原方程$2x^2 - \frac{4}{3}x - 2 = 0$两边同时除以2，得：
$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$
第二步：移项，将常数项移到方程右边，得：
$x^2 - \frac{2}{3}x = 1$
第三步：配方，一次项系数为$-\frac{2}{3}$，它的一半为$-\frac{1}{3}$，给方程两边同时加上$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，得：
$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9}$
左边写成完全平方式，右边计算结果，得：
$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{10}{9}$
因此变形结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤，解题时需注意先把二次项系数化为1再配方，计算一次项系数一半的平方以及常数项运算时要细心，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，按以下思路逐步变形即可：第一步先将二次项系数化为1，给方程两边同时除以二次项系数；第二步将常数项移到方程的右边；第三步给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，计算右边的结果后即可对应选项得到答案。
【解析】
第一步：将二次项系数化为1，给原方程$2x^2 - \frac{4}{3}x - 2 = 0$两边同时除以2，得：
$x^2 - \frac{2}{3}x - 1 = 0$
第二步：移项，将常数项移到方程右边，得：
$x^2 - \frac{2}{3}x = 1$
第三步：配方，一次项系数为$-\frac{2}{3}$，它的一半为$-\frac{1}{3}$，给方程两边同时加上$(-\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$，得：
$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = 1 + \frac{1}{9}$
左边写成完全平方式，右边计算结果，得：
$(x - \frac{1}{3})^2 = \frac{10}{9}$
因此变形结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤，解题时需注意先把二次项系数化为1再配方，计算一次项系数一半的平方以及常数项运算时要细心，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
5 如图，在解方程$2x^2 + 4x + 1 = 0$时，对方程进行配方，图①是小思做的，图②是小博做的，对于两人的做法，下列说法正确的是（
A.两人都正确
B.小思正确，小博不正确
C.小思不正确，小博正确
D.两人都不正确
A
）A.两人都正确
B.小思正确，小博不正确
C.小思不正确，小博正确
D.两人都不正确
答案
5. A
解析
【分析】
要判断两人的做法是否正确，需结合配方法的规则和等式的基本性质逐一验证每一步：配方法解二次项系数不为1的一元二次方程有两种常见思路，一是先将二次项系数化为1再配方，二是直接将二次项、一次项变形为完全平方式的前两项再配方，只要每一步都符合等式性质、配方正确，做法就是合理的。
【解析】
先验证小思的做法：
原方程变形为$2x^2+4x=-1$，第一步两边同时除以2，得$x^2+2x=-\frac{1}{2}$，符合等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍成立；
第二步两边同时加1，左边配方为$(x+1)^2$，右边计算得$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，每一步均正确。
再验证小博的做法：
原方程变形为$2x^2+4x=-1$，第一步两边同时乘2，得$4x^2+8x=-2$，符合等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；
第二步两边同时加4，左边配方为$(2x+2)^2$，右边计算得$-2+4=2$，即$(2x+2)^2=2$，每一步均正确。
因此两人的做法都正确。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法的灵活应用，配方法没有固定的唯一操作步骤，只要符合等式的基本性质，能正确凑出完全平方式，都是合理的解法，解题时可根据方程的特点灵活选择配方的方式。
【难度系数】
0.8
要判断两人的做法是否正确，需结合配方法的规则和等式的基本性质逐一验证每一步：配方法解二次项系数不为1的一元二次方程有两种常见思路，一是先将二次项系数化为1再配方，二是直接将二次项、一次项变形为完全平方式的前两项再配方，只要每一步都符合等式性质、配方正确，做法就是合理的。
【解析】
先验证小思的做法：
原方程变形为$2x^2+4x=-1$，第一步两边同时除以2，得$x^2+2x=-\frac{1}{2}$，符合等式两边同时除以同一个不为0的数，等式仍成立；
第二步两边同时加1，左边配方为$(x+1)^2$，右边计算得$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，即$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，每一步均正确。
再验证小博的做法：
原方程变形为$2x^2+4x=-1$，第一步两边同时乘2，得$4x^2+8x=-2$，符合等式两边同时乘同一个数，等式仍成立；
第二步两边同时加4，左边配方为$(2x+2)^2$，右边计算得$-2+4=2$，即$(2x+2)^2=2$，每一步均正确。
因此两人的做法都正确。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法解一元二次方程 2.等式的基本性质
【点评】
本题考查配方法的灵活应用，配方法没有固定的唯一操作步骤，只要符合等式的基本性质，能正确凑出完全平方式，都是合理的解法，解题时可根据方程的特点灵活选择配方的方式。
【难度系数】
0.8
6 将一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$配方，得$(x - 1)^2 = \_\_\_\_\_\_$；开平方，得$x - 1 = \_\_\_\_\_\_$，解得$x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
6. $3$；$\pm\sqrt{3}$；$1+\sqrt{3}$；$1-\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1；第二步利用完全平方公式的结构，在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式，即可得到第一个空的结果；第三步对配好的方程直接开平方，得到x-1的取值，再移项即可求出方程的两个解。
【解析】
解：对原方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$按步骤计算：
1. 移项，得$\frac{1}{2}x^2 - x = 1$；
2. 方程两边同时乘2，将二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = 2$；
3. 配方：方程两边同时加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得$x^2 - 2x +1 = 2 +1$，整理得$\boldsymbol{(x-1)^2 = 3}$；
4. 开平方，得$\boldsymbol{x - 1 = \pm\sqrt{3}}$；
5. 移项求解：当$x-1=\sqrt{3}$时，$x_1 = 1+\sqrt{3}$；当$x-1=-\sqrt{3}$时，$x_2 = 1-\sqrt{3}$。
【答案】
$3$；$\pm\sqrt{3}$；$1+\sqrt{3}$；$1-\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再进行配方，熟练掌握完全平方公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题思路如下：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧，再把二次项系数化为1；第二步利用完全平方公式的结构，在方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，将等号左侧配成完全平方式，即可得到第一个空的结果；第三步对配好的方程直接开平方，得到x-1的取值，再移项即可求出方程的两个解。
【解析】
解：对原方程$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$按步骤计算：
1. 移项，得$\frac{1}{2}x^2 - x = 1$；
2. 方程两边同时乘2，将二次项系数化为1，得$x^2 - 2x = 2$；
3. 配方：方程两边同时加一次项系数$-2$一半的平方$1$，得$x^2 - 2x +1 = 2 +1$，整理得$\boldsymbol{(x-1)^2 = 3}$；
4. 开平方，得$\boldsymbol{x - 1 = \pm\sqrt{3}}$；
5. 移项求解：当$x-1=\sqrt{3}$时，$x_1 = 1+\sqrt{3}$；当$x-1=-\sqrt{3}$时，$x_2 = 1-\sqrt{3}$。
【答案】
$3$；$\pm\sqrt{3}$；$1+\sqrt{3}$；$1-\sqrt{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法解方程的基础题型，核心是掌握配方法的操作步骤，尤其注意二次项系数不为1时，要先将二次项系数化为1再进行配方，熟练掌握完全平方公式的结构特征是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
7 某同学解方程 $2x^2 - 3x + 1 = 0$ 的步骤如下：
$2x^2 - 3x + 1 = 0 \xrightarrow[①]{两边同除以2} x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 \xrightarrow[②]{移项} x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2} \xrightarrow[③]{配方} (x - 3)^2 = -\frac{1}{2} + 9 \xrightarrow[④]{两边开平方} x - 3 = \pm \frac{\sqrt{34}}{2} \xrightarrow[⑤]{移项} x_1 = \frac{6 + \sqrt{34}}{2}, x_2 = \frac{6 - \sqrt{34}}{2}$. 上述解题步骤中，开始出现错误的步骤是
$2x^2 - 3x + 1 = 0 \xrightarrow[①]{两边同除以2} x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0 \xrightarrow[②]{移项} x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2} \xrightarrow[③]{配方} (x - 3)^2 = -\frac{1}{2} + 9 \xrightarrow[④]{两边开平方} x - 3 = \pm \frac{\sqrt{34}}{2} \xrightarrow[⑤]{移项} x_1 = \frac{6 + \sqrt{34}}{2}, x_2 = \frac{6 - \sqrt{34}}{2}$. 上述解题步骤中，开始出现错误的步骤是
③
（填序号）.答案
7. ③
解析
【分析】
本题考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题时先回忆配方法的标准操作步骤，再逐一对题干给出的步骤进行校验：首先确认二次项系数化为1、移项的操作是否正确，再按照“配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方”的规则检查配方步骤，即可定位首次出错的位置。
【解析】
我们逐步骤验证解题过程的正确性：
1. 步骤①：方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得到$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0$，操作符合等式基本性质，正确。
2. 步骤②：移项，把常数项移到等号右侧，得到$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$，移项变号正确。
3. 步骤③：配方的正确操作是给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半是$-\frac{3}{4}$，对应的平方是$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，正确的配方结果应为$(x-\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$，但题干步骤③错误将左边写为$(x-3)^2$，右侧错误加9，不符合配方规则，因此从步骤③开始出现错误。
【答案】
③
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础易错题，核心考查配方的操作规则，解题时要注意准确计算一次项系数一半的平方，避免看错、算错一次项系数导致失误。
【难度系数】
0.7
本题考查配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，解题时先回忆配方法的标准操作步骤，再逐一对题干给出的步骤进行校验：首先确认二次项系数化为1、移项的操作是否正确，再按照“配方时需给方程两边同时加一次项系数一半的平方”的规则检查配方步骤，即可定位首次出错的位置。
【解析】
我们逐步骤验证解题过程的正确性：
1. 步骤①：方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得到$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} = 0$，操作符合等式基本性质，正确。
2. 步骤②：移项，把常数项移到等号右侧，得到$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$，移项变号正确。
3. 步骤③：配方的正确操作是给方程左右两边同时加一次项系数一半的平方，本题一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半是$-\frac{3}{4}$，对应的平方是$(-\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，正确的配方结果应为$(x-\frac{3}{4})^2 = -\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$，但题干步骤③错误将左边写为$(x-3)^2$，右侧错误加9，不符合配方规则，因此从步骤③开始出现错误。
【答案】
③
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的基本性质
【点评】
本题是配方法的基础易错题，核心考查配方的操作规则，解题时要注意准确计算一次项系数一半的平方，避免看错、算错一次项系数导致失误。
【难度系数】
0.7
8 教材变式题 用配方法解下列方程：
(1) $2x^2 - 4x - 5 = 0$；
(2) $3x^2 - 1 = 6x$；
(3) $(x + 1)(2x - 3) = 1$。
(1) $2x^2 - 4x - 5 = 0$；
(2) $3x^2 - 1 = 6x$；
(3) $(x + 1)(2x - 3) = 1$。
答案
8. (1) $x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(2) $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{4}$
(2) $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{4}$
解析
【分析】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，遵循以下通用思路：①先将方程整理为左边只含二次项和一次项、右边为常数项的形式；②方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边化为常数；④直接开平方求出方程的解。每道小题均按该步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程 $2x^2 - 4x - 5 = 0$
移项得：$2x^2 - 4x = 5$
两边同时除以2，将二次项系数化为1：$x^2 - 2x = \frac{5}{2}$
配方，两边同时加$(-2÷2)^2=1$：$x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，即 $(x-1)^2 = \frac{7}{2}$
开平方得：$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(2) 解方程 $3x^2 - 1 = 6x$
移项整理得：$3x^2 - 6x = 1$
两边同时除以3，将二次项系数化为1：$x^2 - 2x = \frac{1}{3}$
配方，两边同时加$(-2÷2)^2=1$：$x^2 - 2x +1 = \frac{1}{3} + 1$，即 $(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
开平方得：$x - 1 = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：$x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) 解方程 $(x + 1)(2x - 3) = 1$
展开左边并整理移项得：$2x^2 - x = 4$
两边同时除以2，将二次项系数化为1：$x^2 - \frac{1}{2}x = 2$
配方，两边同时加$(-\frac{1}{2}÷2)^2=\frac{1}{16}$：$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 2 + \frac{1}{16}$，即 $(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{33}{16}$
开平方得：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$
解得：$x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{4}$
【答案】
(1) $x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(2) $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，需要注意二次项系数化为1是配方的前提，配方时等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方，计算开方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.75
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程，遵循以下通用思路：①先将方程整理为左边只含二次项和一次项、右边为常数项的形式；②方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式，右边化为常数；④直接开平方求出方程的解。每道小题均按该步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) 解方程 $2x^2 - 4x - 5 = 0$
移项得：$2x^2 - 4x = 5$
两边同时除以2，将二次项系数化为1：$x^2 - 2x = \frac{5}{2}$
配方，两边同时加$(-2÷2)^2=1$：$x^2 - 2x + 1 = \frac{5}{2} + 1$，即 $(x-1)^2 = \frac{7}{2}$
开平方得：$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(2) 解方程 $3x^2 - 1 = 6x$
移项整理得：$3x^2 - 6x = 1$
两边同时除以3，将二次项系数化为1：$x^2 - 2x = \frac{1}{3}$
配方，两边同时加$(-2÷2)^2=1$：$x^2 - 2x +1 = \frac{1}{3} + 1$，即 $(x-1)^2 = \frac{4}{3}$
开平方得：$x - 1 = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$
解得：$x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) 解方程 $(x + 1)(2x - 3) = 1$
展开左边并整理移项得：$2x^2 - x = 4$
两边同时除以2，将二次项系数化为1：$x^2 - \frac{1}{2}x = 2$
配方，两边同时加$(-\frac{1}{2}÷2)^2=\frac{1}{16}$：$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} = 2 + \frac{1}{16}$，即 $(x - \frac{1}{4})^2 = \frac{33}{16}$
开平方得：$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{\sqrt{33}}{4}$
解得：$x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{4}$
【答案】
(1) $x_1=1+\frac{\sqrt{14}}{2},x_2=1-\frac{\sqrt{14}}{2}$
(2) $x_1=1+\frac{2\sqrt{3}}{3},x_2=1-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
(3) $x_1=\frac{1+\sqrt{33}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{33}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、整式乘法运算
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心是熟练掌握配方法的操作步骤，需要注意二次项系数化为1是配方的前提，配方时等式两边必须同时加上一次项系数一半的平方，计算开方时不要遗漏负根。
【难度系数】
0.75
9 小明用配方法解关于 $ x $ 的方程 $ 2x^2 + b = ax $，得 $ x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} $，则 $ a + b $ 的值为 （
A.3
B.-3
C.5
D.-5
A
）A.3
B.-3
C.5
D.-5
答案
9. A
解析
【分析】
解题思路：已知配方法解方程得到的最终形式，我们可以逆用配方法的步骤，先将该式平方还原成配方法完成时的形式，再整理为一元二次方程的一般形式，最后和原方程对比对应项的系数，求出a、b的值，即可计算a+b的结果。
第一步：对等式$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$两边同时平方，消去根号和正负号；第二步：展开整理为整式方程，调整为和原方程二次项系数相同的形式；第三步：对比系数得到a、b的值，代入计算a+b。
【解析】
首先将$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$两边同时平方，得：
$(x - \frac{3}{2})^2 = (\pm \frac{\sqrt{15}}{2})^2$
展开左边、计算右边：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$
移项整理，将常数项移到左边：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{15}{4} = 0$
化简得：
$x^2 - 3x - \frac{3}{2} = 0$
两边同时乘2，使二次项系数为2，和原方程形式一致：
$2x^2 - 6x - 3 = 0$
移项得：$2x^2 - 3 = 6x$
和原方程$2x^2 + b = ax$对比对应项系数，可得：$a=6$，$b=-3$
因此$a + b = 6 + (-3) = 3$
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；一元二次方程系数对应
【点评】
本题是配方法的逆向考查，需要熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤，通过还原方程、对比系数即可求出参数，解题时注意调整二次项系数和原方程一致，避免系数对应错误。
【难度系数】
0.7
解题思路：已知配方法解方程得到的最终形式，我们可以逆用配方法的步骤，先将该式平方还原成配方法完成时的形式，再整理为一元二次方程的一般形式，最后和原方程对比对应项的系数，求出a、b的值，即可计算a+b的结果。
第一步：对等式$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$两边同时平方，消去根号和正负号；第二步：展开整理为整式方程，调整为和原方程二次项系数相同的形式；第三步：对比系数得到a、b的值，代入计算a+b。
【解析】
首先将$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$两边同时平方，得：
$(x - \frac{3}{2})^2 = (\pm \frac{\sqrt{15}}{2})^2$
展开左边、计算右边：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$
移项整理，将常数项移到左边：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{15}{4} = 0$
化简得：
$x^2 - 3x - \frac{3}{2} = 0$
两边同时乘2，使二次项系数为2，和原方程形式一致：
$2x^2 - 6x - 3 = 0$
移项得：$2x^2 - 3 = 6x$
和原方程$2x^2 + b = ax$对比对应项系数，可得：$a=6$，$b=-3$
因此$a + b = 6 + (-3) = 3$
【答案】
A
【知识点】
配方法的应用；一元二次方程系数对应
【点评】
本题是配方法的逆向考查，需要熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤，通过还原方程、对比系数即可求出参数，解题时注意调整二次项系数和原方程一致，避免系数对应错误。
【难度系数】
0.7
