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10 已知一元二次方程$x^2 -4x +m=0$可配成$(x-n)^2=1$，则$m+n$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$-5$
D.$5$
答案
10. D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以通过两种思路推导：一是将题目给出的配方后方程展开为一元二次方程一般形式，和已知方程的对应项系数对比求出m、n的值；二是直接对已知一元二次方程进行配方，和给定的配方形式对应得到参数。这里选择展开配方形式的方法更直观：先利用完全平方公式展开$(x-n)^2=1$，整理为一般式后和$x^2-4x+m=0$的一次项系数、常数项分别对应相等，依次求出n和m，最后计算两者的和即可。
【解析】
步骤1：展开配方后的方程
利用完全平方公式展开$(x-n)^2=1$：
$x^2 - 2nx + n^2 = 1$
移项整理为一元二次方程一般式：
$x^2 - 2nx + (n^2 - 1) = 0$
步骤2：对比对应项系数求参数
因为该方程和$x^2 -4x +m=0$是同一个方程，对应项系数相等：
①一次项系数相等：$-2n = -4$，解得$n=2$
②常数项相等：$n^2 - 1 = m$，将$n=2$代入得$m=2^2 -1=3$
步骤3：计算$m+n$的值
$m+n=3+2=5$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是掌握一元二次方程配方前后的形式对应关系，无论是展开配方形式还是对原方程直接配方，找准对应项的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以通过两种思路推导：一是将题目给出的配方后方程展开为一元二次方程一般形式，和已知方程的对应项系数对比求出m、n的值；二是直接对已知一元二次方程进行配方，和给定的配方形式对应得到参数。这里选择展开配方形式的方法更直观：先利用完全平方公式展开$(x-n)^2=1$，整理为一般式后和$x^2-4x+m=0$的一次项系数、常数项分别对应相等，依次求出n和m，最后计算两者的和即可。
【解析】
步骤1：展开配方后的方程
利用完全平方公式展开$(x-n)^2=1$：
$x^2 - 2nx + n^2 = 1$
移项整理为一元二次方程一般式：
$x^2 - 2nx + (n^2 - 1) = 0$
步骤2：对比对应项系数求参数
因为该方程和$x^2 -4x +m=0$是同一个方程，对应项系数相等：
①一次项系数相等：$-2n = -4$，解得$n=2$
②常数项相等：$n^2 - 1 = m$，将$n=2$代入得$m=2^2 -1=3$
步骤3：计算$m+n$的值
$m+n=3+2=5$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心是掌握一元二次方程配方前后的形式对应关系，无论是展开配方形式还是对原方程直接配方，找准对应项的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11 转化与化归思想 已知$M=\frac{2}{9}a -1$，$N=a^2 - \frac{7}{9}a$（$a$为任意实数），则$M$，$N$的大小关系为（
A.$M＜N$
B.$M=N$
C.$M＞N$
D.无法确定
A
）A.$M＜N$
B.$M=N$
C.$M＞N$
D.无法确定
答案
11. A
解析
【分析】比较两个代数式的大小通常采用作差法，先计算N与M的差，再将所得的差通过配方法变形为含完全平方的式子，最后利用平方的非负性判断差的正负性，即可得出M、N的大小关系。
【解析】
要比较M和N的大小，计算$N-M$的值：
$\begin{aligned}N-M&=(a^2 - \frac{7}{9}a)-(\frac{2}{9}a - 1)\\&=a^2 - \frac{7}{9}a - \frac{2}{9}a + 1\\&=a^2 - a + 1\end{aligned}$
对$a^2 - a + 1$配方：
一次项系数为$-1$，取其一半的平方为$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此：
$\begin{aligned}a^2 - a + 1&=a^2 - a + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\\&=(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
$\because a$为任意实数，$\therefore (a-\frac{1}{2})^2≥0$，
$\therefore (a-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$N-M＞0$，
$\therefore M＜N$。
【答案】A
【知识点】作差法比较大小；配方法的应用；平方的非负性
【点评】本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是熟练掌握作差法的步骤，以及二次项系数为1的二次式的配方技巧，结合平方的非负性即可快速判断结果。
【难度系数】0.7
【解析】
要比较M和N的大小，计算$N-M$的值：
$\begin{aligned}N-M&=(a^2 - \frac{7}{9}a)-(\frac{2}{9}a - 1)\\&=a^2 - \frac{7}{9}a - \frac{2}{9}a + 1\\&=a^2 - a + 1\end{aligned}$
对$a^2 - a + 1$配方：
一次项系数为$-1$，取其一半的平方为$(-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，因此：
$\begin{aligned}a^2 - a + 1&=a^2 - a + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\\&=(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
$\because a$为任意实数，$\therefore (a-\frac{1}{2})^2≥0$，
$\therefore (a-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$N-M＞0$，
$\therefore M＜N$。
【答案】A
【知识点】作差法比较大小；配方法的应用；平方的非负性
【点评】本题是代数式大小比较的典型题型，解题核心是熟练掌握作差法的步骤，以及二次项系数为1的二次式的配方技巧，结合平方的非负性即可快速判断结果。
【难度系数】0.7
12 若关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +m=0$可以通过配方法化成$(x-n)^2=8$的形式，则方程$x^2 -6x +m=4$可以配方成________.
答案
12. $(x-3)^2=12$
解析
【分析】
解题时首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，先移项将常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式。第一步先对已知的方程$x^2 -6x +m=0$配方，结合题目给出的配方后形式$(x-n)^2=8$，求出参数$m$的值；第二步将$m$代入待配方的方程$x^2 -6x +m=4$，再按配方法步骤变形即可得到结果。
【解析】
1. 先对已知方程$x^2 -6x +m=0$配方：
移项得：$x^2 -6x = -m$，
给两边同时加一次项系数$-6$一半的平方$9$，得：
$x^2 -6x +9 = 9 - m$，即$(x-3)^2 = 9 - m$。
2. 结合题意该方程可化为$(x-n)^2=8$，对应可得：
$n=3$，$9 - m=8$，解得$m=1$。
3. 对目标方程$x^2 -6x +m=4$配方：
将$m=1$代入得$x^2 -6x +1=4$，
移项得：$x^2 -6x = 3$，
给两边同时加$9$得：$x^2 -6x +9 = 3 + 9$，
即$(x-3)^2=12$。
【答案】
$(x-3)^2=12$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法的熟练应用，核心是先通过已知配方结果求出未知参数，再对目标方程进行配方变形，掌握配方法的标准操作步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆配方法的操作步骤：对于二次项系数为1的一元二次方程，先移项将常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧变形为完全平方式。第一步先对已知的方程$x^2 -6x +m=0$配方，结合题目给出的配方后形式$(x-n)^2=8$，求出参数$m$的值；第二步将$m$代入待配方的方程$x^2 -6x +m=4$，再按配方法步骤变形即可得到结果。
【解析】
1. 先对已知方程$x^2 -6x +m=0$配方：
移项得：$x^2 -6x = -m$，
给两边同时加一次项系数$-6$一半的平方$9$，得：
$x^2 -6x +9 = 9 - m$，即$(x-3)^2 = 9 - m$。
2. 结合题意该方程可化为$(x-n)^2=8$，对应可得：
$n=3$，$9 - m=8$，解得$m=1$。
3. 对目标方程$x^2 -6x +m=4$配方：
将$m=1$代入得$x^2 -6x +1=4$，
移项得：$x^2 -6x = 3$，
给两边同时加$9$得：$x^2 -6x +9 = 3 + 9$，
即$(x-3)^2=12$。
【答案】
$(x-3)^2=12$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；等式的基本性质
【点评】
本题重点考查配方法的熟练应用，核心是先通过已知配方结果求出未知参数，再对目标方程进行配方变形，掌握配方法的标准操作步骤即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
13 新情境 生活实际 某社区计划利用如图所示的直角墙角(涂色部分,两边足够长),用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,AD两边).若在点P处有一棵桂花树,且与墙BC,CD的距离分别是10米,30米,要将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积
不能
(填“能”或“不能”)为625平方米.答案
13. 不能
解析
【分析】
我们可以先设AD的长度为x米，根据篱笆总长50米可表示出AB的长度为(50-x)米。再结合桂花树P的位置，要将P围在园内，需满足AD不小于P到CD的距离30米，AB不小于P到BC的距离10米，由此得到x的取值范围。接着根据面积为625平方米列方程，用配方法解方程后判断解是否在取值范围内，即可得到结论。
【解析】
设AD的长为$x$米，则AB的长为$(50-x)$米。
由桂花树要围在花园内，可得：
$\begin{cases}x≥30 \\50-x≥10\end{cases}$
解得$30≤ x≤40$。
若花园面积为625平方米，列方程得：
$x(50-x)=625$
整理得$x^2-50x+625=0$
配方得$(x-25)^2=0$
解得$x=25$。
由于$25$不在$30≤ x≤40$的范围内，不符合实际要求，因此花园面积不能为625平方米。
【答案】
不能
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 配方法解方程 3. 不等式组应用
【点评】
本题结合生活实际场景，考查一元二次方程的实际应用，解题时要注意结合实际限制条件判断方程的解是否符合要求，不能忽略自变量的取值范围直接判断结果。
【难度系数】
0.6
我们可以先设AD的长度为x米，根据篱笆总长50米可表示出AB的长度为(50-x)米。再结合桂花树P的位置，要将P围在园内，需满足AD不小于P到CD的距离30米，AB不小于P到BC的距离10米，由此得到x的取值范围。接着根据面积为625平方米列方程，用配方法解方程后判断解是否在取值范围内，即可得到结论。
【解析】
设AD的长为$x$米，则AB的长为$(50-x)$米。
由桂花树要围在花园内，可得：
$\begin{cases}x≥30 \\50-x≥10\end{cases}$
解得$30≤ x≤40$。
若花园面积为625平方米，列方程得：
$x(50-x)=625$
整理得$x^2-50x+625=0$
配方得$(x-25)^2=0$
解得$x=25$。
由于$25$不在$30≤ x≤40$的范围内，不符合实际要求，因此花园面积不能为625平方米。
【答案】
不能
【知识点】
1. 一元二次方程应用 2. 配方法解方程 3. 不等式组应用
【点评】
本题结合生活实际场景，考查一元二次方程的实际应用，解题时要注意结合实际限制条件判断方程的解是否符合要求，不能忽略自变量的取值范围直接判断结果。
【难度系数】
0.6
14 将关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2px + p^2 - 2p +5=0$经过配方化成$(x - m)^2 =n$的形式.由此说明当$p$满足什么条件时,方程有两个不相等的实数根,并求出此时方程的根.
答案
14. 将$x^2 - 2px + p^2 - 2p +5=0$移项,得$x^2 - 2px + p^2 = 2p -5$.配方,得$(x-p)^2=2p-5$.当$2p-5＞0$,即$p＞\frac{5}{2}$时,方程有两个不相等的实数根.开平方,得$x-p=\pm\sqrt{2p-5}$,解得$x_1=p+\sqrt{2p-5},x_2=p-\sqrt{2p-5}$
解析
【分析】
本题需先利用配方法将给定的一元二次方程变形为$(x-m)^2=n$的形式，再结合平方根的性质分析方程有两个不相等实数根的条件：只有当$n＞0$时，等式右侧有两个不相等的平方根，对应方程有两个不相等的实根，据此求出$p$的取值范围，最后通过直接开平方求解方程的根即可。
【解析】
1. 移项：将方程中的常数项移到等号右侧，得
$x^2 - 2px + p^2 = 2p - 5$
2. 配方：左侧为完全平方式，整理得
$(x-p)^2=2p-5$
3. 分析根的情况：要使方程有两个不相等的实数根，需等号右侧为正数，即
$2p-5＞0$
解得$p＞\frac{5}{2}$
4. 求根：当$p＞\frac{5}{2}$时，对等式两边开平方，得
$x-p=\pm\sqrt{2p-5}$
移项得方程的两个根：$x_1=p+\sqrt{2p-5},x_2=p-\sqrt{2p-5}$
【答案】
配方结果为$\boldsymbol{(x-p)^2=2p-5}$；当$\boldsymbol{p＞\frac{5}{2}}$时方程有两个不相等的实数根，此时方程的根为$\boldsymbol{x_1=p+\sqrt{2p-5},x_2=p-\sqrt{2p-5}}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、一元二次方程根的判定、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考察配方变形能力、一元二次方程根的情况与参数的关联分析能力，熟练掌握配方法步骤和平方根的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
本题需先利用配方法将给定的一元二次方程变形为$(x-m)^2=n$的形式，再结合平方根的性质分析方程有两个不相等实数根的条件：只有当$n＞0$时，等式右侧有两个不相等的平方根，对应方程有两个不相等的实根，据此求出$p$的取值范围，最后通过直接开平方求解方程的根即可。
【解析】
1. 移项：将方程中的常数项移到等号右侧，得
$x^2 - 2px + p^2 = 2p - 5$
2. 配方：左侧为完全平方式，整理得
$(x-p)^2=2p-5$
3. 分析根的情况：要使方程有两个不相等的实数根，需等号右侧为正数，即
$2p-5＞0$
解得$p＞\frac{5}{2}$
4. 求根：当$p＞\frac{5}{2}$时，对等式两边开平方，得
$x-p=\pm\sqrt{2p-5}$
移项得方程的两个根：$x_1=p+\sqrt{2p-5},x_2=p-\sqrt{2p-5}$
【答案】
配方结果为$\boldsymbol{(x-p)^2=2p-5}$；当$\boldsymbol{p＞\frac{5}{2}}$时方程有两个不相等的实数根，此时方程的根为$\boldsymbol{x_1=p+\sqrt{2p-5},x_2=p-\sqrt{2p-5}}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、一元二次方程根的判定、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法应用的基础题型，核心考察配方变形能力、一元二次方程根的情况与参数的关联分析能力，熟练掌握配方法步骤和平方根的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
15 如图所示为某年10月的月历,在其中用一个方框框出4个数(如图中虚线框所示),设这4个数从小到大依次为$a,b,c,d$.
(1) 若用含$a$的式子分别表示出$b,c,d$,则$b=$
(2) 按这种方法所框出的4个数中,$ab$的最大值为
(3) 嘉嘉说:“按这种方法可以框出4个数,使得$bc$的值为135.”淇淇说:“按这种方法可以框出4个数,使得$ad$的值为84.”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.
(1) 若用含$a$的式子分别表示出$b,c,d$,则$b=$
$a+1$
, $c=$$a+7$
, $d=$$a+8$
.(2) 按这种方法所框出的4个数中,$ab$的最大值为
552
.(3) 嘉嘉说:“按这种方法可以框出4个数,使得$bc$的值为135.”淇淇说:“按这种方法可以框出4个数,使得$ad$的值为84.”请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确.
答案
15. (1) $a+1$ $a+7$ $a+8$
(2) 552
(3) 假设嘉嘉的说法正确.根据题意,得$(a+1)(a+7)=135$.整理,得$a^2+8a-128=0$,解得$a_1=8,a_2=-16$(不合题意,舍去).$\because$ 10月8日为周六,$\therefore$ 无法框出符合题意的4个数.$\therefore$ 嘉嘉的说法错误.假设淇淇的说法正确.根据题意,得$a(a+8)=84$.整理,得$a^2+8a-84=0$,解得$a_3=6,a_4=-14$(不合题意,舍去).$\because$ 10月6日为周四,$\therefore$ 符合题意.$\therefore$ 淇淇的说法正确
(2) 552
(3) 假设嘉嘉的说法正确.根据题意,得$(a+1)(a+7)=135$.整理,得$a^2+8a-128=0$,解得$a_1=8,a_2=-16$(不合题意,舍去).$\because$ 10月8日为周六,$\therefore$ 无法框出符合题意的4个数.$\therefore$ 嘉嘉的说法错误.假设淇淇的说法正确.根据题意,得$a(a+8)=84$.整理,得$a^2+8a-84=0$,解得$a_3=6,a_4=-14$(不合题意,舍去).$\because$ 10月6日为周四,$\therefore$ 符合题意.$\therefore$ 淇淇的说法正确
解析
【分析】
(1) 先观察月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下两个数相差7。左上角的数为a，它右侧相邻的b比a大1；a正下方的c比a大7；c右侧的d比c大1，即比a大8，据此即可写出对应表达式。
(2) 要使ab的值最大，需让a尽可能大，同时保证框出的4个数都在月历内，且a的右侧、下侧都有数，找到最大的符合要求的a代入计算即可。
(3) 判断两人说法是否正确时，先假设说法成立，根据4个数的数量关系列一元二次方程，解方程得到a的值后，再结合月历的位置要求判断a是否符合实际，即可得出结论。
【解析】
(1) 根据月历的数字排列规律：同一行相邻数差1，同一列上下数差7，可得：
$b=a+1$，$c=a+7$，$d=c+1=a+8$。
(2) 要使ab最大，需a尽可能大，且框出的4个数均存在：
满足条件的最大a为23，此时$b=23+1=24$，则$ab=23×24=552$。
(3) ①判断嘉嘉的说法：
假设嘉嘉的说法正确，根据题意列方程：
$(a+1)(a+7)=135$
整理得：$a^2+8a-128=0$
解得$a_1=8$，$a_2=-16$（日期为正整数，舍去）
观察月历可知10月8日为周六，右侧没有数字，无法框出符合要求的4个数，因此嘉嘉的说法错误。
②判断淇淇的说法：
假设淇淇的说法正确，根据题意列方程：
$a(a+8)=84$
整理得：$a^2+8a-84=0$
解得$a_1=6$，$a_2=-14$（不合题意，舍去）
观察月历可知10月6日为周四，右侧、下侧均有数字，可以框出符合要求的4个数，因此淇淇的说法正确。
【答案】
(1) $a+1$；$a+7$；$a+8$
(2) $552$
(3) 嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确。
【知识点】
月历数字规律；一元二次方程的求解；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查一元二次方程的应用，解题时不仅要正确求解方程，还要结合实际情况（日期为正整数、月历的位置限制）舍去不符合要求的根，避免只关注方程解的数值、忽略实际意义导致出错。
【难度系数】
0.6
(1) 先观察月历的数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列上下两个数相差7。左上角的数为a，它右侧相邻的b比a大1；a正下方的c比a大7；c右侧的d比c大1，即比a大8，据此即可写出对应表达式。
(2) 要使ab的值最大，需让a尽可能大，同时保证框出的4个数都在月历内，且a的右侧、下侧都有数，找到最大的符合要求的a代入计算即可。
(3) 判断两人说法是否正确时，先假设说法成立，根据4个数的数量关系列一元二次方程，解方程得到a的值后，再结合月历的位置要求判断a是否符合实际，即可得出结论。
【解析】
(1) 根据月历的数字排列规律：同一行相邻数差1，同一列上下数差7，可得：
$b=a+1$，$c=a+7$，$d=c+1=a+8$。
(2) 要使ab最大，需a尽可能大，且框出的4个数均存在：
满足条件的最大a为23，此时$b=23+1=24$，则$ab=23×24=552$。
(3) ①判断嘉嘉的说法：
假设嘉嘉的说法正确，根据题意列方程：
$(a+1)(a+7)=135$
整理得：$a^2+8a-128=0$
解得$a_1=8$，$a_2=-16$（日期为正整数，舍去）
观察月历可知10月8日为周六，右侧没有数字，无法框出符合要求的4个数，因此嘉嘉的说法错误。
②判断淇淇的说法：
假设淇淇的说法正确，根据题意列方程：
$a(a+8)=84$
整理得：$a^2+8a-84=0$
解得$a_1=6$，$a_2=-14$（不合题意，舍去）
观察月历可知10月6日为周四，右侧、下侧均有数字，可以框出符合要求的4个数，因此淇淇的说法正确。
【答案】
(1) $a+1$；$a+7$；$a+8$
(2) $552$
(3) 嘉嘉的说法错误，淇淇的说法正确。
【知识点】
月历数字规律；一元二次方程的求解；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查一元二次方程的应用，解题时不仅要正确求解方程，还要结合实际情况（日期为正整数、月历的位置限制）舍去不符合要求的根，避免只关注方程解的数值、忽略实际意义导致出错。
【难度系数】
0.6
16（1）根据要求，解答下列问题：
① 方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的解为
② 方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的解为
③ 方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的解为
（2）根据以上方程及其解的特征，请猜想：
① 方程$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为
② 关于$x$的方程
（3）请用配方法解方程$x^2 - 9x + 8 = 0$，以验证猜想结论的正确性.
① 方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的解为
$x_1=x_2=1$
；② 方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的解为
$x_1=1,x_2=2$
；③ 方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的解为
$x_1=1,x_2=3$
.（2）根据以上方程及其解的特征，请猜想：
① 方程$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为
$x_1=1,x_2=8$
；② 关于$x$的方程
$x^2-(1+n)x+n=0$
的解为$x_1 = 1, x_2 = n$.（3）请用配方法解方程$x^2 - 9x + 8 = 0$，以验证猜想结论的正确性.
答案
16. (1) ① $x_1=x_2=1$ ② $x_1=1,x_2=2$ ③ $x_1=1,x_2=3$
(2) ① $x_1=1,x_2=8$ ② $x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 移项,得$x^2-9x=-8$.配方,得$x^2-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$,即$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$.$\therefore x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$,即$x_1=1,x_2=8$.$\therefore$ 猜想的结论正确
(2) ① $x_1=1,x_2=8$ ② $x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 移项,得$x^2-9x=-8$.配方,得$x^2-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$,即$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$.$\therefore x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$,即$x_1=1,x_2=8$.$\therefore$ 猜想的结论正确
解析
【分析】
（1）中的三个方程均为二次项系数为1的一元二次方程，可优先用十字相乘法因式分解求解；解出三个方程后，观察根与方程系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，即可总结出规律。（2）利用总结的规律即可快速猜想方程的解和对应方程的形式。（3）用配方法解一元二次方程按照“移项→配方（两边加一次项系数一半的平方）→写成完全平方式→开平方求解”的步骤进行，即可验证猜想是否正确。
【解析】
(1) ① 对$x^2 - 2x + 1 = 0$因式分解得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
② 对$x^2 - 3x + 2 = 0$十字相乘得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$；
③ 对$x^2 - 4x + 3 = 0$十字相乘得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$。
(2) ① 根据前3组方程的根的特征：其中一个根为1，另一个根等于常数项，可得方程$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为$x_1=1,x_2=8$；
② 已知方程的解为$x_1 = 1, x_2 = n$，则一次项系数为$-(1+n)$，常数项为$1× n=n$，因此方程为$x^2-(1+n)x+n=0$。
(3) 用配方法解方程$x^2 - 9x + 8 = 0$：
第一步，移项，得$x^2-9x=-8$；
第二步，配方，两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-9}{2})^2=\frac{81}{4}$，得$x^2-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$，即$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$；
第三步，开平方，得$x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$；
第四步，求解，得$x_1=\frac{9}{2}-\frac{7}{2}=1$，$x_2=\frac{9}{2}+\frac{7}{2}=8$，与猜想一致，故猜想正确。
【答案】
(1) ① $x_1=x_2=1$ ② $x_1=1,x_2=2$ ③ $x_1=1,x_2=3$
(2) ① $x_1=1,x_2=8$ ② $x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 移项,得$x^2-9x=-8$.配方,得$x^2-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$,即$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$.$\therefore x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$,即$x_1=1,x_2=8$.$\therefore$ 猜想的结论正确
【知识点】
1. 一元二次方程解法
2. 配方法
3. 规律探究
【点评】
本题结合一元二次方程的解法考查规律探究能力，通过解特殊方程总结共性规律，再运用规律进行猜想、验证，有助于培养从特殊到一般的逻辑思维能力，核心考查配方法的规范步骤应用。
【难度系数】
0.8
（1）中的三个方程均为二次项系数为1的一元二次方程，可优先用十字相乘法因式分解求解；解出三个方程后，观察根与方程系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项，即可总结出规律。（2）利用总结的规律即可快速猜想方程的解和对应方程的形式。（3）用配方法解一元二次方程按照“移项→配方（两边加一次项系数一半的平方）→写成完全平方式→开平方求解”的步骤进行，即可验证猜想是否正确。
【解析】
(1) ① 对$x^2 - 2x + 1 = 0$因式分解得$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$；
② 对$x^2 - 3x + 2 = 0$十字相乘得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1,x_2=2$；
③ 对$x^2 - 4x + 3 = 0$十字相乘得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1,x_2=3$。
(2) ① 根据前3组方程的根的特征：其中一个根为1，另一个根等于常数项，可得方程$x^2 - 9x + 8 = 0$的解为$x_1=1,x_2=8$；
② 已知方程的解为$x_1 = 1, x_2 = n$，则一次项系数为$-(1+n)$，常数项为$1× n=n$，因此方程为$x^2-(1+n)x+n=0$。
(3) 用配方法解方程$x^2 - 9x + 8 = 0$：
第一步，移项，得$x^2-9x=-8$；
第二步，配方，两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{-9}{2})^2=\frac{81}{4}$，得$x^2-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$，即$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$；
第三步，开平方，得$x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$；
第四步，求解，得$x_1=\frac{9}{2}-\frac{7}{2}=1$，$x_2=\frac{9}{2}+\frac{7}{2}=8$，与猜想一致，故猜想正确。
【答案】
(1) ① $x_1=x_2=1$ ② $x_1=1,x_2=2$ ③ $x_1=1,x_2=3$
(2) ① $x_1=1,x_2=8$ ② $x^2-(1+n)x+n=0$
(3) 移项,得$x^2-9x=-8$.配方,得$x^2-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$,即$(x-\frac{9}{2})^2=\frac{49}{4}$.$\therefore x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$,即$x_1=1,x_2=8$.$\therefore$ 猜想的结论正确
【知识点】
1. 一元二次方程解法
2. 配方法
3. 规律探究
【点评】
本题结合一元二次方程的解法考查规律探究能力，通过解特殊方程总结共性规律，再运用规律进行猜想、验证，有助于培养从特殊到一般的逻辑思维能力，核心考查配方法的规范步骤应用。
【难度系数】
0.8
