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1. (2026·上海期末)下列方程中是关于x的一元二次方程的是 (
A.$x^2=-2$
B.$ax^2+bx+c=0$（其中$a,b,c$是常数）
C.$x^2+\frac{1}{x}-3=0$
D.$(x-2)(x-4)=x^2-1$
A
)A.$x^2=-2$
B.$ax^2+bx+c=0$（其中$a,b,c$是常数）
C.$x^2+\frac{1}{x}-3=0$
D.$(x-2)(x-4)=x^2-1$
答案
A 解析:A. $x^2=-2$,是整式方程,只含一个未知数x,且最高次数为2,故是一元二次方程;B. $ax^2+bx+c=0$,a,b,c为常数,但a可能为0,当a=0时不是二次方程,故不一定是一元二次方程;C. $x^2+\frac{1}{x}-3=0$,含有$\frac{1}{x}$项,不是整式方程,故不是一元二次方程;D. $(x-2)(x-4)=x^2-1$,化简为-6x+9=0,是一元一次方程,故不是一元二次方程,故选A.
2. (2026·泸州期中)将一元二次方程$2x^2 + 3x = -1$配方，其正确的结果是 (
A.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{17}{4}$
C.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{1}{16}$
D.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$
D
)A.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{17}{16}$
B.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{17}{4}$
C.$(x+\dfrac{3}{2})^2=\dfrac{1}{16}$
D.$(x+\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{1}{16}$
答案
D 解析:
∵ 原方程为$2x^2+3x=-1$,
∴ 两边同时除以2,得$x^2+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$,
∴ 一次项系数一半为$\frac{3}{4}$,其平方为$\frac{9}{16}$,
∴ 两边加$\frac{9}{16}$,得$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$,整理得$(x+\frac{3}{4})^2=\frac{1}{16}$.故选D.
∵ 原方程为$2x^2+3x=-1$,
∴ 两边同时除以2,得$x^2+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}$,
∴ 一次项系数一半为$\frac{3}{4}$,其平方为$\frac{9}{16}$,
∴ 两边加$\frac{9}{16}$,得$x^2+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$,整理得$(x+\frac{3}{4})^2=\frac{1}{16}$.故选D.
3. (2025·滨州中考)某市大力推进新能源汽车充电桩建设,助力绿色交通发展.截至2025年初,全市公共充电桩数量已从2023年初的10万个增长至16.9万个.设全市公共充电桩数量的年平均增长率为x,则可列方程为 (
A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
B
)A.$10(1+2x)=16.9$
B.$10(1+x)^2=16.9$
C.$10(1+x^2)=16.9$
D.$10(1+x)=16.9$
答案
B 解析:
∵ 初始数量为10万个,两年后数量为16.9万个,年平均增长率为x,
∴ 一年后数量为10(1+x),两年后数量为10(1+x)(1+x)=10(1+x)^2,
∴ 可列方程为$10(1+x)^2=16.9$,故选B.
∵ 初始数量为10万个,两年后数量为16.9万个,年平均增长率为x,
∴ 一年后数量为10(1+x),两年后数量为10(1+x)(1+x)=10(1+x)^2,
∴ 可列方程为$10(1+x)^2=16.9$,故选B.
4. (2026·邢台月考)若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 -2x + m^2 -1 =0$的常数项为0，则$m$的值为（
A.-1
B.1
C.0
D.1或-1
A
）A.-1
B.1
C.0
D.1或-1
答案
A 解析:
∵ 关于x的一元二次方程$(m-1)x^2-2x+m^2-1=0$的常数项为0,
∴ $m^2-1=0$,解得m=1或m=-1.又
∵ 方程$(m-1)x^2-2x+m^2-1=0$为一元二次方程,
∴ m-1≠0,即m≠1,
∴ m=-1.故选A.
∵ 关于x的一元二次方程$(m-1)x^2-2x+m^2-1=0$的常数项为0,
∴ $m^2-1=0$,解得m=1或m=-1.又
∵ 方程$(m-1)x^2-2x+m^2-1=0$为一元二次方程,
∴ m-1≠0,即m≠1,
∴ m=-1.故选A.
5. (2026·长春月考)若关于x的一元二次方程$ax^2+bx-8=0(a≠0)$有一个根为$x=2025$，则一元二次方程$a(x+3)^2+bx+3b=8(a≠0)$有一个根为 (
A.$x=2022$
B.$x=2023$
C.$x=2025$
D.$x=2028$
A
)A.$x=2022$
B.$x=2023$
C.$x=2025$
D.$x=2028$
答案
A 解析:方程$a(x+3)^2+bx+3b=8$可变形为$a(x+3)^2+bx+3b-8=0$.又
∵ $bx+3b=b(x+3)$,
∴ 方程化为$a(x+3)^2+b(x+3)-8=0$.设y=x+3,则方程化为$ay^2+by-8=0$.
∵ 方程$ax^2+bx-8=0$有一个根为x=2 025,
∴ 方程$ay^2+by-8=0$有一个根为y=2 025,即x+3=2 025,
∴ x=2 022.故选A.
∵ $bx+3b=b(x+3)$,
∴ 方程化为$a(x+3)^2+b(x+3)-8=0$.设y=x+3,则方程化为$ay^2+by-8=0$.
∵ 方程$ax^2+bx-8=0$有一个根为x=2 025,
∴ 方程$ay^2+by-8=0$有一个根为y=2 025,即x+3=2 025,
∴ x=2 022.故选A.
6. 已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边,且满足$a^2 - b^2 + ac - bc = 0$,则$△ ABC$的形状是 (
A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
C
)A.直角三角形
B.等边三角形
C.等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案
C 解析:$a^2-b^2+ac-bc=0$,$(a+b)(a-b)+c(a-b)=0$,$(a-b)(a+b+c)=0$.
∵ a,b,c是三角形的三边,
∴ a+b+c≠0,
∴ a-b=0,即a=b,
∴ $△ABC$的形状是等腰三角形.
∵ a,b,c是三角形的三边,
∴ a+b+c≠0,
∴ a-b=0,即a=b,
∴ $△ABC$的形状是等腰三角形.
7.(宜宾中考改编)若关于x的方程$x^2+(m+1)x+m^2=0$的两个实数根互为倒数，则m的值是（
A.-1
B.1或-1
C.1
D.2
C
）A.-1
B.1或-1
C.1
D.2
答案
C 解析:由题意可知,$Δ=(m+1)^2-4m^2=-3m^2+2m+1$,由题意可知$m^2=1$,
∴ m=±1.当m=1时,$Δ=-3+2+1=0$,当m=-1时,$Δ=-3-2+1=-4＜0$,不满足题意,故m=1.
∴ m=±1.当m=1时,$Δ=-3+2+1=0$,当m=-1时,$Δ=-3-2+1=-4＜0$,不满足题意,故m=1.
8. 已知$m,n,s,t$为互不相等的实数，且$(m+s)(m+t)=2$，$(n+s)(n+t)=2$，则$mn-st$的值为（
A.$-2$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
A
）A.$-2$
B.$0$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$
答案
A 解析:
∵ $(m+s)(m+t)=2$,$(n+s)(n+t)=2$,
∴ $m^2+m(s+t)+st-2=0$,$n^2+n(s+t)+st-2=0$.
∵ m,n,s,t为互不相等的实数,
∴ m和n可以看作方程$x^2+x(s+t)+st-2=0$的两个根,
∴ $mn=\frac{c}{a}=\frac{st-2}{1}=st-2$,
∴ $mn-st=st-2-st=-2$.
∵ $(m+s)(m+t)=2$,$(n+s)(n+t)=2$,
∴ $m^2+m(s+t)+st-2=0$,$n^2+n(s+t)+st-2=0$.
∵ m,n,s,t为互不相等的实数,
∴ m和n可以看作方程$x^2+x(s+t)+st-2=0$的两个根,
∴ $mn=\frac{c}{a}=\frac{st-2}{1}=st-2$,
∴ $mn-st=st-2-st=-2$.
9. 一元二次方程$(1+3x)(x-3)=2x^2+1$化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数为
-8
，常数项为-4
。答案
-8 -4 解析:$(1+3x)(x-3)=3x^2-8x-3=2x^2+1$,$x^2-8x-4=0$,
∴ 一次项系数为-8,常数项为-4.
∴ 一次项系数为-8,常数项为-4.
10. 现定义运算“★”，对于任意实数$a,b$都有
$a★b = a^2 - 3a + b$，如：$3★5 = 3^2 - 3×3 +5$.若$x★2=6$，则实数$x$的值是
$a★b = a^2 - 3a + b$，如：$3★5 = 3^2 - 3×3 +5$.若$x★2=6$，则实数$x$的值是
-1或4
.答案
-1或4 解析:由题意得$x★2=x^2-3x+2=6$,解得x=-1或x=4.
11. (2026·无锡月考)根据物理学定律,若把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地面的高度(单位:m)为$10x - 4.9x^2$.那么物体经过
$\frac{100}{49}$
s落回地面.答案
$\frac{100}{49}$ 解析:当$10x-4.9x^2=0$时,解得$x_1=\frac{100}{49}$,$x_2=0$(舍去),即物体经过$\frac{100}{49}$ s落回地面.
12.（荆州中考）关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2kx + k^2 - k = 0$的两个实数根分别是$x_1,x_2$，且$x_1^2 + x_2^2 = 4$，则$x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2$的值是
4
。答案
4 解析:
∵ $x^2-2kx+k^2-k=0$的两个实数根分别是$x_1,x_2$,
∴ $x_1+x_2=2k$,$x_1x_2=k^2-k$.
∵ $x_1^2+x_2^2=4$,
∴ $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4$,即$(2k)^2-2(k^2-k)=4$,$2k^2+2k-4=0$,$k^2+k-2=0$,解得k=-2或k=1.
∵ $Δ=(-2k)^2-4×1×(k^2-k)≥0$,
∴ k≥0,
∴ k=1,
∴ $x_1x_2=k^2-k=0$,
∴ $x_1^2-x_1x_2+x_2^2=4-0=4$.
∵ $x^2-2kx+k^2-k=0$的两个实数根分别是$x_1,x_2$,
∴ $x_1+x_2=2k$,$x_1x_2=k^2-k$.
∵ $x_1^2+x_2^2=4$,
∴ $(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4$,即$(2k)^2-2(k^2-k)=4$,$2k^2+2k-4=0$,$k^2+k-2=0$,解得k=-2或k=1.
∵ $Δ=(-2k)^2-4×1×(k^2-k)≥0$,
∴ k≥0,
∴ k=1,
∴ $x_1x_2=k^2-k=0$,
∴ $x_1^2-x_1x_2+x_2^2=4-0=4$.
13. 教材变式 用黑、白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知:在第n个图形中,黑棋子共有
(3n+6)
枚;在第24
个图形中,白棋子共有300枚.答案
(3n+6) 24 解析:在第n个图形中,黑棋子有(3n+6)枚,白棋子有$\frac{1}{2}n(n+1)$枚.由$\frac{1}{2}n(n+1)=300$,解得n=24或n=-25(负值舍去).
