5. (2024·济南中考)在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$C_1:y=x^2+bx+c$经过点$A(0,2)$,$B(2,2)$,顶点为$D$;抛物线$C_2:y=x^2-2mx+m^2-m+2(m≠1)$,顶点为$Q$.
(1)求抛物线$C_1$的解析式及顶点$D$的坐标;
(2)如图①,连接$AD$,点$E$是抛物线$C_1$对称轴右侧图象上一点,点$F$是抛物线$C_2$上一点,若四边形$ADFE$是面积为12的平行四边形,求$m$的值;
(3)如图②,连接$BD$,$DQ$,点$M$是抛物线$C_1$对称轴左侧图象上的动点(不与点$A$重合),过点$M$作$MN// DQ$交$x$轴于点$N$,连接$BN$,$DN$,求$△ BDN$面积的最小值.

5. (1)
∵ 抛物线y=x²+bx+c过点A(0,2),B(2,2),得$\begin{cases}c=2,\\4+2b+c=2,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-2,\\c=2,\end{cases}$
∴ 抛物线C₁的解析式为y=x²-2x+2,
∴ 顶点D(1,1).
(2)如图①,连接DE,过点E作EG//y轴,交AD的延长线于点G,过点D作DH⊥EG,垂足为H,与y轴交于H',设点E的横坐标为t.
设直线AD的解析式为y=kx+b',由题意知$\begin{cases}b'=2,\\k+b'=1,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b'=2,\end{cases}$
∴ 直线AD的解析式为y=-x+2,E(t,t²-2t+2),G(t,2-t),EG=t²-t.
∵ ▱ADFE的面积为12,
∴ S△ADE=$\frac{1}{2}$S▱ADFE=6,S△ADE=S△AGE-S△DGE=$\frac{1}{2}$EG·H'H-$\frac{1}{2}$EG·DH=$\frac{1}{2}$EG·H'D=6.
∵ H'D=1,
∴ EG=12,
∴ t²-t=12,解得t₁=4,t₂=-3(舍去),
∴ E(4,10).
∵ 点E先向右平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到点F,
∴ F(5,9),将F(5,9)代入y=x²-2mx+m²-m+2(m≠1),得m²-11m+18=0,解得m₁=2,m₂=9.
(3)如图②,过M作MP⊥x轴,垂足为P,过点D作DK//y轴,过点Q作QK//x轴,与DK交于点K,设M(h,h²-2h+2),h＜1且h≠0,N(n,0),
∵ y=x²-2mx+m²+2-m=(x-m)²+2-m,
∴ 抛物线C₂的顶点Q(m,2-m),
∴ DK=|1-(2-m)|=|m-1|,KQ=|m-1|,
∴ DK=KQ,∠DQK=45°.
∵ MN//DQ,KQ//NP,易得∠MNP=∠DQK=45°,
∴ ∠NMP=45°,
∴ MP=NP,
∴ n-h=h²-2h+2,
∴ n=h²-h+2,
∴ n=$(h-\frac{1}{2})²+\frac{7}{4}$,
∴ 当h=$\frac{1}{2}$时,n=$\frac{7}{4}$,
∴ 点N横坐标最小值为n=$\frac{7}{4}$,此时点N到直线BD距离最近,△BDN的面积最小,最近距离即边BD上的高,高为$\frac{7}{4}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$,
∴ △BDN面积的最小值为S△BDN=$\frac{1}{2}×\frac{7\sqrt{2}}{8}×\sqrt{2}$=$\frac{7}{8}$.

6. (2024·济宁中考)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象经过$(0,-3),(-b,c)$两点,其中$a,b,c$为常数,且$ab＞0$.
(1)求$a,c$的值.
(2)若该二次函数的最小值是$-4$,且它的图象与$x$轴交于点$A,B$(点$A$在点$B$的左侧),与$y$轴交于点$C$.
①求该二次函数的解析式,并直接写出点$A,B$的坐标.
②如图,在$y$轴左侧该二次函数的图象上有一动点$P$,过点$P$作$x$轴的垂线,垂足为$D$,与直线$AC$交于点$E$,连接$PC,CB,BE$.是否存在点$P$,使$\frac{S_{△ PCE}}{S_{△ CBE}}=\frac{3}{8}$?若存在,求此时点$P$的横坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

6. (1)
∵ y=ax²+bx+c的图象经过(0,-3),
∴ c=-3,
∴ (0,-3)和(-b,c)关于对称轴直线x=-$\frac{b}{2a}$对称,
∴ $\frac{0-b}{2}$=-$\frac{b}{2a}$.
∵ b≠0,
∴ a=1,
∴ a=1,c=-3.
(2)①
∵ a=1,c=-3,
∴ y=x²+bx-3.
∵ y最小值=$\frac{-12-b²}{4}$=-4,
∴ b=±2.
∵ ab＞0,且a＞0,
∴ b＞0,
∴ b=2,
∴ 该二次函数的解析式为y=x²+2x-3,当y=0时,x²+2x-3=0,解得x₁=-3,x₂=1,
∴ A(-3,0),B(1,0).
②设直线AC的解析式为y=k₁x+b₁,则$\begin{cases}-3k₁+b₁=0,\\b₁=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k₁=-1,\\b₁=-3,\end{cases}$
∴ 直线AC的解析式为y=-x-3,当点P在点A右侧时,作CF⊥PD于点F,如图①所示,
设P(m,m²+2m-3)(-3＜m＜0),则E(m,-m-3),D(m,0),则PE=(-m-3)-(m²+2m-3)=-m²-3m,CF=0-m=-m,
∴ S△PCE=$\frac{1}{2}$·PE·CF=$\frac{1}{2}$(-m²-3m)·(-m)=$\frac{1}{2}$m(m²+3m).
∵ AB=1-(-3)=4,OC=3,DE=-(-m-3)=m+3,
∴ S△CBE=S△ABC-S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·OC-$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×4×3-$\frac{1}{2}$×4×(m+3)=-2m.
∵ $\frac{S_{△PCE}}{S_{△CBE}}$=$\frac{3}{8}$,
∴ $\frac{\frac{1}{2}m(m²+3m)}{-2m}$=$\frac{3}{8}$,解得m₁=$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$,m₂=$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$,
∴ 点P横坐标为$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$;当点P在点A左侧时,作CF⊥PD交PD的延长线于点F,如图②所示,设P(m,m²+2m-3)(m＜-3),则E(m,-m-3),D(m,0),则PE=(m²+2m-3)-(-m-3)=m²+3m,CF=0-m=-m,
∴ S△PCE=$\frac{1}{2}$·PE·CF=$\frac{1}{2}$(m²+3m)·(-m)=-$\frac{1}{2}$m(m²+3m).
∵ AB=1-(-3)=4,OC=3,DE=-m-3,
∴ S△CBE=S△ABC+S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·OC+$\frac{1}{2}$AB·DE=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×4×(-m-3)=-2m.
∵ $\frac{S_{△PCE}}{S_{△CBE}}$=$\frac{3}{8}$,
∴ $\frac{-\frac{1}{2}m(m²+3m)}{-2m}$=$\frac{3}{8}$,解得m₁=$\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$,m₂=$\frac{-3+\sqrt{15}}{2}$(舍去),
∴ 点P横坐标为$\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$.综上所述,P点横坐标为$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{3}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{15}}{2}$.