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3. (2026·襄阳期末)在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=-x^2+bx+c$交$x$轴于$A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,交$y$轴于点$C$,抛物线的顶点为$T$,点$P$是抛物线上的一个动点,其横坐标为$t$.
(1)求$b$和$c$的值;
(2)如图,若点$P$在对称轴左侧,过点$P$作抛物线对称轴的垂线,垂足为$H$,用含$t$的代数式表示线段$PH$与$TH$的长度差,并求这个长度差的最大值;
(3)定义:对于抛物线上任意两点$M,N$,取抛物线弧$MN$上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”$L$,纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”$h$,记$k=L+2h$为抛物线弧$MN$的“形态系数”.
①若点$P$在对称轴右侧,求抛物线弧$CP$的“形态系数”$k$与$t$的函数解析式;
②过点$P$作$x$轴的平行线交抛物线于另一点$Q(P$在$Q$左侧$)$,若抛物线弧$CP$与抛物线弧$CQ$的“形态系数”之和为$\frac{11}{2}$时,直接写出$t$的值.
备用图
(1)求$b$和$c$的值;
(2)如图,若点$P$在对称轴左侧,过点$P$作抛物线对称轴的垂线,垂足为$H$,用含$t$的代数式表示线段$PH$与$TH$的长度差,并求这个长度差的最大值;
(3)定义:对于抛物线上任意两点$M,N$,取抛物线弧$MN$上所有点的横坐标最大值与最小值的差为“水平跨度”$L$,纵坐标最大值与最小值的差为“竖直高度”$h$,记$k=L+2h$为抛物线弧$MN$的“形态系数”.
①若点$P$在对称轴右侧,求抛物线弧$CP$的“形态系数”$k$与$t$的函数解析式;
②过点$P$作$x$轴的平行线交抛物线于另一点$Q(P$在$Q$左侧$)$,若抛物线弧$CP$与抛物线弧$CQ$的“形态系数”之和为$\frac{11}{2}$时,直接写出$t$的值.
备用图
答案
3. (1)
∵ 抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴ y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3,
∴ b=2,c=3.
(2)
∵ y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1,T(1,4),由题意,P(t,-t²+2t+3),t＜1,则H(1,-t²+2t+3),
∴ PH=1-t,TH=4-(-t²+2t+3)=t²-2t+1,
∴ PH-TH=1-t-t²+2t-1=-t²+t=-(t-$\frac{1}{2}$)²+$\frac{1}{4}$,
∴ 当t=$\frac{1}{2}$时,PH-TH的值最大为$\frac{1}{4}$.
(3)①
∵ y=-x²+2x+3,
∴ x=0时,y=3,
∴ C(0,3).
∵ 抛物线的对称轴为直线x=1,
∴ 点C关于对称轴的对称点为(2,3).
∵ 点P在对称轴右侧且P(t,-t²+2t+3),
∴ 当1＜t≤2时,L=t,h=4-3=1,则k=L+2h=t+2;当t＞2时,L=t,h=4-(-t²+2t+3)=t²-2t+1,则k=L+2h=t+2t²-4t+2=2t²-3t+2;
综上,k=$\begin{cases}t+2(1＜t≤2),\\2t²-3t+2(t＞2).\end{cases}$
②t=$\frac{1}{2}$或$\frac{5-\sqrt{31}}{4}$. 解析:
∵ 过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q(P在Q左侧),
∴ Q(2-t,-t²+2t+3),当0≤t＜1时,抛物线弧CP的“形态系数”k=t+2(-t²+2t+3-3)=-2t²+5t,抛物线弧CQ的“形态系数”k=2-t+2×(4-3)=2-t+2=4-t,
∴ -2t²+5t+4-t=$\frac{11}{2}$,解得t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$(舍去);当t＜0时,则抛物线弧CP的“形态系数”k=-t+2(3+t²-2t-3)=2t²-5t,抛物线弧CQ的“形态系数”k=2-t+2(4+t²-2t-3)=2t²-5t+4,
∴ 2t²-5t+2t²-5t+4=$\frac{11}{2}$,解得t=$\frac{5-\sqrt{31}}{4}$或t=$\frac{5+\sqrt{31}}{4}$(舍去);综上,t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{5-\sqrt{31}}{4}$.
∵ 抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点,
∴ y=-(x+1)(x-3)=-x²+2x+3,
∴ b=2,c=3.
(2)
∵ y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,
∴ 抛物线的对称轴为直线x=1,T(1,4),由题意,P(t,-t²+2t+3),t＜1,则H(1,-t²+2t+3),
∴ PH=1-t,TH=4-(-t²+2t+3)=t²-2t+1,
∴ PH-TH=1-t-t²+2t-1=-t²+t=-(t-$\frac{1}{2}$)²+$\frac{1}{4}$,
∴ 当t=$\frac{1}{2}$时,PH-TH的值最大为$\frac{1}{4}$.
(3)①
∵ y=-x²+2x+3,
∴ x=0时,y=3,
∴ C(0,3).
∵ 抛物线的对称轴为直线x=1,
∴ 点C关于对称轴的对称点为(2,3).
∵ 点P在对称轴右侧且P(t,-t²+2t+3),
∴ 当1＜t≤2时,L=t,h=4-3=1,则k=L+2h=t+2;当t＞2时,L=t,h=4-(-t²+2t+3)=t²-2t+1,则k=L+2h=t+2t²-4t+2=2t²-3t+2;
综上,k=$\begin{cases}t+2(1＜t≤2),\\2t²-3t+2(t＞2).\end{cases}$
②t=$\frac{1}{2}$或$\frac{5-\sqrt{31}}{4}$. 解析:
∵ 过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点Q(P在Q左侧),
∴ Q(2-t,-t²+2t+3),当0≤t＜1时,抛物线弧CP的“形态系数”k=t+2(-t²+2t+3-3)=-2t²+5t,抛物线弧CQ的“形态系数”k=2-t+2×(4-3)=2-t+2=4-t,
∴ -2t²+5t+4-t=$\frac{11}{2}$,解得t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{3}{2}$(舍去);当t＜0时,则抛物线弧CP的“形态系数”k=-t+2(3+t²-2t-3)=2t²-5t,抛物线弧CQ的“形态系数”k=2-t+2(4+t²-2t-3)=2t²-5t+4,
∴ 2t²-5t+2t²-5t+4=$\frac{11}{2}$,解得t=$\frac{5-\sqrt{31}}{4}$或t=$\frac{5+\sqrt{31}}{4}$(舍去);综上,t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{5-\sqrt{31}}{4}$.
4. (2025·宁夏中考节选)如图,抛物线$y=ax^2 -2x+3$与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B,顶点C的横坐标为-1.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,抛物线的对称轴交直线AB于点D,交x轴于点E,连接AC.抛物线上是否存在点P(不与点C重合),使得$S_{△ PAD}=S_{△ CAD}$.若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图,抛物线的对称轴交直线AB于点D,交x轴于点E,连接AC.抛物线上是否存在点P(不与点C重合),使得$S_{△ PAD}=S_{△ CAD}$.若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由.
答案
4. (1)
∵ 抛物线顶点横坐标为-1,
∴ 对称轴为直线x=-1,
∴ x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-2}{2a}$=-1,
∴ a=-1,
∴ 抛物线的解析式为y=-x²-2x+3.
(2)存在点P,横坐标为-2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.
解析:由(1)知抛物线解析式为y=-x²-2x+3,对称轴为直线x=-1,
∴ A(-3,0),B(0,3),
∴ 直线AB:y=x+3,当x=-1时,y=2,故D(-1,2).当x=-1时,y=-(-1)²-2×(-1)+3=4,故C(-1,4),
∴ S△CAD=$\frac{1}{2}$×CD×AE=$\frac{1}{2}$×(4-2)×[-1-(-3)]=2.设P(x,y)在抛物线y=-x²-2x+3上,如图,
情况1:过点C作AB的平行线,与抛物线交于点P,此时S△PAD=S△CAD=2.
∵ OA=OB,且PC//AB,故可设直线PC的解析式为y=x+t,将点C(-1,4)代入求得t=5,即直线PC的解析式为y=x+5,联立$\begin{cases}y=-x²-2x+3,\\y=x+5,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2,\\y=3\end{cases}$或$\begin{cases}x=-1,\\y=4,\end{cases}$
∴ 点P坐标为(-2,3).
情况2:过点E作AB的平行线,交抛物线于点P₁,P₂,
∵ CD=DE,
∴ 直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P₁P₂的距离,当y=x+t过点E时,代入(-1,0),
∴ 直线P₁P₂的解析式为y=x+1,联立$\begin{cases}y=-x²-2x+3,\\y=x+1,\end{cases}$整理得x²+3x-2=0,解得x=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$,即点P₁的横坐标是$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$,点P₂的横坐标是$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$.
综上所述,存在点P,横坐标为-2或$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$.
