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1. (2024·雅安中考)在平面直角坐标系中,二次函数$y=ax^2+bx+3$的图象与$x$轴交于$A(1,0),B(3,0)$两点,与$y$轴交于点$C$.
(1)求二次函数的解析式.
(2)如图①,若点$P$是线段$BC$上的一个动点(不与点$B,C$重合),过点$P$作$y$轴的平行线交抛物线于点$Q$,当线段$PQ$的长度最大时,求点$Q$的坐标.
(3)如图②,在(2)的条件下,过点$Q$的直线与抛物线交于点$D$,且$∠ CQD=2∠ OCQ$.在$y$轴上是否存在点$E$,使得$△ BDE$为等腰三角形?若存在,直接写出点$E$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求二次函数的解析式.
(2)如图①,若点$P$是线段$BC$上的一个动点(不与点$B,C$重合),过点$P$作$y$轴的平行线交抛物线于点$Q$,当线段$PQ$的长度最大时,求点$Q$的坐标.
(3)如图②,在(2)的条件下,过点$Q$的直线与抛物线交于点$D$,且$∠ CQD=2∠ OCQ$.在$y$轴上是否存在点$E$,使得$△ BDE$为等腰三角形?若存在,直接写出点$E$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)由题意得$y=a(x-1)(x-3)=a(x^2-4x+3)=ax^2+bx+3$,则$a=1$,则抛物线的解析式为$y=x^2-4x+3$.
(2)由抛物线的解析式知,点$C(0,3)$,由点$B,C$的坐标得,直线$CB$的解析式为$y=-x+3$,设点$Q(x,x^2-4x+3)$,则点$P(x,-x+3)$,则$PQ=-x+3-(x^2-4x+3)=-x^2+3x$,$\because -1＜0$,故$PQ$有最大值,此时$x=\dfrac{3}{2}$,则$y=x^2-4x+3=-\dfrac{3}{4}$,即点$Q(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{4})$.
(3)存在,点$E(0,8+\sqrt{43})$或$(0,8-\sqrt{43})$或$(0,5)$或$(0,\sqrt{59})$或$(0,-\sqrt{59})$. 解析:设直线$CQ$的解析式为$y=mx+n$,将点$C(0,3)$,$Q(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{4})$代入得$\begin{cases} -\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}m+n, \\ 3=n, \end{cases}$解得$\begin{cases} m=-\dfrac{5}{2}, \\ n=3, \end{cases}$
∴直线$CQ$的解析式为$y=-\dfrac{5}{2}x+3$,令$y=0$,$x=\dfrac{6}{5}$,故$M(\dfrac{6}{5},0)$,过点$Q$作$TQ// y$轴交$x$轴于点$T$,如图,则$∠ TQC=∠ QCO$,
$\because ∠ CQD=2∠ OCQ$,$∠ TQC=∠ QCO$,则$∠ CQT=∠ DQT$,即直线$CQ$和$DQ$关于直线$QT$对称,故$M'(\dfrac{9}{5},0)$,设直线$DQ$的解析式为$y=dx+c$,代入$Q(\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{4})$,$M'(\dfrac{9}{5},0)$,得$\begin{cases} -\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}d+c, \\ 0=\dfrac{9}{5}d+c, \end{cases}$解得$\begin{cases} d=\dfrac{5}{2}, \\ c=-\dfrac{9}{2}, \end{cases}$则直线$DQ$的解析式为$y=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{9}{2}$,联立式和抛物线的解析式得$x^2-4x+3=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{9}{2}$,解得$x=\dfrac{3}{2}$(舍去)或$x=5$,即点$D(5,8)$;设点$E(0,y)$,由$B,D,E$的坐标得,$BD^2=68$,$DE^2=25+(y-8)^2$,$BE^2=9+y^2$,当$DE=BD$时,则$68=25+(y-8)^2$,解得$y=8\pm\sqrt{43}$,即点$E(0,8+\sqrt{43})$或$E(0,8-\sqrt{43})$;当$DE=BE$或$BD=BE$时,同理可得$25+(y-8)^2=9+y^2$或$9+y^2=68$,解得$y=5$或$\pm\sqrt{59}$,即点$E(0,5)$或$(0,\sqrt{59})$或$(0,-\sqrt{59})$.综上,点$E(0,8+\sqrt{43})$或$(0,8-\sqrt{43})$或$(0,5)$或$(0,\sqrt{59})$或$(0,-\sqrt{59})$.
2. (2025·青海中考)在平面直角坐标系中，抛物线$y=ax^2+bx-3(a≠0)$与x轴交于A，B两点，点B的坐标为$(1,0)$，点C(2,5)在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式.
(2)①求点A的坐标；
②当$y＜0$时，根据图象直接写出x的取值范围
(3)连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使$△ ACP$是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)①求点A的坐标；
②当$y＜0$时，根据图象直接写出x的取值范围
-3＜x＜1
.(3)连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使$△ ACP$是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由.
答案
(1)将$B(1,0)$,$C(2,5)$代入$y=ax^2+bx-3(a≠0)$得,$\begin{cases} a+b-3=0, \\ 4a+2b-3=5, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=1, \\ b=2, \end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$.
(2)①令$y=0$,则$x^2+2x-3=0$,解得$x=-3$或$x=1$,
∴点$A$的坐标为$(-3,0)$.
②$-3＜x＜1$ 解析:根据图象可知,当$y＜0$时,$x$的取值范围为$-3＜x＜1$.
(3)存在,点$P$坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$ 解析:设点$P$的坐标为$(0,a)$,$\because A(-3,0)$,$C(2,5)$,$\therefore AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$,$AP^2=(0+3)^2+(a-0)^2=9+a^2$,$CP^2=(0-2)^2+(a-5)^2=a^2-10a+29$.$\because △ ACP$是以$AC$为直角边的直角三角形,$\therefore$ 分以下两种情况讨论:当$AP$为斜边时,则$AP^2=AC^2+CP^2$,$\therefore 9+a^2=50+a^2-10a+29$,解得$a=7$,$\therefore P_1(0,7)$;当$CP$为斜边时,则$CP^2=AC^2+AP^2$,$\therefore a^2-10a+29=50+9+a^2$,解得$a=-3$,$\therefore P_2(0,-3)$.
综上所述,存在符合条件的点$P$,坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$.
∴抛物线的解析式为$y=x^2+2x-3$.
(2)①令$y=0$,则$x^2+2x-3=0$,解得$x=-3$或$x=1$,
∴点$A$的坐标为$(-3,0)$.
②$-3＜x＜1$ 解析:根据图象可知,当$y＜0$时,$x$的取值范围为$-3＜x＜1$.
(3)存在,点$P$坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$ 解析:设点$P$的坐标为$(0,a)$,$\because A(-3,0)$,$C(2,5)$,$\therefore AC^2=(2+3)^2+(5-0)^2=50$,$AP^2=(0+3)^2+(a-0)^2=9+a^2$,$CP^2=(0-2)^2+(a-5)^2=a^2-10a+29$.$\because △ ACP$是以$AC$为直角边的直角三角形,$\therefore$ 分以下两种情况讨论:当$AP$为斜边时,则$AP^2=AC^2+CP^2$,$\therefore 9+a^2=50+a^2-10a+29$,解得$a=7$,$\therefore P_1(0,7)$;当$CP$为斜边时,则$CP^2=AC^2+AP^2$,$\therefore a^2-10a+29=50+9+a^2$,解得$a=-3$,$\therefore P_2(0,-3)$.
综上所述,存在符合条件的点$P$,坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$.
