1.下列式子为完全平方式的是 （）

A.$a^2 -2b +b^2$
B.$a^2 -ab +b^2$
C.$a^2 +2a +1$
D.$a^2 -2a +2$

1.C

【分析】
要判断一个式子是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：完全平方式共三项，包含两个同号的平方项，以及一个等于两平方项底数乘积2倍的中间项（符号可正可负），即形如$m^2\pm2mn+n^2$。解题时只需将每个选项对照这个特征逐一验证即可。
【解析】
首先明确完全平方式的结构：形如$m^2\pm2mn+n^2$的式子是完全平方式，需满足三个条件：①共三项；②有两个同号的平方项；③中间项是两平方项底数乘积的2倍。
对各选项逐一分析：
选项A：式子的平方项为$a^2$和$b^2$，对应的底数为a和b，中间项应为$\pm2ab$，但该式中间项是$-2b$，不符合要求，不是完全平方式。
选项B：式子的平方项为$a^2$和$b^2$，中间项应为$\pm2ab$，但该式中间项是$-ab$，不是两底数乘积的2倍，不符合要求，不是完全平方式。
选项C：式子$a^2+2a+1=a^2 + 2× a×1 +1^2$，完全符合完全平方式的结构特征，是完全平方式。
选项D：若$a^2$为第一个平方项，中间项$-2a=-2× a×1$，那么对应的第二个平方项应为$1^2=1$，但该式常数项为2，不符合要求，不是完全平方式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
完全平方式的识别
【点评】
本题考查完全平方式的判断，解题核心是熟练掌握完全平方式的结构特征，抓住“两平方项同号、中间项是两底数乘积的2倍”这一要点即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.(1)若$x^2 -4x +k$是完全平方式，则$k=$；
(2)若$x^2 +kx +9$是完全平方式，则$k=$。

(1)4 (2)$\pm6$

【分析】
解决本题的核心是牢记完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，对应$(a\pm b)^2$。解题时先确定二次三项式中对应$a$、$b$的项，再根据中间项或常数项的对应关系计算未知系数即可。
(1)第一问已知首项和中间项，先由首项确定$a$的取值，再结合中间项的系数求出$b$，最后常数项$k$就是$b^2$；
(2)第二问已知首项和常数项，先由首项、常数项确定$a$和$b$的可能取值，再结合中间项的表达式求出$k$，注意完全平方式有“和”“差”两种形式，$k$有两个结果，不要漏解。
【解析】
先回忆完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，完全平方式的三项分别为两个数的平方项，以及两数积的2倍项（符号可正可负）。
(1) 对于$x^2 -4x +k$：
首项$x^2=(x)^2$，即公式中的$a=x$；
中间项$-4x=-2× x×2$，对应公式中的$-2ab$，可得$b=2$；
因此常数项$k=b^2=2^2=4$。
(2) 对于$x^2 +kx +9$：
首项$x^2=(x)^2$，即$a=x$；
常数项$9=3^2$，即$b^2=9$，可得$b=\pm3$；
中间项$kx=\pm2× x×3=\pm6x$，对比系数得$k=\pm6$。
【答案】
(1)$4$；(2)$\pm6$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 完全平方式的结构
【点评】
本题是完全平方公式的基础应用题型，解题关键是准确识别完全平方式的三项对应关系，尤其要注意完全平方式包含和的平方、差的平方两种形式，求解一次项系数时不要漏了负号的情况。
【难度系数】
0.7

3.(2024·博兴期末)下列各式能用完全平方公式分解因式的是 ()

A.$x^2 + 2xy - y^2$
B.$x^2 - xy + 4y^2$
C.$x^2 - xy + \frac{y^2}{4}$
D.$x^2 -5xy +10y^2$

3.C

【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式可以分解为$(a\pm b)^2$，需满足三个条件：①是三项式；②有两个同号的平方项；③中间项是两个平方项底数乘积的2倍，符号可正可负。解题时对照这三个特征逐一验证每个选项即可。
【解析】
完全平方公式分解因式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一分析选项：
A选项：$x^2 + 2xy - y^2$中两个平方项$x^2$和$-y^2$符号相反，不符合特征，不能用完全平方公式分解因式；
B选项：$x^2 - xy + 4y^2$中两个平方项底数为$x$和$2y$，二者乘积的2倍为$4xy$，与中间项$-xy$不符，不能用完全平方公式分解因式；
C选项：$x^2 - xy + \frac{y^2}{4}$可变形为$x^2 - 2· x· \frac{y}{2} + (\frac{y}{2})^2$，符合完全平方公式结构，可分解为$(x-\frac{y}{2})^2$；
D选项：$x^2 -5xy +10y^2$中$10y^2$不是某个整式的平方，且中间项也不符合两底数乘积2倍的要求，不能用完全平方公式分解因式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式分解因式的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，对照特征逐项排查即可，属于因式分解模块的基础常规题型。
【难度系数】
0.7

4.把多项式$16x^2 -24x +9$分解因式得 （）

A.$(16x-3)^2$
B.$(4x-3)^2$
C.$(16x+3)(16x-3)$
D.$(4x+3)(4x-3)$

4.B

【分析】
要对三项式$16x^2 -24x +9$分解因式，首先观察多项式特征：①无公因式可提；②有两项分别是某个整式的平方，且符号相同，第三项是这两个整式乘积的2倍，符合完全平方公式的结构特征，因此优先考虑用完全平方公式分解。也可以通过将各选项展开后与原式对比的方法验证答案，同时注意平方差公式适用于两项式的因式分解，可直接排除对应选项。
【解析】
方法一：用完全平方公式分解
完全平方差公式为：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
观察原式：$16x^2=(4x)^2$，$9=3^2$，中间项$-24x=-2×4x×3$，即$a=4x$，$b=3$，代入公式得：
$16x^2 -24x +9=(4x-3)^2$
方法二：展开选项验证
A选项：$(16x-3)^2=256x^2-96x+9$，与原式不符，错误；
B选项：$(4x-3)^2=16x^2-24x+9$，与原式一致，正确；
C选项：$(16x+3)(16x-3)=256x^2-9$，为两项式，与原式不符，错误；
D选项：$(4x+3)(4x-3)=16x^2-9$，为两项式，与原式不符，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 整式乘法运算
【点评】
本题考查因式分解的方法应用，解题关键是熟记完全平方公式的结构特征，区分完全平方公式与平方差公式的适用条件，也可通过整式乘法反向验证因式分解的结果是否正确。
【难度系数】
0.8

5.(2024·南安期末)小明利用完全平方公式进行因式分解“$x^2$$+4y^2=(x+2y)^2$”时，墨迹将“$x^2$$+4y^2$”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（）

A.$+4xy$
B.$+2xy$
C.$-4xy$
D.$-2xy$

5.A

【分析】
这道题考查完全平方公式的应用，解题思路是利用完全平方和公式的展开形式，将等式右侧的$(x+2y)^2$展开，再和左侧已知的两项对比，即可确定被墨迹覆盖的项。首先回忆完全平方公式的结构：$(a±b)^2=a^2±2ab+b^2$，题目中分解后的结果是和的完全平方，因此对应展开后中间项为正的$2ab$项，代入对应$a$、$b$的值计算即可。
【解析】
解：根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
将等式右侧的$(x+2y)^2$展开：
$(x+2y)^2=x^2+2· x· 2y+(2y)^2=x^2+4xy+4y^2$，
对比等式左侧已知的$x^2$和$+4y^2$，可知被墨迹覆盖的项是$+4xy$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题属于基础题，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与掌握，解题的关键是熟练记忆完全平方公式展开后的各项形式，避免漏记系数出错。
【难度系数】
0.8

6.分解因式：
（1）(2024·常州)$x^2 -4xy +4y^2 =$；
（2）(2024·山阳期末)$y^2 + \frac{2}{3}y + \frac{1}{9} =$。

(1)$(x-2y)^2$ (2)$(y+\frac{1}{3})^2$

【分析】
本题考查用完全平方公式分解因式，解题思路如下：1. 先回忆完全平方公式的结构：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；2. 分别分析两个多项式的项，判断是否符合完全平方式的结构，找到对应公式中的$a$和$b$；3. 代入公式写出因式分解的结果，注意中间项的符号对应和或差。
【解析】
（1）观察多项式$x^2 -4xy +4y^2$：
首项$x^2$是$x$的平方，尾项$4y^2=(2y)^2$是$2y$的平方，中间项$-4xy=-2× x×2y$，符合完全平方差公式的结构，因此：
$x^2 -4xy +4y^2=(x-2y)^2$
（2）观察多项式$y^2 + \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$：
首项$y^2$是$y$的平方，尾项$\frac{1}{9}=(\frac{1}{3})^2$是$\frac{1}{3}$的平方，中间项$\frac{2}{3}y=2× y×\frac{1}{3}$，符合完全平方和公式的结构，因此：
$y^2 + \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}=(y+\frac{1}{3})^2$
【答案】
(1)$(x-2y)^2$ (2)$(y+\frac{1}{3})^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解
【点评】
这两道题是因式分解的基础题型，解题关键是熟记完全平方式的结构特征，准确识别公式中对应的两个项，注意根据中间项的符号确定最终结果是和的平方还是差的平方，避免符号错误。
【难度系数】
0.9

7.(教材P130例3变式)分解因式：
(1)$a^2 -14ab +49b^2$；
(2)$4x^2 -12xy +9y^2$；
(3)$\frac{m^2}{9} + \frac{2}{3}mn +n^2$；
(4)$p^2 +pq +\frac{1}{4}q^2$。

(1)原式=$(a-7b)^2$
(2)原式=$(2x-3y)^2$
(3)原式=$(\frac{m}{3}+n)^2$
(4)原式=$(p+\frac{1}{2}q)^2$

【分析】
这几道题均考查运用完全平方公式分解因式，完全平方公式的结构为：两个数的平方和加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。解题时先观察多项式是否为三项式，再找出两个同号的平方项，确定它们对应的底数，最后验证中间项是否为两个底数乘积的2倍，匹配对应符号后套用公式即可分解。
【解析】
(1) 观察多项式$a^2 -14ab +49b^2$：
平方项为$a^2$（底数是$a$）和$49b^2=(7b)^2$（底数是$7b$），中间项$-14ab=-2× a×7b$，符合完全平方差公式结构，
原式$=(a-7b)^2$。
(2) 观察多项式$4x^2 -12xy +9y^2$：
平方项为$4x^2=(2x)^2$（底数是$2x$）和$9y^2=(3y)^2$（底数是$3y$），中间项$-12xy=-2×2x×3y$，符合完全平方差公式结构，
原式$=(2x-3y)^2$。
(3) 观察多项式$\frac{m^2}{9} + \frac{2}{3}mn +n^2$：
平方项为$\frac{m^2}{9}=(\frac{m}{3})^2$（底数是$\frac{m}{3}$）和$n^2$（底数是$n$），中间项$\frac{2}{3}mn=2×\frac{m}{3}× n$，符合完全平方和公式结构，
原式$=(\frac{m}{3}+n)^2$。
(4) 观察多项式$p^2 +pq +\frac{1}{4}q^2$：
平方项为$p^2$（底数是$p$）和$\frac{1}{4}q^2=(\frac{1}{2}q)^2$（底数是$\frac{1}{2}q$），中间项$pq=2× p×\frac{1}{2}q$，符合完全平方和公式结构，
原式$=(p+\frac{1}{2}q)^2$。
【答案】
(1)$(a-7b)^2$；(2)$(2x-3y)^2$；(3)$(\frac{m}{3}+n)^2$；(4)$(p+\frac{1}{2}q)^2$
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别两个平方项对应的底数以及中间项的符号，就能快速完成因式分解，是因式分解模块的核心基础题。
【难度系数】
0.85

8.(教材 P130 例4变式)分解因式:
(1)(2024·晋江期末)$(a-b)^2 - 2(a - b)b + b^2$；
(2)$16 - 8(a - b) + (a - b)^2$；
(3)$-49x^2 -9y^2 -42xy$；
(4)$8ab - a^2 -16b^2$。

(1)原式=$(a-2b)^2$
(2)原式=$(4-a+b)^2$
(3)原式=$-(7x+3y)^2$
(4)原式=$-(a-4b)^2$

【分析】
这组因式分解题均考查完全平方公式的逆用，解题思路如下：首先牢记完全平方公式的因式分解形式：$m^2\pm2mn+n^2=(m\pm n)^2$，解题时先观察式子的项数和结构：①若有整体多项式作为“项”，可先将整体看作单个字母简化判断（如第(1)(2)题把$a-b$看作整体）；②若平方项符号为负，先提取负号，将括号内的式子调整为首项为正的三项式，再判断是否符合完全平方式的结构（两个平方项同号，中间项是两底数乘积的2倍），最后套用公式化简即可。
【解析】
(1) 将$(a-b)$看作整体，原式符合完全平方差公式的结构：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a-b)^2 - 2·(a-b)· b + b^2\\&=(a-b - b)^2\\&=(a-2b)^2\end{aligned}$
(2) 将$(a-b)$看作整体，原式符合完全平方差公式的结构：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4^2 - 2×4×(a-b) + (a-b)^2\\&=[4-(a-b)]^2\\&=(4-a+b)^2\end{aligned}$
(3) 先提取公因式$-1$，再套用完全平方和公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(49x^2 + 42xy + 9y^2)\\&=-[(7x)^2 + 2×7x×3y + (3y)^2]\\&=-(7x+3y)^2\end{aligned}$
(4) 先提取公因式$-1$，调整项的顺序后套用完全平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-(a^2 - 8ab + 16b^2)\\&=-[a^2 - 2× a×4b + (4b)^2]\\&=-(a-4b)^2\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a-2b)^2$；(2)$(4-a+b)^2$；(3)$-(7x+3y)^2$；(4)$-(a-4b)^2$
【知识点】
1.完全平方公式因式分解 2.整体代换思想 3.提公因式法
【点评】
本题是完全平方公式分解因式的典型基础题，需要熟练识别完全平方式“两平方项同号、中间项为两底数乘积的2倍”的结构特征，遇到整体多项式项时可通过换元思想简化判断，当平方项系数为负时要先提取负号再分解，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8