登录
11.(2024·桐柏月考)若$a,b,c$是三角形的三边长,则式子$c^2-(a-b)^2$的值 （
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不能确定
A
）A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不能确定
答案
11.A
解析
【分析】
首先观察式子$c^2-(a-b)^2$的结构，符合平方差的形式，解题思路分两步：第一步，利用平方差公式对该式子进行因式分解；第二步，结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断分解后两个因式的正负性，根据乘法符号规则即可得到原式的符号。
【解析】
先利用平方差公式分解因式：
$c^2-(a-b)^2=(c+a-b)[c-(a-b)]=(c+a-b)(c+b-a)$
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得：
$c+a＞b$，即$c+a-b＞0$；
$c+b＞a$，即$c+b-a＞0$。
两个正数的乘积为正数，因此$c^2-(a-b)^2＞0$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的基础综合题，解题的关键是先通过因式分解将原式转化为两个整式乘积的形式，再结合三角形三边关系判断因式的符号，进而确定原式的正负，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察式子$c^2-(a-b)^2$的结构，符合平方差的形式，解题思路分两步：第一步，利用平方差公式对该式子进行因式分解；第二步，结合三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，判断分解后两个因式的正负性，根据乘法符号规则即可得到原式的符号。
【解析】
先利用平方差公式分解因式：
$c^2-(a-b)^2=(c+a-b)[c-(a-b)]=(c+a-b)(c+b-a)$
因为$a,b,c$是三角形的三边长，根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，可得：
$c+a＞b$，即$c+a-b＞0$；
$c+b＞a$，即$c+b-a＞0$。
两个正数的乘积为正数，因此$c^2-(a-b)^2＞0$。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式分解因式；三角形三边关系
【点评】
本题是因式分解与三角形性质的基础综合题，解题的关键是先通过因式分解将原式转化为两个整式乘积的形式，再结合三角形三边关系判断因式的符号，进而确定原式的正负，考查对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
12.计算:$(1-\frac{1}{2^2})×(1-\frac{1}{3^2})×(1-\frac{1}{4^2})×(1-\frac{1}{5^2})×\dots×(1-\frac{1}{100^2})=$
$\frac{101}{200}$
.答案
12.$\frac{101}{200}$
解析
【分析】
观察算式中每个因式的结构，均为“1减去某数平方”的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，因此首先考虑利用平方差公式将每个因式拆分为两个分数的乘积，拆分后可发现相邻分数的分子分母能相互约分，通过约分简化计算即可得到结果，无需逐项相乘。
【解析】
利用平方差公式对每个因式分解：
$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$
则原式可变形为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{3}{2})×(\frac{2}{3}×\frac{4}{3})×(\frac{3}{4}×\frac{5}{4})×\dots×(\frac{99}{100}×\frac{101}{100})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{99}{100})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{101}{100})\\=&\frac{1}{100}×\frac{101}{2}\\=&\frac{101}{200}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{101}{200}$
【知识点】
平方差公式分解因式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题核心是灵活运用平方差公式对算式进行变形，解题关键是拆分后发现相邻项的约分规律，大幅简化计算过程，避免了逐项相乘的繁杂运算，锻炼了对公式的应用能力和规律观察能力。
【难度系数】
0.7
观察算式中每个因式的结构，均为“1减去某数平方”的形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的特征，因此首先考虑利用平方差公式将每个因式拆分为两个分数的乘积，拆分后可发现相邻分数的分子分母能相互约分，通过约分简化计算即可得到结果，无需逐项相乘。
【解析】
利用平方差公式对每个因式分解：
$1-\frac{1}{n^2}=(1-\frac{1}{n})(1+\frac{1}{n})$
则原式可变形为：
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2})×(1-\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3})×(1-\frac{1}{4})(1+\frac{1}{4})×\dots×(1-\frac{1}{100})(1+\frac{1}{100})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{3}{2})×(\frac{2}{3}×\frac{4}{3})×(\frac{3}{4}×\frac{5}{4})×\dots×(\frac{99}{100}×\frac{101}{100})\\=&(\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\dots×\frac{99}{100})×(\frac{3}{2}×\frac{4}{3}×\frac{5}{4}×\dots×\frac{101}{100})\\=&\frac{1}{100}×\frac{101}{2}\\=&\frac{101}{200}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{101}{200}$
【知识点】
平方差公式分解因式、分数约分、有理数乘法运算
【点评】
本题核心是灵活运用平方差公式对算式进行变形，解题关键是拆分后发现相邻项的约分规律，大幅简化计算过程，避免了逐项相乘的繁杂运算，锻炼了对公式的应用能力和规律观察能力。
【难度系数】
0.7
13.(教材P128例2变式)分解因式：
(1)$(x - 3y)^2 - 49y^2$；
(2)$16(a + b)^2 - (a - b)^2$；
(3)$-(a + 1)^2 + 9(a - 2)^2$。
(1)$(x - 3y)^2 - 49y^2$；
(2)$16(a + b)^2 - (a - b)^2$；
(3)$-(a + 1)^2 + 9(a - 2)^2$。
答案
13.(1)原式$=(x-3y)^2-(7y)^2=(x-3y+7y)(x-3y-7y)=(x+4y)(x-10y)$ (2)原式$=[4(a+b)+(a-b)][4(a+b)-(a-b)]=(5a+3b)(3a+5b)$ (3)原式$=9(a-2)^2-(a+1)^2=[3(a-2)-(a+1)][3(a-2)+(a+1)]=(3a-6-a-1)(3a-6+a+1)=(2a-7)(4a-5)$
解析
【分析】
这三道题均符合平方差公式分解因式的结构特征，解题思路如下：①先将原式变形为“两个式子的平方相减”的形式，对应平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，确定每个式子中对应的$a$和$b$；②套用平方差公式写成两个整式乘积的形式；③对每个因式内部的同类项进行合并，检查分解是否彻底即可。
【解析】
(1) 先将$49y^2$改写为$(7y)^2$，原式符合平方差结构：
原式$=(x-3y)^2-(7y)^2$
$=(x-3y+7y)(x-3y-7y)$
$=(x+4y)(x-10y)$
(2) 先将$16(a+b)^2$改写为$[4(a+b)]^2$，原式为两个平方项的差：
原式$=[4(a+b)]^2-(a-b)^2$
$=[4(a+b)+(a-b)][4(a+b)-(a-b)]$
$=(4a+4b+a-b)(4a+4b-a+b)$
$=(5a+3b)(3a+5b)$
(3) 先调整顺序把原式变为平方差的标准形式，$9(a-2)^2$改写为$[3(a-2)]^2$：
原式$=9(a-2)^2-(a+1)^2$
$=[3(a-2)]^2-(a+1)^2$
$=[3(a-2)+(a+1)][3(a-2)-(a+1)]$
$=(3a-6+a+1)(3a-6-a-1)$
$=(2a-7)(4a-5)$
【答案】
(1) $(x+4y)(x-10y)$；(2) $(5a+3b)(3a+5b)$；(3) $(2a-7)(4a-5)$
【知识点】
平方差公式因式分解、整式加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，正确确定公式中对应的两个整式，分解完成后要注意合并同类项，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
这三道题均符合平方差公式分解因式的结构特征，解题思路如下：①先将原式变形为“两个式子的平方相减”的形式，对应平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，确定每个式子中对应的$a$和$b$；②套用平方差公式写成两个整式乘积的形式；③对每个因式内部的同类项进行合并，检查分解是否彻底即可。
【解析】
(1) 先将$49y^2$改写为$(7y)^2$，原式符合平方差结构：
原式$=(x-3y)^2-(7y)^2$
$=(x-3y+7y)(x-3y-7y)$
$=(x+4y)(x-10y)$
(2) 先将$16(a+b)^2$改写为$[4(a+b)]^2$，原式为两个平方项的差：
原式$=[4(a+b)]^2-(a-b)^2$
$=[4(a+b)+(a-b)][4(a+b)-(a-b)]$
$=(4a+4b+a-b)(4a+4b-a+b)$
$=(5a+3b)(3a+5b)$
(3) 先调整顺序把原式变为平方差的标准形式，$9(a-2)^2$改写为$[3(a-2)]^2$：
原式$=9(a-2)^2-(a+1)^2$
$=[3(a-2)]^2-(a+1)^2$
$=[3(a-2)+(a+1)][3(a-2)-(a+1)]$
$=(3a-6+a+1)(3a-6-a-1)$
$=(2a-7)(4a-5)$
【答案】
(1) $(x+4y)(x-10y)$；(2) $(5a+3b)(3a+5b)$；(3) $(2a-7)(4a-5)$
【知识点】
平方差公式因式分解、整式加减运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，正确确定公式中对应的两个整式，分解完成后要注意合并同类项，保证因式分解彻底。
【难度系数】
0.8
14.已知$|m+3n-3|+(3m+n+2)^2=0$，求多项式$4(m+n)^2-(m-n)^2$的值.
答案
14.$4(m+n)^2-(m-n)^2=[2(m+n)+(m-n)][2(m+n)-(m-n)]=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n).\because |m+3n-3|+(3m+n+2)^2=0,|m+3n-3|≥0,(3m+n+2)^2≥0,\therefore m+3n-3=0,3m+n+2=0,\therefore m+3n=3,3m+n=-2,\therefore 原式=-2×3=-6$
解析
【分析】
解题时可按两步思考：第一步，分析已知条件，绝对值和偶次平方都是非负数，两个非负数相加等于0，说明每个非负数的值都为0，可直接得出$m+3n$和$3m+n$的取值；第二步，观察待求多项式的结构，是两个平方的差，符合平方差公式的形式，先利用平方差公式分解因式，会发现分解后的式子刚好是前面得到的两个代数式的乘积，整体代入即可求值，无需单独求解$m$、$n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
首先对多项式$4(m+n)^2-(m-n)^2$利用平方差公式分解因式：
$4(m+n)^2-(m-n)^2=[2(m+n)+(m-n)][2(m+n)-(m-n)]$
展开括号合并同类项得：
原式$=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)$
再根据非负数的性质分析已知条件：
$\because |m+3n-3|≥0$，$(3m+n+2)^2≥0$，且二者相加等于0
$\therefore m+3n-3=0$，$3m+n+2=0$
整理得：$m+3n=3$，$3m+n=-2$
将上述结果代入分解后的式子计算：
原式$=(-2)×3=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 平方差公式分解因式
3. 代数式求值
【点评】
本题将非负数性质与因式分解的应用相结合，解题时优先对多项式因式分解再整体代入求值，可避免解方程组的繁琐步骤，考查对公式的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
解题时可按两步思考：第一步，分析已知条件，绝对值和偶次平方都是非负数，两个非负数相加等于0，说明每个非负数的值都为0，可直接得出$m+3n$和$3m+n$的取值；第二步，观察待求多项式的结构，是两个平方的差，符合平方差公式的形式，先利用平方差公式分解因式，会发现分解后的式子刚好是前面得到的两个代数式的乘积，整体代入即可求值，无需单独求解$m$、$n$的具体值，简化计算过程。
【解析】
首先对多项式$4(m+n)^2-(m-n)^2$利用平方差公式分解因式：
$4(m+n)^2-(m-n)^2=[2(m+n)+(m-n)][2(m+n)-(m-n)]$
展开括号合并同类项得：
原式$=(2m+2n+m-n)(2m+2n-m+n)=(3m+n)(m+3n)$
再根据非负数的性质分析已知条件：
$\because |m+3n-3|≥0$，$(3m+n+2)^2≥0$，且二者相加等于0
$\therefore m+3n-3=0$，$3m+n+2=0$
整理得：$m+3n=3$，$3m+n=-2$
将上述结果代入分解后的式子计算：
原式$=(-2)×3=-6$
【答案】
$-6$
【知识点】
1. 非负数的性质
2. 平方差公式分解因式
3. 代数式求值
【点评】
本题将非负数性质与因式分解的应用相结合，解题时优先对多项式因式分解再整体代入求值，可避免解方程组的繁琐步骤，考查对公式的灵活运用能力和整体代入的数学思想。
【难度系数】
0.7
15.若n为正整数，则$(2n+1)^2 - 1$能否被8整除？请说明理由.
答案
15.$(2n+1)^2-1$能被8整除,理由:$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=4n(n+1),\because n$为正整数,$\therefore (n+1)$为相邻整数,必有一个是2的倍数,$\therefore 4n(n+1)$能被8整除,故$(2n+1)^2-1$能被8整除
解析
【分析】
要判断代数式能否被8整除，本质是判断该式化简后是否含有因数8。解题时先对$(2n+1)^2 -1$进行化简，可利用完全平方公式展开后合并同类项，再提取公因式因式分解，之后结合n为正整数的条件，分析因式中是否隐含因数2，最终判断整个式子是否为8的倍数。
【解析】
解：$(2n+1)^2 -1$能被8整除，理由如下：
对原式展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 -1&=4n^2+4n+1-1\\&=4n^2+4n\\&=4n(n+1)\end{aligned}$
∵n为正整数，
∴n和n+1是相邻正整数，相邻正整数中必有一个是2的倍数（偶数），因此$n(n+1)$能被2整除。
则$4n(n+1)$能被$4×2=8$整除，因此$(2n+1)^2 -1$能被8整除。
【答案】
$(2n+1)^2 - 1$能被8整除，理由：$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=4n(n+1)$，
∵n为正整数，
∴n与n+1为相邻整数，必有一个是2的倍数，
∴$4n(n+1)$能被8整除，故$(2n+1)^2-1$能被8整除。
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整数整除性
【点评】
本题考查代数式化简与整除性质的结合应用，解题核心是将原式变形为乘积形式，再利用相邻整数一奇一偶的性质判断因数，能有效锻炼学生将代数知识应用到数论问题中的能力。
【难度系数】
0.7
要判断代数式能否被8整除，本质是判断该式化简后是否含有因数8。解题时先对$(2n+1)^2 -1$进行化简，可利用完全平方公式展开后合并同类项，再提取公因式因式分解，之后结合n为正整数的条件，分析因式中是否隐含因数2，最终判断整个式子是否为8的倍数。
【解析】
解：$(2n+1)^2 -1$能被8整除，理由如下：
对原式展开化简：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 -1&=4n^2+4n+1-1\\&=4n^2+4n\\&=4n(n+1)\end{aligned}$
∵n为正整数，
∴n和n+1是相邻正整数，相邻正整数中必有一个是2的倍数（偶数），因此$n(n+1)$能被2整除。
则$4n(n+1)$能被$4×2=8$整除，因此$(2n+1)^2 -1$能被8整除。
【答案】
$(2n+1)^2 - 1$能被8整除，理由：$(2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=4n(n+1)$，
∵n为正整数，
∴n与n+1为相邻整数，必有一个是2的倍数，
∴$4n(n+1)$能被8整除，故$(2n+1)^2-1$能被8整除。
【知识点】
完全平方公式，因式分解，整数整除性
【点评】
本题考查代数式化简与整除性质的结合应用，解题核心是将原式变形为乘积形式，再利用相邻整数一奇一偶的性质判断因数，能有效锻炼学生将代数知识应用到数论问题中的能力。
【难度系数】
0.7
16.(实践与探究)如图①,边长为$a$的大正方形有一个边长为$b$的小正方形,把图①中的阴影部分拼成一个长方形(如图②所示).
(1)上述操作能验证的等式是
A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C.$a^2 + ab = a(a + b)$
(2)请应用(1)中的公式完成下列各题:
①已知$4a^2 - b^2 = 24$,$2a + b = 6$,则$2a - b =$
②计算:$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$.
(1)上述操作能验证的等式是
A
;(请选择正确的一个)A.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
B.$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
C.$a^2 + ab = a(a + b)$
(2)请应用(1)中的公式完成下列各题:
①已知$4a^2 - b^2 = 24$,$2a + b = 6$,则$2a - b =$
4
;②计算:$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + \dots + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$.
答案
16.(1)A (2)①4 ②$\because 100^2-99^2=(100+99)(100-99)=100+99,98^2-97^2=(98+97)(98-97)=98+97,\dots,2^2-1^2=(2+1)(2-1)=2+1,\therefore 原式=100+99+98+97+\dots+4+3+2+1=5050$
解析
【分析】
(1) 解题时先分别计算两个图形阴影部分的面积：图①阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，图②阴影是长方形，长为$a+b$、宽为$a-b$，根据阴影面积不变即可得到对应的等式，选出正确选项。
(2) ①先将$4a^2 - b^2$逆用平方差公式分解为$(2a+b)(2a-b)$，再代入已知条件$2a+b=6$即可求出$2a - b$的值。
②观察式子特征，每相邻两个平方的差可利用平方差公式分解，化简后得到从1到100的连续整数之和，用等差数列求和公式计算即可。
【解析】
(1) 计算图①阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$；
图②中长方形的长为$a+b$，宽为$a - b$，面积为$S_2=(a+b)(a-b)$；
因为拼接前后阴影部分面积相等，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选A。
(2) ①逆用平方差公式得：$4a^2 - b^2=(2a+b)(2a - b)$，
已知$4a^2 - b^2=24$，$2a + b=6$，代入得$6×(2a - b)=24$，
解得$2a - b=24÷6=4$。
②利用平方差公式逐项分解：
$\begin{aligned}原式&=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)\\&=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+\dots+(2+1)(2-1)\\&=100+99+98+97+\dots+2+1\\&=\frac{(1+100)×100}{2}\\&=5050\end{aligned}$
【答案】
(1)A (2)①4 ②5050
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，有理数简便运算
【点评】
本题通过几何图形面积推导平方差公式，再延伸到公式的实际应用，既考查了对平方差公式几何意义的理解，也考查了逆用公式进行简便计算的能力，题型设计兼顾基础与能力提升。
【难度系数】
0.7
(1) 解题时先分别计算两个图形阴影部分的面积：图①阴影面积为大正方形面积减去小正方形面积，图②阴影是长方形，长为$a+b$、宽为$a-b$，根据阴影面积不变即可得到对应的等式，选出正确选项。
(2) ①先将$4a^2 - b^2$逆用平方差公式分解为$(2a+b)(2a-b)$，再代入已知条件$2a+b=6$即可求出$2a - b$的值。
②观察式子特征，每相邻两个平方的差可利用平方差公式分解，化简后得到从1到100的连续整数之和，用等差数列求和公式计算即可。
【解析】
(1) 计算图①阴影部分面积：$S_1 = a^2 - b^2$；
图②中长方形的长为$a+b$，宽为$a - b$，面积为$S_2=(a+b)(a-b)$；
因为拼接前后阴影部分面积相等，所以$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，故选A。
(2) ①逆用平方差公式得：$4a^2 - b^2=(2a+b)(2a - b)$，
已知$4a^2 - b^2=24$，$2a + b=6$，代入得$6×(2a - b)=24$，
解得$2a - b=24÷6=4$。
②利用平方差公式逐项分解：
$\begin{aligned}原式&=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+\dots+(2^2 - 1^2)\\&=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+\dots+(2+1)(2-1)\\&=100+99+98+97+\dots+2+1\\&=\frac{(1+100)×100}{2}\\&=5050\end{aligned}$
【答案】
(1)A (2)①4 ②5050
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，有理数简便运算
【点评】
本题通过几何图形面积推导平方差公式，再延伸到公式的实际应用，既考查了对平方差公式几何意义的理解，也考查了逆用公式进行简便计算的能力，题型设计兼顾基础与能力提升。
【难度系数】
0.7
