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9.(教材P132习题T8变式)已知多项式$x^2 + ax +16$是完全平方式，则a的值为（
A.4
B.8
C.−8
D.$\pm8$
D
）A.4
B.8
C.−8
D.$\pm8$
答案
9.D
解析
【分析】
我们要根据完全平方式的结构特征来解题。首先回忆完全平方公式有两种形式：两数和的平方$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，两数差的平方$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，即完全平方式的结构为“首平方、尾平方，首尾2倍在中央，符号看前方”。本题中多项式$x^2+ax+16$是完全平方式，先确定首尾两项：首项是$x^2$对应$m^2$，即$m=x$；尾项是16对应$n^2$，可得$n=\pm4$，中间项$ax$对应$\pm2mn$，代入计算就能求出$a$的值，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
解：因为多项式$x^2 + ax +16$是完全平方式，符合完全平方公式的结构。
其中首平方项为$x^2=(x)^2$，尾平方项为$16=(\pm4)^2$，
根据完全平方公式可得：
$x^2+ax+16=(x\pm4)^2$
将右边展开：$(x+4)^2=x^2+8x+16$，$(x-4)^2=x^2-8x+16$
对比左右两边一次项的系数，可得$a=8$或$a=-8$，即$a=\pm8$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.完全平方式的特征
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种结构，避免只考虑和的情况忽略差的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
我们要根据完全平方式的结构特征来解题。首先回忆完全平方公式有两种形式：两数和的平方$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，两数差的平方$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，即完全平方式的结构为“首平方、尾平方，首尾2倍在中央，符号看前方”。本题中多项式$x^2+ax+16$是完全平方式，先确定首尾两项：首项是$x^2$对应$m^2$，即$m=x$；尾项是16对应$n^2$，可得$n=\pm4$，中间项$ax$对应$\pm2mn$，代入计算就能求出$a$的值，注意不要漏掉负号的情况。
【解析】
解：因为多项式$x^2 + ax +16$是完全平方式，符合完全平方公式的结构。
其中首平方项为$x^2=(x)^2$，尾平方项为$16=(\pm4)^2$，
根据完全平方公式可得：
$x^2+ax+16=(x\pm4)^2$
将右边展开：$(x+4)^2=x^2+8x+16$，$(x-4)^2=x^2-8x+16$
对比左右两边一次项的系数，可得$a=8$或$a=-8$，即$a=\pm8$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.完全平方公式 2.完全平方式的特征
【点评】
本题考查完全平方式的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的两种结构，避免只考虑和的情况忽略差的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.7
10.在多项式$x^2+\frac{1}{4}$上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（
A.$x$
B.$-x$
C.$x^4$
D.$-x^4$
D
）A.$x$
B.$-x$
C.$x^4$
D.$-x^4$
答案
10.D
解析
【分析】
解题首先要明确完全平方公式的结构特征：两个数的平方和加上或减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数和或差的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。我们可以将原多项式$x^2+\frac{1}{4}$的两项分别对应完全平方公式中的平方项，或者将其中一项作为中间项，逐个验证每个选项添加后是否符合完全平方公式的结构，最终找出不符合要求的选项。
【解析】
完全平方公式的形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，我们逐个分析选项：
1. 选项A：添加$x$后，多项式为$x^2+x+\frac{1}{4}$，可变形为$x^2+2· x· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x+\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，可因式分解，不符合题意；
2. 选项B：添加$-x$后，多项式为$x^2-x+\frac{1}{4}$，可变形为$x^2-2· x· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，可因式分解，不符合题意；
3. 选项C：添加$x^4$后，多项式为$x^4+x^2+\frac{1}{4}$，可变形为$(x^2)^2+2· x^2· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x^2+\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，可因式分解，不符合题意；
4. 选项D：添加$-x^4$后，多项式为$-x^4+x^2+\frac{1}{4}$，整理得$-(x^4-x^2-\frac{1}{4})$，括号内的式子常数项为负，不符合完全平方公式中平方项非负的结构特征，无法用完全平方公式因式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的理解与运用，做题时需注意完全平方公式包含和、差两种形式，同时要考虑原有两项可作为高次项的中间项的情况，通过逐个验证选项即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确完全平方公式的结构特征：两个数的平方和加上或减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数和或差的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。我们可以将原多项式$x^2+\frac{1}{4}$的两项分别对应完全平方公式中的平方项，或者将其中一项作为中间项，逐个验证每个选项添加后是否符合完全平方公式的结构，最终找出不符合要求的选项。
【解析】
完全平方公式的形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，我们逐个分析选项：
1. 选项A：添加$x$后，多项式为$x^2+x+\frac{1}{4}$，可变形为$x^2+2· x· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x+\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，可因式分解，不符合题意；
2. 选项B：添加$-x$后，多项式为$x^2-x+\frac{1}{4}$，可变形为$x^2-2· x· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x-\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，可因式分解，不符合题意；
3. 选项C：添加$x^4$后，多项式为$x^4+x^2+\frac{1}{4}$，可变形为$(x^2)^2+2· x^2· \frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2=(x^2+\frac{1}{2})^2$，符合完全平方公式，可因式分解，不符合题意；
4. 选项D：添加$-x^4$后，多项式为$-x^4+x^2+\frac{1}{4}$，整理得$-(x^4-x^2-\frac{1}{4})$，括号内的式子常数项为负，不符合完全平方公式中平方项非负的结构特征，无法用完全平方公式因式分解，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的理解与运用，做题时需注意完全平方公式包含和、差两种形式，同时要考虑原有两项可作为高次项的中间项的情况，通过逐个验证选项即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
11.填空：
(1)$(\_\_\_\_\_\_ + y)^2 = 49x^2 + \_\_\_\_\_\_ + y^2$；
(2)$9x^2 - \_\_\_\_\_\_ + 4y^2 = (3x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$(x - \_\_\_\_\_\_)^2 = x^2 -8x + \_\_\_\_\_\_$。
(1)$(\_\_\_\_\_\_ + y)^2 = 49x^2 + \_\_\_\_\_\_ + y^2$；
(2)$9x^2 - \_\_\_\_\_\_ + 4y^2 = (3x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(3)$(x - \_\_\_\_\_\_)^2 = x^2 -8x + \_\_\_\_\_\_$。
答案
(1)$7x$，$14xy$
(2)$12xy$，$2y$
(3)$4$，$16$
(2)$12xy$，$2y$
(3)$4$，$16$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，口诀为“首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号与左边一致”。解题时先对比已知项找到公式中对应的$a$和$b$，再计算剩余未知项即可：
1. 第(1)问：等式右侧首项为$49x^2$，可变形为$(7x)^2$，对应公式里的$a^2$，即可得到左侧括号内的第一项，再代入公式计算中间项；
2. 第(2)问：等式左侧首项$9x^2=(3x)^2$、尾项$4y^2=(2y)^2$，分别对应公式的$a^2$和$b^2$，先确定右侧括号内的第二项，再计算中间缺失的项；
3. 第(3)问：等式右侧中间项为$-8x$，对应公式里的$-2ab$，已知$a=x$，即可求出$b$，再计算尾项$b^2$。
【解析】
根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，逐题计算：
(1) 因为$49x^2=(7x)^2$，所以左侧括号内第一个数为$7x$，中间项为$2×7x× y=14xy$；
(2) 因为$4y^2=(2y)^2$，所以右侧括号内的第二项为$2y$，中间缺失的项为$2×3x×2y=12xy$；
(3) 因为中间项$-8x=-2× x×4$，所以左侧括号内的数为$4$，右侧常数项为$4^2=16$。
【答案】
(1)$7x$，$14xy$
(2)$12xy$，$2y$
(3)$4$，$16$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础公式应用题，重点考查对完全平方公式结构的熟悉度，解题时要注意区分和与差的完全平方公式中中间项的符号，熟练掌握公式特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，口诀为“首平方，尾平方，首尾两倍放中央，符号与左边一致”。解题时先对比已知项找到公式中对应的$a$和$b$，再计算剩余未知项即可：
1. 第(1)问：等式右侧首项为$49x^2$，可变形为$(7x)^2$，对应公式里的$a^2$，即可得到左侧括号内的第一项，再代入公式计算中间项；
2. 第(2)问：等式左侧首项$9x^2=(3x)^2$、尾项$4y^2=(2y)^2$，分别对应公式的$a^2$和$b^2$，先确定右侧括号内的第二项，再计算中间缺失的项；
3. 第(3)问：等式右侧中间项为$-8x$，对应公式里的$-2ab$，已知$a=x$，即可求出$b$，再计算尾项$b^2$。
【解析】
根据完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，逐题计算：
(1) 因为$49x^2=(7x)^2$，所以左侧括号内第一个数为$7x$，中间项为$2×7x× y=14xy$；
(2) 因为$4y^2=(2y)^2$，所以右侧括号内的第二项为$2y$，中间缺失的项为$2×3x×2y=12xy$；
(3) 因为中间项$-8x=-2× x×4$，所以左侧括号内的数为$4$，右侧常数项为$4^2=16$。
【答案】
(1)$7x$，$14xy$
(2)$12xy$，$2y$
(3)$4$，$16$
【知识点】
完全平方公式；公式法因式分解
【点评】
本题属于基础公式应用题，重点考查对完全平方公式结构的熟悉度，解题时要注意区分和与差的完全平方公式中中间项的符号，熟练掌握公式特征即可快速求解。
【难度系数】
0.8
12.(2024·鞍山开学)已知$4a=7-b$，则代数式$16a^2+8ab+b^2$的值为
49
。答案
12.49
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构特征，发现其符合完全平方和公式的展开形式，因此第一步先利用完全平方公式对代数式进行因式分解；再对已知条件进行移项变形，得到分解后代数式所需的整体值，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：首先对代数式$16a^2+8ab+b^2$因式分解：
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，可得：
$16a^2+8ab+b^2=(4a)^2+2·4a· b + b^2=(4a+b)^2$
由已知$4a=7-b$，移项得$4a + b =7$
将$4a+b=7$代入$(4a+b)^2$得：
$(4a+b)^2=7^2=49$
【答案】
49
【知识点】
完全平方公式因式分解、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的前提，运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，避免无意义的单独求变量值的运算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构特征，发现其符合完全平方和公式的展开形式，因此第一步先利用完全平方公式对代数式进行因式分解；再对已知条件进行移项变形，得到分解后代数式所需的整体值，最后整体代入计算即可得到结果，无需单独求解a、b的具体数值。
【解析】
解：首先对代数式$16a^2+8ab+b^2$因式分解：
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，可得：
$16a^2+8ab+b^2=(4a)^2+2·4a· b + b^2=(4a+b)^2$
由已知$4a=7-b$，移项得$4a + b =7$
将$4a+b=7$代入$(4a+b)^2$得：
$(4a+b)^2=7^2=49$
【答案】
49
【知识点】
完全平方公式因式分解、整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的前提，运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，避免无意义的单独求变量值的运算。
【难度系数】
0.8
13. 情境题 现实生活 如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片1张，长、宽分别为a，b的长方形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张，用这16张卡片拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为
$a+3b$
。答案
13.$a+3b$
解析
【分析】
要确定拼成的大正方形的边长，首先抓住拼图前后总面积不变的核心规律，先计算所有卡片的总面积，再将总面积对应的多项式因式分解为完全平方的形式，其算术平方根就是大正方形的边长。第一步先分别计算三类卡片的面积，求和得到大正方形的面积；第二步利用完全平方公式对总面积对应的多项式因式分解，结合边长为正数的特点，即可得到大正方形的边长。
【解析】
解：所有卡片的总面积等于拼成的大正方形的面积：
1张边长为$a$的正方形面积为$a^2$，
6张长为$a$、宽为$b$的长方形总面积为$6ab$，
9张边长为$b$的正方形总面积为$9b^2$，
因此总面积$S=a^2+6ab+9b^2$。
根据完全平方公式因式分解：
$a^2+6ab+9b^2=a^2+2· a·3b+(3b)^2=(a+3b)^2$，
由于正方形边长为正数，因此大正方形的边长为$a+3b$。
【答案】
$a+3b$
【知识点】
完全平方公式因式分解；正方形面积计算；长方形面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，将代数因式分解和几何拼图面积规律结合，考查对完全平方公式的理解和应用能力，解题的关键是明确拼图前后总面积不变。
【难度系数】
0.8
要确定拼成的大正方形的边长，首先抓住拼图前后总面积不变的核心规律，先计算所有卡片的总面积，再将总面积对应的多项式因式分解为完全平方的形式，其算术平方根就是大正方形的边长。第一步先分别计算三类卡片的面积，求和得到大正方形的面积；第二步利用完全平方公式对总面积对应的多项式因式分解，结合边长为正数的特点，即可得到大正方形的边长。
【解析】
解：所有卡片的总面积等于拼成的大正方形的面积：
1张边长为$a$的正方形面积为$a^2$，
6张长为$a$、宽为$b$的长方形总面积为$6ab$，
9张边长为$b$的正方形总面积为$9b^2$，
因此总面积$S=a^2+6ab+9b^2$。
根据完全平方公式因式分解：
$a^2+6ab+9b^2=a^2+2· a·3b+(3b)^2=(a+3b)^2$，
由于正方形边长为正数，因此大正方形的边长为$a+3b$。
【答案】
$a+3b$
【知识点】
完全平方公式因式分解；正方形面积计算；长方形面积计算
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，将代数因式分解和几何拼图面积规律结合，考查对完全平方公式的理解和应用能力，解题的关键是明确拼图前后总面积不变。
【难度系数】
0.8
14.分解因式:
(1)$-5mn-\frac{1}{4}m^2n^2-25$;
(2)$(a+b)^2-4(a+b-1)$;
(3)$(x-y)(x-y-8)+16$.
(1)$-5mn-\frac{1}{4}m^2n^2-25$;
(2)$(a+b)^2-4(a+b-1)$;
(3)$(x-y)(x-y-8)+16$.
答案
(1)原式=$-(\frac{1}{2}mn+5)^2$
(2)原式=$(a+b)^2-4(a+b)+4=(a+b-2)^2$
(3)原式=$(x-y)^2-8(x-y)+16=(x-y-4)^2$
(2)原式=$(a+b)^2-4(a+b)+4=(a+b-2)^2$
(3)原式=$(x-y)^2-8(x-y)+16=(x-y-4)^2$
解析
【分析】
这三道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题思路清晰可遵循：首先观察式子特征，若式子首项为负先提取负号，若含有相同的多项式整体，先将该整体视为一个单一项简化式子；再整理式子为“$a^2\pm2ab+b^2$”的完全平方公式标准结构；最后套用公式完成因式分解，检查结果是否无法继续分解即可。
各小题具体思考方向：(1)先提取负号，剩余三项刚好符合完全平方和的结构；(2)将$(a+b)$看作整体，展开后整理为关于$(a+b)$的完全平方式；(3)将$(x-y)$看作整体，展开后得到关于$(x-y)$的完全平方式。
【解析】
(1) 先提取负号，整理括号内的式子：
原式 $=-(\frac{1}{4}m^2n^2+5mn+25)$
观察括号内结构：$\frac{1}{4}m^2n^2=(\frac{1}{2}mn)^2$，$25=5^2$，$5mn=2×\frac{1}{2}mn×5$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，因此：
原式 $=-(\frac{1}{2}mn+5)^2$
(2) 先展开括号，将$(a+b)$看作整体整理式子：
原式 $=(a+b)^2-4(a+b)+4$
把$(a+b)$看作公式中的$a$，$2$看作公式中的$b$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此：
原式 $=(a+b-2)^2$
(3) 把$(x-y)$看作整体，展开原式整理：
原式 $=(x-y)^2-8(x-y)+16$
把$(x-y)$看作公式中的$a$，$4$看作公式中的$b$，符合完全平方差公式，因此：
原式 $=(x-y-4)^2$
【答案】
(1)$-(\frac{1}{2}mn+5)^2$
(2)$(a+b-2)^2$
(3)$(x-y-4)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解、整体代换思想、提公因式法
【点评】
这是因式分解的基础训练题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，对含有相同多项式的式子运用整体思想可快速简化问题，分解完成后需注意检查结果是否不能再分解。
【难度系数】
0.8
这三道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题思路清晰可遵循：首先观察式子特征，若式子首项为负先提取负号，若含有相同的多项式整体，先将该整体视为一个单一项简化式子；再整理式子为“$a^2\pm2ab+b^2$”的完全平方公式标准结构；最后套用公式完成因式分解，检查结果是否无法继续分解即可。
各小题具体思考方向：(1)先提取负号，剩余三项刚好符合完全平方和的结构；(2)将$(a+b)$看作整体，展开后整理为关于$(a+b)$的完全平方式；(3)将$(x-y)$看作整体，展开后得到关于$(x-y)$的完全平方式。
【解析】
(1) 先提取负号，整理括号内的式子：
原式 $=-(\frac{1}{4}m^2n^2+5mn+25)$
观察括号内结构：$\frac{1}{4}m^2n^2=(\frac{1}{2}mn)^2$，$25=5^2$，$5mn=2×\frac{1}{2}mn×5$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，因此：
原式 $=-(\frac{1}{2}mn+5)^2$
(2) 先展开括号，将$(a+b)$看作整体整理式子：
原式 $=(a+b)^2-4(a+b)+4$
把$(a+b)$看作公式中的$a$，$2$看作公式中的$b$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，因此：
原式 $=(a+b-2)^2$
(3) 把$(x-y)$看作整体，展开原式整理：
原式 $=(x-y)^2-8(x-y)+16$
把$(x-y)$看作公式中的$a$，$4$看作公式中的$b$，符合完全平方差公式，因此：
原式 $=(x-y-4)^2$
【答案】
(1)$-(\frac{1}{2}mn+5)^2$
(2)$(a+b-2)^2$
(3)$(x-y-4)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解、整体代换思想、提公因式法
【点评】
这是因式分解的基础训练题，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，对含有相同多项式的式子运用整体思想可快速简化问题，分解完成后需注意检查结果是否不能再分解。
【难度系数】
0.8
15.(教材 P132 习题 T4 变式)利用因式分解计算：
(1)$216^2 + 216 × 168 + 84^2$；
(2)$800^2 - 1600 × 798 + 798^2$。
(1)$216^2 + 216 × 168 + 84^2$；
(2)$800^2 - 1600 × 798 + 798^2$。
答案
(1)原式=$216^2+2×216×84+84^2=(216+84)^2=90000$
(2)原式=$(800-798)^2=4$
(2)原式=$(800-798)^2=4$
解析
【分析】
解题前先回忆完全平方公式因式分解的形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，首先观察算式结构，判断是否符合完全平方公式的特征：存在两个平方项，剩余项是两个平方项底数乘积的2倍。对于(1)，中间项$216×168$可变形为$2×216×84$，刚好是216和84乘积的2倍，前后两项分别是216、84的平方，符合完全平方和的结构；对于(2)，中间项$1600×798$可变形为$2×800×798$，前后两项分别是800、798的平方，符合完全平方差的结构，代入公式即可简化计算。
【解析】
(1) 先将中间项变形为两底数乘积的2倍，再套用完全平方和公式计算：
原式$=216^2+2×216×84+84^2=(216+84)^2=300^2=90000$
(2) 先将中间项变形为两底数乘积的2倍，再套用完全平方差公式计算：
原式$=800^2-2×800×798+798^2=(800-798)^2=2^2=4$
【答案】
(1) $\boxed{90000}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 因式分解简便运算
【点评】
本题是利用因式分解简化大数运算的典型习题，解题核心是准确识别算式的结构特征，将原式调整为完全平方公式的标准形式，有效降低运算复杂度，减少计算失误。
【难度系数】
0.75
解题前先回忆完全平方公式因式分解的形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，首先观察算式结构，判断是否符合完全平方公式的特征：存在两个平方项，剩余项是两个平方项底数乘积的2倍。对于(1)，中间项$216×168$可变形为$2×216×84$，刚好是216和84乘积的2倍，前后两项分别是216、84的平方，符合完全平方和的结构；对于(2)，中间项$1600×798$可变形为$2×800×798$，前后两项分别是800、798的平方，符合完全平方差的结构，代入公式即可简化计算。
【解析】
(1) 先将中间项变形为两底数乘积的2倍，再套用完全平方和公式计算：
原式$=216^2+2×216×84+84^2=(216+84)^2=300^2=90000$
(2) 先将中间项变形为两底数乘积的2倍，再套用完全平方差公式计算：
原式$=800^2-2×800×798+798^2=(800-798)^2=2^2=4$
【答案】
(1) $\boxed{90000}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 因式分解简便运算
【点评】
本题是利用因式分解简化大数运算的典型习题，解题核心是准确识别算式的结构特征，将原式调整为完全平方公式的标准形式，有效降低运算复杂度，减少计算失误。
【难度系数】
0.75
16.(创新思维)利用完全平方公式分解因式在数学中的应用,请回答下列问题:
(1)因式分解:$x^2 -12x +36 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)①当$x=-2$时,代数式$x^2 +4x +4 = \_\_\_\_\_\_$;
②当$x= \_\_\_\_\_\_$时,代数式$x^2 -6x +9 =0$;
③代数式$x^2 +10x +30$的最小值是________。
(3)拓展与应用:求代数式$a^2 +b^2 -4a -6b +30$的最小值。
(1)因式分解:$x^2 -12x +36 = \_\_\_\_\_\_$。
(2)①当$x=-2$时,代数式$x^2 +4x +4 = \_\_\_\_\_\_$;
②当$x= \_\_\_\_\_\_$时,代数式$x^2 -6x +9 =0$;
③代数式$x^2 +10x +30$的最小值是________。
(3)拓展与应用:求代数式$a^2 +b^2 -4a -6b +30$的最小值。
答案
(1)$(x-6)^2$
(2)①0 ②3 ③5
(3)$a^2 +b^2 -4a -6b +30=(a-2)^2+(b-3)^2+17$，$\because (a-2)^2\ge0,(b-3)^2\ge0$，$\therefore (a-2)^2+(b-3)^2+17\ge17$，$\therefore$代数式$a^2 +b^2 -4a -6b +30$的最小值是17
(2)①0 ②3 ③5
(3)$a^2 +b^2 -4a -6b +30=(a-2)^2+(b-3)^2+17$，$\because (a-2)^2\ge0,(b-3)^2\ge0$，$\therefore (a-2)^2+(b-3)^2+17\ge17$，$\therefore$代数式$a^2 +b^2 -4a -6b +30$的最小值是17
解析
【分析】
本题围绕完全平方公式的因式分解及拓展应用展开，解题思路如下：
1. 因式分解题直接对照完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构特征匹配对应项即可；
2. 代数式求值和求方程的解时，先将二次三项式因式分解为完全平方的形式，再代入计算或利用0的平方为0求解；
3. 求二次代数式的最小值时，使用配方法将式子整理为几个完全平方加常数的形式，再根据平方数的非负性（平方数≥0），当完全平方项取0时，整个式子取得最小值，最小值就是后面的常数部分。
【解析】
(1) 观察式子$x^2-12x+36$，符合完全平方差公式结构：$x^2 - 2· x·6 +6^2=(x-6)^2$。
(2) ① 先因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，将$x=-2$代入得：$(-2+2)^2=0^2=0$。
② 因式分解得：$x^2-6x+9=(x-3)^2=0$，因为只有0的平方为0，所以$x-3=0$，解得$x=3$。
③ 用配方法变形：$x^2+10x+30=x^2+10x+25+5=(x+5)^2+5$，因为$(x+5)^2≥0$，所以$(x+5)^2+5≥5$，即最小值为5。
(3) 对代数式拆分常数项分别配方：
$\begin{aligned}a^2 +b^2 -4a -6b +30&=(a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)+17\\&=(a-2)^2+(b-3)^2+17\end{aligned}$
因为$(a-2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，所以$(a-2)^2+(b-3)^2+17≥0+0+17=17$，即代数式的最小值为17。
【答案】
(1)$(x-6)^2$
(2)①0；②3；③5
(3)17
【知识点】
完全平方公式因式分解，配方法应用，平方的非负性
【点评】
本题从基础因式分解到代数式求值、最值求解，层层递进考查完全平方公式的灵活运用，掌握配方法和平方数的非负性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
本题围绕完全平方公式的因式分解及拓展应用展开，解题思路如下：
1. 因式分解题直接对照完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构特征匹配对应项即可；
2. 代数式求值和求方程的解时，先将二次三项式因式分解为完全平方的形式，再代入计算或利用0的平方为0求解；
3. 求二次代数式的最小值时，使用配方法将式子整理为几个完全平方加常数的形式，再根据平方数的非负性（平方数≥0），当完全平方项取0时，整个式子取得最小值，最小值就是后面的常数部分。
【解析】
(1) 观察式子$x^2-12x+36$，符合完全平方差公式结构：$x^2 - 2· x·6 +6^2=(x-6)^2$。
(2) ① 先因式分解：$x^2+4x+4=(x+2)^2$，将$x=-2$代入得：$(-2+2)^2=0^2=0$。
② 因式分解得：$x^2-6x+9=(x-3)^2=0$，因为只有0的平方为0，所以$x-3=0$，解得$x=3$。
③ 用配方法变形：$x^2+10x+30=x^2+10x+25+5=(x+5)^2+5$，因为$(x+5)^2≥0$，所以$(x+5)^2+5≥5$，即最小值为5。
(3) 对代数式拆分常数项分别配方：
$\begin{aligned}a^2 +b^2 -4a -6b +30&=(a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)+17\\&=(a-2)^2+(b-3)^2+17\end{aligned}$
因为$(a-2)^2≥0$，$(b-3)^2≥0$，所以$(a-2)^2+(b-3)^2+17≥0+0+17=17$，即代数式的最小值为17。
【答案】
(1)$(x-6)^2$
(2)①0；②3；③5
(3)17
【知识点】
完全平方公式因式分解，配方法应用，平方的非负性
【点评】
本题从基础因式分解到代数式求值、最值求解，层层递进考查完全平方公式的灵活运用，掌握配方法和平方数的非负性质是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
