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1.(2024·文登区期中)分解因式$x^4 -1$得（
A.$(x^2 +1)(x^2 -1)$
B.$(x -1)(x +1)(x^2 +1)$
C.$(x +1)^2(x -1)^2$
D.$(x -1)(x +1)^3$
B
）A.$(x^2 +1)(x^2 -1)$
B.$(x -1)(x +1)(x^2 +1)$
C.$(x +1)^2(x -1)^2$
D.$(x -1)(x +1)^3$
答案
B
解析
【分析】
分解因式的核心要求是需将多项式分解到每一个因式都不能再分解为止。本题的多项式$x^4-1$符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步先把$x^4$看作$(x^2)^2$、$1$看作$1^2$，第一次套用平方差公式分解，得到两个因式的乘积；第二步判断得到的因式中是否还有可继续分解的，对符合平方差结构的因式再次分解，最后匹配选项即可，注意要排除分解不彻底的错误选项。
【解析】
解：对$x^4-1$分解因式：
1. 先将原式变形为平方差形式：
$x^4 -1=(x^2)^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x^2$、$b=1$，可得：
$x^4 -1=(x^2+1)(x^2-1)$
2. 观察因式$x^2-1$仍符合平方差公式结构，继续分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
其中$x^2+1$在有理数范围内无法再分解，因此最终分解结果为：
$x^4 -1=(x^2+1)(x+1)(x-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点是忽略分解彻底的要求，误选分解不完全的A选项，解题时要牢记因式分解需分解到每一个因式在指定范围内都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
分解因式的核心要求是需将多项式分解到每一个因式都不能再分解为止。本题的多项式$x^4-1$符合平方差公式的结构特征，解题思路如下：第一步先把$x^4$看作$(x^2)^2$、$1$看作$1^2$，第一次套用平方差公式分解，得到两个因式的乘积；第二步判断得到的因式中是否还有可继续分解的，对符合平方差结构的因式再次分解，最后匹配选项即可，注意要排除分解不彻底的错误选项。
【解析】
解：对$x^4-1$分解因式：
1. 先将原式变形为平方差形式：
$x^4 -1=(x^2)^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，代入$a=x^2$、$b=1$，可得：
$x^4 -1=(x^2+1)(x^2-1)$
2. 观察因式$x^2-1$仍符合平方差公式结构，继续分解：
$x^2-1=(x+1)(x-1)$
其中$x^2+1$在有理数范围内无法再分解，因此最终分解结果为：
$x^4 -1=(x^2+1)(x+1)(x-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式；因式分解原则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点是忽略分解彻底的要求，误选分解不完全的A选项，解题时要牢记因式分解需分解到每一个因式在指定范围内都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
2.因式分解：
$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 = \underline{\hspace{5cm}}.$
$(x^2 + y^2)^2 - 4x^2y^2 = \underline{\hspace{5cm}}.$
答案
$(x+y)^2(x-y)^2$
解析
【分析】
首先观察待分解的式子，它是两个平方项作差的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，我们可以把$x^2+y^2$看作公式中的$a$，把$2xy$看作公式中的$b$（因为$4x^2y^2=(2xy)^2$），先用平方差公式分解。分解得到两个多项式后，再观察发现这两个多项式都符合完全平方公式的结构，继续用完全平方公式分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+y^2)^2-(2xy)^2\\&=(x^2+y^2+2xy)(x^2+y^2-2xy) \quad \mathrm{（运用平方差公式分解）}\\&=(x+y)^2(x-y)^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式继续分解）}\end{aligned}$
【答案】
$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是公式法因式分解的基础综合题，解题核心是先识别式子结构匹配对应公式，需要注意因式分解必须分解到每个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
首先观察待分解的式子，它是两个平方项作差的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，我们可以把$x^2+y^2$看作公式中的$a$，把$2xy$看作公式中的$b$（因为$4x^2y^2=(2xy)^2$），先用平方差公式分解。分解得到两个多项式后，再观察发现这两个多项式都符合完全平方公式的结构，继续用完全平方公式分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2+y^2)^2-(2xy)^2\\&=(x^2+y^2+2xy)(x^2+y^2-2xy) \quad \mathrm{（运用平方差公式分解）}\\&=(x+y)^2(x-y)^2 \quad \mathrm{（运用完全平方公式继续分解）}\end{aligned}$
【答案】
$(x+y)^2(x-y)^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是公式法因式分解的基础综合题，解题核心是先识别式子结构匹配对应公式，需要注意因式分解必须分解到每个因式都无法再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
3.因式分解：$(y^2 -8)^2 -64=$
$y^2(y+4)(y-4)$
.答案
$y^2(y+4)(y-4)$
解析
【分析】
观察待分解的式子，整体符合平方差公式$a^2 - b^2$的结构，其中$a=y^2-8$，$b=8$，因此第一步先利用平方差公式初步分解，再对分解得到的每个因式化简，检查是否可以继续分解，直到每个因式都不能再分解为止即可。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y^2 - 8)^2 - 8^2\\&=[(y^2 - 8)+8][(y^2 - 8)-8] \quad \mathrm{（套用平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{）}\\&=y^2 · (y^2 - 16) \quad \mathrm{（化简两个括号内的整式）}\\&=y^2(y+4)(y-4) \quad \mathrm{（对}y^2-16\mathrm{再次套用平方差公式分解）}\end{aligned}$
【答案】
$y^2(y+4)(y-4)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，解题核心是先观察式子的整体结构，优先匹配对应的乘法公式初步分解，再逐次检查每个因式是否可再分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
观察待分解的式子，整体符合平方差公式$a^2 - b^2$的结构，其中$a=y^2-8$，$b=8$，因此第一步先利用平方差公式初步分解，再对分解得到的每个因式化简，检查是否可以继续分解，直到每个因式都不能再分解为止即可。
【解析】
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y^2 - 8)^2 - 8^2\\&=[(y^2 - 8)+8][(y^2 - 8)-8] \quad \mathrm{（套用平方差公式：}a^2-b^2=(a+b)(a-b)\mathrm{）}\\&=y^2 · (y^2 - 16) \quad \mathrm{（化简两个括号内的整式）}\\&=y^2(y+4)(y-4) \quad \mathrm{（对}y^2-16\mathrm{再次套用平方差公式分解）}\end{aligned}$
【答案】
$y^2(y+4)(y-4)$
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，解题核心是先观察式子的整体结构，优先匹配对应的乘法公式初步分解，再逐次检查每个因式是否可再分解，注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
4.(教材P131例5变式)分解因式：
(1)$a^4 -81$；
(2)$(t^2 -2t)^2 +2(t^2 -2t)+1$；
(3)$(a^2 +4)^2 -16a^2$。
(1)$a^4 -81$；
(2)$(t^2 -2t)^2 +2(t^2 -2t)+1$；
(3)$(a^2 +4)^2 -16a^2$。
答案
(1)原式=$(a^2 -9)(a^2 +9)=(a+3)(a-3)(a^2 +9)$
(2)原式=$(t^2 -2t +1)^2=(t-1)^4$
(3)原式=$(a^2 +4 +4a)(a^2 +4 -4a)=(a+2)^2(a-2)^2$
(2)原式=$(t^2 -2t +1)^2=(t-1)^4$
(3)原式=$(a^2 +4 +4a)(a^2 +4 -4a)=(a+2)^2(a-2)^2$
解析
【分析】
分解因式的基本思路是“一提二套三查”：先看是否有公因式可提，再看能否套用平方差公式或完全平方公式，最后检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 观察$a^4 -81$，可将$a^4$看作$(a^2)^2$，81看作$9^2$，符合平方差公式形式，先套用平方差公式分解，再检查因式$a^2-9$仍可继续用平方差公式分解，$a^2+9$无法再分解即可停止。
(2) 观察$(t^2 -2t)^2 +2(t^2 -2t)+1$，把$(t^2-2t)$看作整体，式子符合完全平方和公式的形式，先套用完全平方和公式分解，再检查得到的$t^2-2t+1$仍符合完全平方公式，继续分解即可。
(3) 观察$(a^2 +4)^2 -16a^2$，可将$16a^2$看作$(4a)^2$，符合平方差公式形式，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均符合完全平方公式，继续分解即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解：
原式$=(a^2)^2 -9^2=(a^2 -9)(a^2 +9)$
对$a^2-9$继续用平方差公式分解：
$a^2-9=(a+3)(a-3)$
即原式$=(a+3)(a-3)(a^2 +9)$
(2) 把$t^2-2t$看作整体，利用完全平方和公式分解：
原式$=(t^2 -2t +1)^2$
对$t^2-2t+1$用完全平方差公式分解：
$t^2-2t+1=(t-1)^2$
即原式$=[(t-1)^2]^2=(t-1)^4$
(3) 利用平方差公式分解：
原式$=(a^2 +4)^2 -(4a)^2=(a^2 +4 +4a)(a^2 +4 -4a)$
分别对两个因式用完全平方公式分解：
$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$
即原式$=(a+2)^2(a-2)^2$
【答案】
(1)$(a+3)(a-3)(a^2 +9)$
(2)$(t-1)^4$
(3)$(a+2)^2(a-2)^2$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题时要注意整体思想的运用，同时牢记分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
分解因式的基本思路是“一提二套三查”：先看是否有公因式可提，再看能否套用平方差公式或完全平方公式，最后检查是否分解到每个因式都不能再分解为止。
(1) 观察$a^4 -81$，可将$a^4$看作$(a^2)^2$，81看作$9^2$，符合平方差公式形式，先套用平方差公式分解，再检查因式$a^2-9$仍可继续用平方差公式分解，$a^2+9$无法再分解即可停止。
(2) 观察$(t^2 -2t)^2 +2(t^2 -2t)+1$，把$(t^2-2t)$看作整体，式子符合完全平方和公式的形式，先套用完全平方和公式分解，再检查得到的$t^2-2t+1$仍符合完全平方公式，继续分解即可。
(3) 观察$(a^2 +4)^2 -16a^2$，可将$16a^2$看作$(4a)^2$，符合平方差公式形式，先套用平方差公式分解，得到的两个因式均符合完全平方公式，继续分解即可。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解：
原式$=(a^2)^2 -9^2=(a^2 -9)(a^2 +9)$
对$a^2-9$继续用平方差公式分解：
$a^2-9=(a+3)(a-3)$
即原式$=(a+3)(a-3)(a^2 +9)$
(2) 把$t^2-2t$看作整体，利用完全平方和公式分解：
原式$=(t^2 -2t +1)^2$
对$t^2-2t+1$用完全平方差公式分解：
$t^2-2t+1=(t-1)^2$
即原式$=[(t-1)^2]^2=(t-1)^4$
(3) 利用平方差公式分解：
原式$=(a^2 +4)^2 -(4a)^2=(a^2 +4 +4a)(a^2 +4 -4a)$
分别对两个因式用完全平方公式分解：
$a^2+4a+4=(a+2)^2$，$a^2-4a+4=(a-2)^2$
即原式$=(a+2)^2(a-2)^2$
【答案】
(1)$(a+3)(a-3)(a^2 +9)$
(2)$(t-1)^4$
(3)$(a+2)^2(a-2)^2$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合应用，解题时要注意整体思想的运用，同时牢记分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.7
5.(2024·云南)分解因式:$a^3 -9a = ( )$
A.$a(a-3)(a+3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
A.$a(a-3)(a+3)$
B.$a(a^2+9)$
C.$(a-3)(a+3)$
D.$a^2(a-9)$
答案
A
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查最终结果是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先找公因式，再判断剩余部分是否可用平方差公式分解即可。
【解析】
解：对$a^3 -9a$分解因式：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
2. 观察$a^2 -9$，符合平方差公式$m^2 -n^2=(m-n)(m+n)$（其中$m=a$，$n=3$），因此：
$a^2 -9 = (a-3)(a+3)$
3. 综上，$a^3 -9a = a(a-3)(a+3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法；平方差公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，掌握因式分解的基本顺序和常用公式是解题关键，注意分解时要做到彻底，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的形式，若符合则套用公式继续分解；第三步检查最终结果是否分解到每个因式都不能再分解为止。本题先找公因式，再判断剩余部分是否可用平方差公式分解即可。
【解析】
解：对$a^3 -9a$分解因式：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 -9a = a(a^2 - 9)$
2. 观察$a^2 -9$，符合平方差公式$m^2 -n^2=(m-n)(m+n)$（其中$m=a$，$n=3$），因此：
$a^2 -9 = (a-3)(a+3)$
3. 综上，$a^3 -9a = a(a-3)(a+3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法；平方差公式；因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，掌握因式分解的基本顺序和常用公式是解题关键，注意分解时要做到彻底，避免出现分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
6.分解因式：
(1)(2024·绥化)$2mx^2 - 8my^2 =$ ；；
(2)(2024·绵阳)$2x^2 + 8x + 8 =$ ；
(3)(2024·通辽)$3ax^2 - 6axy + 3ay^2 =$ 。
(1)(2024·绥化)$2mx^2 - 8my^2 =$ ；；
(2)(2024·绵阳)$2x^2 + 8x + 8 =$ ；
(3)(2024·通辽)$3ax^2 - 6axy + 3ay^2 =$ 。
答案
(1)$2m(x+2y)(x-2y)$ (2)$2(x+2)^2$ (3)$3a(x-y)^2$
解析
【分析】
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后的多项式，若为两项则考虑平方差公式，若为三项则考虑完全平方公式进行分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
(1)题先提取公因式2m，剩余的$x^2-4y^2$是两项，符合平方差公式特征，可继续分解；
(2)题先提取公因式2，剩余的$x^2+4x+4$是三项，符合完全平方公式特征，可继续分解；
(3)题先提取公因式3a，剩余的$x^2-2xy+y^2$是三项，符合完全平方公式特征，可继续分解。
【解析】
(1) 先提取公因式2m，再用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$2mx^2 - 8my^2 = 2m(x^2 - 4y^2) = 2m(x + 2y)(x - 2y)$
(2) 先提取公因式2，再用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$分解：
$2x^2 + 8x + 8 = 2(x^2 + 4x + 4) = 2(x + 2)^2$
(3) 先提取公因式3a，再用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$3ax^2 - 6axy + 3ay^2 = 3a(x^2 - 2xy + y^2) = 3a(x - y)^2$
【答案】
(1)$2m(x+2y)(x-2y)$；(2)$2(x+2)^2$；(3)$3a(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，熟练掌握“一提二套三查”的分解步骤是解题关键，注意要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现公因式提取不彻底、公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
因式分解需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有则先提取公因式；第二步看提取公因式后的多项式，若为两项则考虑平方差公式，若为三项则考虑完全平方公式进行分解；第三步检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
(1)题先提取公因式2m，剩余的$x^2-4y^2$是两项，符合平方差公式特征，可继续分解；
(2)题先提取公因式2，剩余的$x^2+4x+4$是三项，符合完全平方公式特征，可继续分解；
(3)题先提取公因式3a，剩余的$x^2-2xy+y^2$是三项，符合完全平方公式特征，可继续分解。
【解析】
(1) 先提取公因式2m，再用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解：
$2mx^2 - 8my^2 = 2m(x^2 - 4y^2) = 2m(x + 2y)(x - 2y)$
(2) 先提取公因式2，再用完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$分解：
$2x^2 + 8x + 8 = 2(x^2 + 4x + 4) = 2(x + 2)^2$
(3) 先提取公因式3a，再用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$分解：
$3ax^2 - 6axy + 3ay^2 = 3a(x^2 - 2xy + y^2) = 3a(x - y)^2$
【答案】
(1)$2m(x+2y)(x-2y)$；(2)$2(x+2)^2$；(3)$3a(x-y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解；平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，熟练掌握“一提二套三查”的分解步骤是解题关键，注意要分解到每个因式都不能再分解为止，避免出现公因式提取不彻底、公式套用错误的问题。
【难度系数】
0.8
7.(教材 P131 例 6 变式)分解因式：
(1)$12x^2 -12xy +3y^2$；
(2)$9p^3q -6p^2q^2 +pq^3$；
(3)$-4m^3 +12m^2n -9mn^2$；
(4)$\frac{1}{2}a^2 -a + \frac{1}{2}$。
(1)$12x^2 -12xy +3y^2$；
(2)$9p^3q -6p^2q^2 +pq^3$；
(3)$-4m^3 +12m^2n -9mn^2$；
(4)$\frac{1}{2}a^2 -a + \frac{1}{2}$。
答案
(1)原式=$3(4x^2 -4xy + y^2)=3(2x-y)^2$
(2)原式=$pq(9p^2 -6pq + q^2)=pq(3p-q)^2$
(3)原式=$-m(4m^2 -12mn +9n^2)=-m(2m-3n)^2$
(4)原式=$\frac{1}{2}(a^2 -2a +1)=\frac{1}{2}(a-1)^2$
(2)原式=$pq(9p^2 -6pq + q^2)=pq(3p-q)^2$
(3)原式=$-m(4m^2 -12mn +9n^2)=-m(2m-3n)^2$
(4)原式=$\frac{1}{2}(a^2 -2a +1)=\frac{1}{2}(a-1)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式有没有公因式，若有优先提取公因式，若多项式首项系数为负，要先提取负号使括号内首项系数为正；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，若为三项式则判断是否符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，符合则套用公式继续分解；第三步检查最终结果中每个因式是否还能分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式3，再套用完全平方差公式：
原式$=3(4x^2 -4xy + y^2)=3(2x-y)^2$
(2) 先提取公因式$pq$，再套用完全平方差公式：
原式$=pq(9p^2 -6pq + q^2)=pq(3p-q)^2$
(3) 先提取公因式$-m$，再套用完全平方差公式：
原式$=-m(4m^2 -12mn +9n^2)=-m(2m-3n)^2$
(4) 先提取公因式$\frac{1}{2}$，再套用完全平方差公式：
原式$=\frac{1}{2}(a^2 -2a +1)=\frac{1}{2}(a-1)^2$
【答案】
(1)$3(2x-y)^2$；(2)$pq(3p-q)^2$；(3)$-m(2m-3n)^2$；(4)$\frac{1}{2}(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本运用，解题时要注意公因式要提尽，套用公式时要准确识别完全平方公式的结构特征，同时注意处理负号时避免符号错误，最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式有没有公因式，若有优先提取公因式，若多项式首项系数为负，要先提取负号使括号内首项系数为正；第二步观察提取公因式后剩余的多项式，若为三项式则判断是否符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$的结构，符合则套用公式继续分解；第三步检查最终结果中每个因式是否还能分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 先提取公因式3，再套用完全平方差公式：
原式$=3(4x^2 -4xy + y^2)=3(2x-y)^2$
(2) 先提取公因式$pq$，再套用完全平方差公式：
原式$=pq(9p^2 -6pq + q^2)=pq(3p-q)^2$
(3) 先提取公因式$-m$，再套用完全平方差公式：
原式$=-m(4m^2 -12mn +9n^2)=-m(2m-3n)^2$
(4) 先提取公因式$\frac{1}{2}$，再套用完全平方差公式：
原式$=\frac{1}{2}(a^2 -2a +1)=\frac{1}{2}(a-1)^2$
【答案】
(1)$3(2x-y)^2$；(2)$pq(3p-q)^2$；(3)$-m(2m-3n)^2$；(4)$\frac{1}{2}(a-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本运用，解题时要注意公因式要提尽，套用公式时要准确识别完全平方公式的结构特征，同时注意处理负号时避免符号错误，最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
8.(2024·郸城期中)在对多项式进行因式分解时我们经常用到“整体思想”，请同学们将$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 8) + 16$进行因式分解，结果是（
A.$(x^2 + y^2 - 4)^2$
B.$(x - y)^4$
C.$(x^2 - y^2 - 4)^2$
D.$(x^2 + y^2 + 4)^2$
A
）A.$(x^2 + y^2 - 4)^2$
B.$(x - y)^4$
C.$(x^2 - y^2 - 4)^2$
D.$(x^2 + y^2 + 4)^2$
答案
A
解析
【分析】
观察原式结构可发现，$x^2+y^2$作为重复出现的部分，可利用整体思想简化计算：先将$x^2+y^2$设为一个整体变量$t$，把原式转化为关于$t$的多项式，展开后判断符合完全平方公式的结构，对其因式分解后再把$t$换回原式中的$x^2+y^2$，即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：设$t=x^2+y^2$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}&t(t-8)+16\\=&t^2-8t+16\\=&(t-4)^2\end{aligned}$
将$t=x^2+y^2$代回上式，可得结果为$(x^2+y^2-4)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.整体思想因式分解 2.完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解中应用整体思想的典型题型，解题核心是找准式子中重复出现的整体，通过代换简化复杂多项式，再结合完全平方公式完成分解，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特征，同时具备观察式子结构的能力。
【难度系数】
0.7
观察原式结构可发现，$x^2+y^2$作为重复出现的部分，可利用整体思想简化计算：先将$x^2+y^2$设为一个整体变量$t$，把原式转化为关于$t$的多项式，展开后判断符合完全平方公式的结构，对其因式分解后再把$t$换回原式中的$x^2+y^2$，即可得到最终结果，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：设$t=x^2+y^2$，则原式可变形为：
$\begin{aligned}&t(t-8)+16\\=&t^2-8t+16\\=&(t-4)^2\end{aligned}$
将$t=x^2+y^2$代回上式，可得结果为$(x^2+y^2-4)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.整体思想因式分解 2.完全平方公式因式分解
【点评】
本题是因式分解中应用整体思想的典型题型，解题核心是找准式子中重复出现的整体，通过代换简化复杂多项式，再结合完全平方公式完成分解，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特征，同时具备观察式子结构的能力。
【难度系数】
0.7
