9.(教材P132练习T2变式)分解因式：
(1)$(m+4)(m-1)-3m$；
(2)$(m^2 -6)^2 -6(m^2 -6)+9$。

(1)原式=$m^2 +3m -4 -3m = m^2 -4=(m+2)(m-2)$
(2)原式=$(m^2 -6 -3)^2=(m^2 -9)^2=[(m+3)(m-3)]^2=(m+3)^2(m-3)^2$

【分析】
(1) 原式是多项式乘积与单项式的差，无法直接因式分解，因此第一步先按多项式乘多项式法则展开括号，再合并同类项，观察合并后的结果符合平方差公式的结构特征，再套用平方差公式完成因式分解即可。
(2) 观察式子可将$m^2-6$看作一个整体，发现原式符合完全平方公式的结构，先套用完全平方公式进行第一次因式分解，分解后得到的因式$m^2-9$仍符合平方差公式的结构，需继续套用平方差公式分解，直到所有因式都不能再分解为止，最后整理结果即可。
【解析】
(1) 展开多项式乘法：
原式$=m^2 -m +4m -4 -3m$
合并同类项得：$=m^2 -4$
套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$得：$=(m+2)(m-2)$
(2) 将$m^2-6$看作整体，套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=m^2-6$，$b=3$）：
原式$=(m^2 -6 -3)^2$
整理括号内的式子得：$=(m^2 -9)^2$
对括号内的$m^2-9$套用平方差公式分解：$=[(m+3)(m-3)]^2$
去括号整理得：$=(m+3)^2(m-3)^2$
【答案】
(1) $(m+2)(m-2)$
(2) $(m+3)^2(m-3)^2$
【知识点】
因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题时可先观察式子结构，能用整体思想套用公式的优先用整体法，不能直接分解的先化简整理，注意因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

10.分解因式：
(1)$(4x^2 + y^2 - 1)^2 - (4x^2 - y^2 - 1)^2$；
(2)$4(a + b)^2 - 4(a^2 - b^2) + (a - b)^2$。

(1)原式=$[(4x^2 + y^2 -1)+(4x^2 - y^2 -1)][(4x^2 + y^2 -1)-(4x^2 - y^2 -1)]=(8x^2 -2)(2y^2)=4y^2(4x^2 -1)=4y^2(2x+1)(2x-1)$
(2)原式=$4(a+b)^2 -2×2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=(a+3b)^2$

【分析】
(1) 观察原式为两个整式平方的差，符合平方差公式的结构特征，解题时先把两个括号里的整式分别看作整体，套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$展开，再化简每个括号内的式子，最后检查因式是否能继续分解，直到不能分解为止。
(2) 先利用平方差公式把式中的$a^2-b^2$转化为$(a+b)(a-b)$，变形后可发现原式符合完全平方公式的结构特征，套用完全平方公式后再化简括号内的整式即可。
【解析】
(1) 套用平方差公式分解：
原式=$[(4x^2 + y^2 -1)+(4x^2 - y^2 -1)][(4x^2 + y^2 -1)-(4x^2 - y^2 -1)]$
分别化简两个括号：
第一个括号：$4x^2+y^2-1+4x^2-y^2-1=8x^2-2$
第二个括号：$4x^2+y^2-1-4x^2+y^2+1=2y^2$
代入得：原式=$(8x^2-2)×2y^2=4y^2(4x^2-1)$
对$4x^2-1$继续套用平方差公式分解：
原式=$4y^2(2x+1)(2x-1)$
(2) 先变形$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，原式可整理为：
原式=$4(a+b)^2 - 2×2(a+b)(a-b) + (a-b)^2$
将$2(a+b)$、$(a-b)$分别看作整体，套用完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$得：
原式=$[2(a+b)-(a-b)]^2$
化简括号内的整式：$2a+2b-a+b=a+3b$，因此原式=$(a+3b)^2$
【答案】
(1)$4y^2(2x+1)(2x-1)$；(2)$(a+3b)^2$
【知识点】
平方差公式因式分解，完全平方公式因式分解，提公因式法因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础综合题型，解题的关键是先观察式子的结构特征，优先匹配对应的乘法公式初步变形，每一步分解后要注意检查是否分解彻底，确保最终结果不能再继续分解。
【难度系数】
0.7

11.已知$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 + b^2 = 2ab + ac - bc$，试判断$△ ABC$的形状，并说明理由。

$△ABC$为等腰三角形.$\because a^2 + b^2 = 2ab + ac - bc ,\therefore a^2 -2ab + b^2 = ac - bc ,\therefore (a-b)^2 = c(a-b),$
$\therefore (a-b)^2 - c(a-b)=0,\therefore (a-b)(a-b-c)=0.\because a,b,c$是$△ABC$的三边长,$\therefore a-b-c≠0,\therefore a-b=0,\therefore a=b,\therefore △ABC$为等腰三角形

【分析】
要判断三角形的形状，已知三边满足的等式，我们需要通过代数变形推导边的等量关系。首先观察等式特征，左边有$a^2+b^2$，右侧有$2ab$，可先将$2ab$移到左侧凑完全平方公式，右侧剩余的$ac-bc$可提公因式$c$变形；再将右侧整体移到左侧，提公因式得到两个因式乘积为0的形式；最后结合三角形三边关系排除不可能为0的因式，即可得到边的等量关系。
【解析】
$△ ABC$是等腰三角形，理由如下：
$\because a^2 + b^2 = 2ab + ac - bc$
$\therefore$ 移项得 $a^2 -2ab + b^2 = ac - bc$
由完全平方公式化简左侧，右侧提公因式得：$(a-b)^2 = c(a-b)$
移项得：$(a-b)^2 - c(a-b)=0$
提公因式$(a-b)$得：$(a-b)(a-b-c)=0$
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可得$b+c＞a$，即$a-b-c＜0$
$\therefore a-b-c≠0$，只能$a-b=0$，即$a=b$
$\therefore △ ABC$为等腰三角形
【答案】
$△ ABC$为等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用，完全平方公式，三角形三边关系
【点评】
本题是代数变形与几何判定结合的基础综合题，解题关键是熟练运用因式分解的方法对等式变形，同时注意不能随意在等式两边除以可能为0的整式，需结合三角形三边的实际性质排除不符合题意的情况。
【难度系数】
0.7

例1 分解因式：
(1)$ax - bx + ay - by$；
(2)$a^2 - b^2 + 8b - 16$.
【对应练习】

(1)原式=$x(a-b)+y(a-b)=(a-b)(x+y)$
(2)原式=$a^2 -(b^2 -8b +16)=a^2 -(b-4)^2=(a+b-4)(a-b+4)$

【分析】
(1) 观察该多项式为四项式，采用分组分解的思路：将含x的前两项分为一组，含y的后两项分为一组，分别提取公因式x和y后，两组会出现相同的公因式$(a-b)$，再提取这个公因式即可完成分解。
(2) 观察多项式结构，后三项$b^2-8b+16$符合完全平方公式的特征，因此先将后三项添括号组合为一个整体，注意括号前为负号，括号内各项要变号；组合后原式转化为$a^2$减去一个完全平方式，符合平方差公式的结构，再利用平方差公式分解即可。
【解析】
(1) 对原式分组提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=(ax - bx)+(ay - by)\\&=x(a-b)+y(a-b)\\&=(a-b)(x+y)\end{aligned}$
(2) 先分组用完全平方公式，再用平方差公式分解：
$\begin{aligned}原式&=a^2-(b^2-8b+16)\\&=a^2-(b-4)^2\\&=[a+(b-4)][a-(b-4)]\\&=(a+b-4)(a-b+4)\end{aligned}$
【答案】
(1)$(a-b)(x+y)$
(2)$(a+b-4)(a-b+4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式，分组分解法
【点评】
这两道题是因式分解的基础综合题型，核心考查根据多项式结构合理分组的能力，解题时要注意添括号的符号规则，最终分解结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7

1.分解因式：
$mn+2m-n-2=$；
$m^{2}-2mn+n^{2}-1=$.

$(m-1)(n+2)$；$(m-n+1)(m-n-1)$

【分析】
对于第一个因式分解题，式子为四项式，采用二二分组的思路：把含m的项mn+2m分为一组，剩余的-n-2分为另一组，先在每组内提取公因式，再提取两组共有的公因式即可完成分解。
对于第二个因式分解题，同样是四项式，观察到前三项符合完全平方公式的结构，采用三一分组的思路：先将前三项用完全平方公式分解，得到的结果和第四项刚好构成平方差结构，再用平方差公式分解即可。
【解析】
1. 分解$mn+2m-n-2$：
第一步：分组可得$(mn+2m)+(-n-2)$
第二步：组内提取公因式，第一组提$m$得$m(n+2)$，第二组提$-1$得$-(n+2)$，原式变为$m(n+2)-(n+2)$
第三步：提取公因式$(n+2)$，最终得$(m-1)(n+2)$
2. 分解$m^2-2mn+n^2-1$：
第一步：分组可得$(m^2-2mn+n^2)-1$
第二步：前三项利用完全平方公式分解，得$(m-n)^2 - 1$
第三步：将$(m-n)$看作整体，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$（此处$a=m-n$，$b=1$）分解，最终得$(m-n+1)(m-n-1)$
【答案】
$(m-1)(n+2)$；$(m-n+1)(m-n-1)$
【知识点】
分组分解法；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题关键是根据多项式的项数和结构特征灵活选择分组方式，注意因式分解的最终结果要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

2.分解因式：
(1)$x^2y - x^2 - y + 1$；
(2)$x^2 - 2nx + n^2 - x + n$.

(1)原式=$x^2(y-1)-(y-1)=(x^2 -1)(y-1)=(x+1)(x-1)(y-1)$
(2)原式=$(x^2 -2nx +n^2)-(x-n)=(x-n)^2 -(x-n)=(x-n-1)(x-n)$

【分析】
这两道均为四项式的因式分解题，解题核心是根据多项式的项的特征合理分组，再结合提公因式法、公式法完成分解，注意最终要分解到每个因式无法再分解为止。
第(1)题可采用“二二分组”：将前两项、后两项分别划为一组，前一组提取公因式$x^2$，后一组提取公因式$-1$，两组会出现公共因式$(y-1)$，提取公因式后得到$(x^2-1)(y-1)$，再对$x^2-1$用平方差公式继续分解即可。
第(2)题可采用“三一分组”：前三项$x^2-2nx+n^2$符合完全平方公式特征，划为一组，后两项划为另一组，先将前三项化简为$(x-n)^2$，后两项提取$-1$得到$-(x-n)$，此时整体有公因式$(x-n)$，提取公因式即可完成分解。
【解析】
(1) 对原式分组并分步分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2y - x^2)+(-y + 1)\\&=x^2(y-1)-(y-1)\\&=(x^2 -1)(y-1)\\&=(x+1)(x-1)(y-1)\end{aligned}$
(2) 对原式分组并分步分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2 - 2nx + n^2)+(-x + n)\\&=(x-n)^2 -(x-n)\\&=(x-n)(x-n-1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+1)(x-1)(y-1)}$
(2) $\boldsymbol{(x-n)(x-n-1)}$
【知识点】
分组分解法，提公因式法，公式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础综合题，解题关键是根据多项式的结构特点选择合适的分组方式，再结合提公因式、公式法逐步分解，需注意分解要彻底，直到每个因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.75

3.分解因式:
(1)$x^2 + 5x + 6 =$ ;
(2)$y^2 - 3y - 10 =$ ;
(3)$a^2 - 12a + 11 =$ ;
(4)$b^2 + 2b - 24 =$ .

(1)$(x+2)(x+3)$ (2)$(y-5)(y+2)$ (3)$(a-1)(a-11)$ (4)$(b-4)(b+6)$

【分析】
这几道题都是二次项系数为1的二次三项式的因式分解，可采用十字相乘法求解。解题思路为：对于形如$x^2+mx+n$的二次三项式，找到两个数$p$和$q$，使得$p+q=m$、$p× q=n$，即可将原式分解为$(x+p)(x+q)$的形式，每道题都按照这个规律寻找对应的两个数即可。
【解析】
(1) 对于$x^2 + 5x + 6$，寻找两个数满足和为5、乘积为6，可得2和3，因此$x^2 + 5x + 6=(x+2)(x+3)$；
(2) 对于$y^2 - 3y - 10$，寻找两个数满足和为-3、乘积为-10，可得-5和2，因此$y^2 - 3y - 10=(y-5)(y+2)$；
(3) 对于$a^2 - 12a + 11$，寻找两个数满足和为-12、乘积为11，可得-1和-11，因此$a^2 - 12a + 11=(a-1)(a-11)$；
(4) 对于$b^2 + 2b - 24$，寻找两个数满足和为2、乘积为-24，可得-4和6，因此$b^2 + 2b - 24=(b-4)(b+6)$。
【答案】
(1)$(x+2)(x+3)$；(2)$(y-5)(y+2)$；(3)$(a-1)(a-11)$；(4)$(b-4)(b+6)$
【知识点】
十字相乘法分解因式，二次三项式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，重点考查二次项系数为1的十字相乘法的应用，解题核心是快速找到符合“和为一次项系数、积为常数项”的两个整数，熟练掌握该方法可为后续复杂的因式分解题目打好基础。
【难度系数】
0.8