1.如图，在$△ ABC$中，$AB$的垂直平分线分别交$AB$，$BC$于点$D$，$E$，连接$AE$，若$AE＝4$，$CE＝2$，则$BC$的长是。

1.6

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知点E在AB的垂直平分线上，因此可得BE=AE，再结合BC是BE与CE的和，代入已知的AE、CE长度即可计算出BC的长度。
【解析】
∵DE是AB的垂直平分线，且点E在DE上，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：BE=AE，
已知AE=4，
∴BE=4，
又
∵CE=2，
∴BC=BE+CE=4+2=6。
【答案】
6
【知识点】
线段垂直平分线的性质、线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查线段垂直平分线性质的直接应用，熟练掌握相关性质即可快速得出结果，是垂直平分线知识点的常规考查题。
【难度系数】
0.9

2.(2025·永春期末)如图，DE垂直平分线段AB于点E，DF垂直平分线段BC于点F，若AD=8，则CD=。

2.8

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。第一步，结合DE垂直平分AB的条件，可得点D到A、B的距离相等，即AD=BD；第二步，结合DF垂直平分BC的条件，可得点D到B、C的距离相等，即BD=CD；最后通过等量代换得到CD与AD的相等关系，代入AD的数值即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵DE垂直平分线段AB，点D在DE上
∴根据线段垂直平分线的性质，得AD = BD
∵AD = 8
∴BD = 8
又
∵DF垂直平分线段BC，点D在DF上
∴根据线段垂直平分线的性质，得BD = CD
∴CD = BD = 8
【答案】
8
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质得到相等线段，通过中间量BD建立已知线段和待求线段的联系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.(教材P70习题T4变式)如图,在$△ ABC$中,DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,交边AB于M,N两点,DM与EN相交于点F,若$AB=10\ \mathrm{cm}$,求$△ CMN$的周长.

3.$\because DM,EN$分别垂直平分边$AC$和边$BC$,$\therefore MA=MC,NB=NC$,$\therefore △ CMN$的周长$=MC+MN+NC=MA+MN+NB=AB=10\ \mathrm{cm}$

【分析】
解决本题的核心是利用线段垂直平分线的性质做边的等量代换。首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。要求△CMN的周长，即求CM+MN+CN的长度，已知AB的长度，只需将CM、CN转化为AB上的线段即可：DM垂直平分AC，因此点M到A、C的距离相等，即MA=MC；同理EN垂直平分BC，点N到B、C的距离相等，即NB=NC。将△CMN周长中的MC替换为MA，NC替换为NB，即可把周长转化为AB的长度，直接得到结果。
【解析】
解：
∵DM、EN分别垂直平分边AC和边BC，
∴根据线段垂直平分线的性质可得：$MA=MC$，$NB=NC$，
∴$△ CMN$的周长$=MC+MN+NC$，
将$MC=MA$、$NC=NB$代入得：
$△ CMN$的周长$=MA+MN+NB=AB$，
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$△ CMN$的周长为$10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$10\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质 2.三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练运用线段垂直平分线的性质，通过等量代换将未知的三角形周长转化为已知线段的长度，简化计算过程。
【难度系数】
0.8

4.如图,下列条件:①$AB ⊥ CD$且$CE = DE$;②$AC = BC$且$AD = BD$;③$AB ⊥ CD$且$CD$平分$∠ ACB$;④$AB ⊥ CD$且$AE = BE$.不能判定直线$CD$为线段$AB$的垂直平分线的是.

4.①

【分析】
要判定直线CD是线段AB的垂直平分线，需结合线段垂直平分线的定义或判定定理分析：线段垂直平分线需满足两个条件，一是垂直于线段AB，二是平分线段AB；也可通过“两点确定一条直线”，证明直线CD上有两个点到A、B的距离相等来判定，接下来我们逐个验证4个条件是否满足要求即可。
【解析】
我们对每个条件逐一分析：
1. 条件①：已知$AB ⊥ CD$且$CE=DE$，仅能说明AB垂直且平分CD，即AB是线段CD的垂直平分线，无法推出$AE=BE$，因此不能判定CD是AB的垂直平分线；
2. 条件②：已知$AC=BC$，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可得点C在AB的垂直平分线上；同理$AD=BD$可得点D在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，因此直线CD是AB的垂直平分线；
3. 条件③：已知CD平分$∠ ACB$，则$∠ ACE=∠ BCE$，又$AB ⊥ CD$，故$∠ AEC=∠ BEC=90°$。在$△ ACE$和$△ BCE$中：
$\begin{cases}∠ ACE=∠ BCE \\CE=CE \\∠ AEC=∠ BEC\end{cases}$
$\therefore △ ACE ≌ △ BCE(\mathrm{ASA})$，可得$AE=BE$，即CD垂直且平分AB，因此CD是AB的垂直平分线；
4. 条件④：已知$AB ⊥ CD$且$AE=BE$，直接符合线段垂直平分线的定义，因此CD是AB的垂直平分线。
综上，仅条件①不能判定直线CD为线段AB的垂直平分线。
【答案】
①
【知识点】
线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题考查线段垂直平分线的判定，解题时要注意区分两个线段互相垂直平分时的主宾关系，不要将“AB垂直平分CD”和“CD垂直平分AB”混淆，结合判定规则逐一验证即可得出结论。
【难度系数】
0.7

5.(2024·赣州期中)求证:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
请把下面的说理过程补充完整.
已知:如图,在△ABC中,边AB,BC的垂直平分线相交于点P,分别交AB,BC于点E,F.
求证:AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P,且.
证明:∵点P是AB边垂直平分线上的一点,
∴PB=().
同理可得,.
∴PA=PC(等量代换).
∴点P在边垂直平分线上(),
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P.

5.$PA=PC=PB$ $PA$ 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 $PB=PC$ $AC$ 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上

【分析】
要证明三角形三条边的垂直平分线交于一点，且该点到三个顶点距离相等，我们可以从已知条件出发：首先AB、BC的垂直平分线已经交于点P，先利用线段垂直平分线的性质，得到点P到线段两端的距离相等，推导出PA=PB、PB=PC，再通过等量代换得到PA=PC，最后利用线段垂直平分线的判定，就能证明点P也在AC的垂直平分线上，同时得到点P到三个顶点的距离相等的结论。
【解析】
求证：AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P，且$\boldsymbol{PA=PB=PC}$。
证明:
∵点P是AB边垂直平分线上的一点,
∴$PB=\boldsymbol{PA}$（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）。
同理可得，$\boldsymbol{PB=PC}$。
∴$PA=PC$(等量代换)。
∴点P在$\boldsymbol{AC}$边垂直平分线上（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）,
∴AB,BC,AC的垂直平分线相交于点P，且PA=PB=PC。
【答案】
$PA=PC=PB$；$PA$；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；$PB=PC$；$AC$；与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，考查线段垂直平分线性质和判定的综合应用，逻辑推导链条清晰，正向用性质得线段相等，反向用判定证明点在垂直平分线上，能帮助理解三角形三边垂直平分线共点的特性。
【难度系数】
0.8

6.(2025·德化期末)下列说法，正确的是 ()

A.每个定理都有逆定理
B.真命题的逆命题都是真命题
C.每个命题都有逆命题
D.假命题的逆命题都是假命题

6.C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确命题、逆命题、定理、逆定理的基本概念，再逐一分析每个选项：首先，任何命题都由条件和结论两部分组成，将条件和结论互换即可得到它的逆命题，因此所有命题都有逆命题，但逆命题的真假和原命题没有必然联系；而定理是经过证明的真命题，只有当定理的逆命题也是真命题时，这个逆命题才是原定理的逆定理，不是所有定理都有逆定理。接下来结合实例逐一验证每个选项的正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：定理是经过证明的真命题，但定理的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”是定理，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，因此该定理没有逆定理，不是每个定理都有逆定理，A错误。
B选项：真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，B错误。
C选项：命题由条件和结论两部分构成，将任意命题的条件和结论互换，就能得到它的逆命题，因此每个命题都有逆命题，C正确。
D选项：假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题“相等的角是对顶角”的逆命题“对顶角相等”是真命题，D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
命题与逆命题；定理与逆定理；真假命题判断
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分命题和定理的逆命题相关性质，要注意原命题和逆命题的真假性没有必然关联，只有定理的逆命题经证明为真时，才存在逆定理，掌握基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.8

7.(2025·东明期末)下列命题的逆命题是真命题的是 ()

A.如果 $a ＞ b$,那么 $ac ＞ bc$
B.如果 $a = b = 0$,那么 $ab = 0$
C.如果 $a ＞ b$,那么 $a^2 ＞ b^2$
D.如果 $|a| = |b|$,那么 $a = b$

7.D

【分析】
解题需分两步走：第一步先明确逆命题的改写规则，即把原命题的条件和结论互换位置，得到对应逆命题；第二步逐一改写每个选项的逆命题，结合不等式性质、有理数乘法、乘方、绝对值的相关知识判断逆命题的真假，最终选出符合要求的选项即可。
【解析】
原命题“如果p，那么q”的逆命题为“如果q，那么p”，逐一分析如下：
A. 原命题逆命题为“如果$ac＞bc$，那么$a＞b$”。当$c＜0$时，不等式$ac＞bc$两边同时除以负数$c$，不等号方向改变，可得$a＜b$，因此逆命题为假命题，不符合要求。
B. 原命题逆命题为“如果$ab=0$，那么$a=b=0$”。只要$a$、$b$其中一个为0，$ab$的结果就为0，例如$a=0$、$b=2$时$ab=0$，不满足$a=b=0$，因此逆命题为假命题，不符合要求。
C. 原命题逆命题为“如果$a^2＞b^2$，那么$a＞b$”。举反例：$a=-3$，$b=1$时，$a^2=9＞1=b^2$，但$a=-3＜1=b$，因此逆命题为假命题，不符合要求。
D. 原命题逆命题为“如果$a=b$，那么$|a|=|b|$”。两个相等的数的绝对值一定相等，该结论恒成立，因此逆命题为真命题，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
逆命题的定义；真假命题判断；绝对值的性质
【点评】
本题考查命题相关的基础知识点，核心是正确改写逆命题，判断假命题时可通过举反例快速验证，属于命题模块的常规考查题型。
【难度系数】
0.8

8.命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是

8.如果两个图形全等,那么这两个图形成轴对称

【分析】
要写出一个命题的逆命题，首先需要明确“如果……那么……”形式命题的结构：“如果”后面的内容是题设（条件），“那么”后面的内容是结论。逆命题的改写规则是将原命题的题设和结论互换位置。本题中原命题的题设是“两个图形成轴对称”，结论是“这两个图形全等”，将二者互换即可得到逆命题。
【解析】
1. 拆分原命题的组成：原命题“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”中，题设为“两个图形成轴对称”，结论为“这两个图形全等”。
2. 互换题设和结论，按照“如果……那么……”的格式重组语句，得到逆命题：如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称。
【答案】
如果两个图形全等,那么这两个图形成轴对称
【知识点】
逆命题的改写，命题的构成
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确拆分原命题的条件和结论，掌握逆命题的改写规则即可顺利作答。
【难度系数】
0.9