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9.写出下列命题的逆命题,并判断逆命题的真假.
(1)如果$a＞b$ ,那么$am^2＞bm^2$;
(2)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余;
(3)对顶角相等;
(4)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
(5)直角都相等.
(1)如果$a＞b$ ,那么$am^2＞bm^2$;
(2)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余;
(3)对顶角相等;
(4)两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;
(5)直角都相等.
答案
9.(1)逆命题:如果$am^2＞bm^2$,那么$a＞b$,为真命题
(2)逆命题:如果一个三角形的两个内角互余,那么它是直角三角形,为真命题
(3)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,为假命题
(4)逆命题:同位角相等,两直线平行,为真命题
(5)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是直角,为假命题
(2)逆命题:如果一个三角形的两个内角互余,那么它是直角三角形,为真命题
(3)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,为假命题
(4)逆命题:同位角相等,两直线平行,为真命题
(5)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是直角,为假命题
解析
【分析】
解决这类问题需分三步进行：①先把原命题转化为“如果…那么…”的标准形式，准确区分命题的题设（条件）和结论两部分；②将原命题的题设和结论互换位置，得到对应的逆命题；③结合已学的代数、几何定理判断逆命题真假，符合定理的为真命题，能举出反例的为假命题。
【解析】
我们逐个分析求解：
(1) 原命题题设为$a＞b$，结论为$am^2＞bm^2$，互换后得逆命题。因为$am^2＞bm^2$时$m^2$必为正数，不等式两边除以正数不等号方向不变，可推出$a＞b$，为真命题。
(2) 原命题题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“两个锐角互余”，互换后得逆命题。两个内角互余则和为$90°$，第三个角为$90°$，可推出是直角三角形，为真命题。
(3) 先将原命题改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，互换题设和结论得逆命题。举反例：两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，因此为假命题。
(4) 原命题题设为“两直线平行”，结论为“同位角相等”，互换后得逆命题，这是平行线的判定定理，符合几何事实，为真命题。
(5) 先将原命题改写为“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，互换题设和结论得逆命题。举反例：两个$30°$的角相等但不是直角，因此为假命题。
【答案】
(1)逆命题:如果$am^2＞bm^2$,那么$a＞b$,为真命题
(2)逆命题:如果一个三角形的两个内角互余,那么它是直角三角形,为真命题
(3)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,为假命题
(4)逆命题:同位角相等,两直线平行,为真命题
(5)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是直角,为假命题
【知识点】
逆命题改写、真假命题判定
【点评】
本题考查互逆命题的改写规则与真假判断方法，解题核心是准确拆分原命题的条件和结论，判断假命题只需举出1个反例即可，属于命题模块的基础考查题。
【难度系数】
0.8
解决这类问题需分三步进行：①先把原命题转化为“如果…那么…”的标准形式，准确区分命题的题设（条件）和结论两部分；②将原命题的题设和结论互换位置，得到对应的逆命题；③结合已学的代数、几何定理判断逆命题真假，符合定理的为真命题，能举出反例的为假命题。
【解析】
我们逐个分析求解：
(1) 原命题题设为$a＞b$，结论为$am^2＞bm^2$，互换后得逆命题。因为$am^2＞bm^2$时$m^2$必为正数，不等式两边除以正数不等号方向不变，可推出$a＞b$，为真命题。
(2) 原命题题设为“一个三角形是直角三角形”，结论为“两个锐角互余”，互换后得逆命题。两个内角互余则和为$90°$，第三个角为$90°$，可推出是直角三角形，为真命题。
(3) 先将原命题改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，互换题设和结论得逆命题。举反例：两直线平行的同位角相等，但不是对顶角，因此为假命题。
(4) 原命题题设为“两直线平行”，结论为“同位角相等”，互换后得逆命题，这是平行线的判定定理，符合几何事实，为真命题。
(5) 先将原命题改写为“如果两个角是直角，那么这两个角相等”，互换题设和结论得逆命题。举反例：两个$30°$的角相等但不是直角，因此为假命题。
【答案】
(1)逆命题:如果$am^2＞bm^2$,那么$a＞b$,为真命题
(2)逆命题:如果一个三角形的两个内角互余,那么它是直角三角形,为真命题
(3)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是对顶角,为假命题
(4)逆命题:同位角相等,两直线平行,为真命题
(5)逆命题:如果两个角相等,那么这两个角是直角,为假命题
【知识点】
逆命题改写、真假命题判定
【点评】
本题考查互逆命题的改写规则与真假判断方法，解题核心是准确拆分原命题的条件和结论，判断假命题只需举出1个反例即可，属于命题模块的基础考查题。
【难度系数】
0.8
10.(教材P67练习T2变式)如图,已知OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.求证:
(1)PO平分∠APB;
(2)OP是AB的垂直平分线.
(1)PO平分∠APB;
(2)OP是AB的垂直平分线.
答案
10.(1)$\because OP$平分$∠ AOB$,$PA ⊥ OA$,$PB ⊥ OB$,$\therefore PA = PB$,在$\mathrm{Rt}△ AOP$和$\mathrm{Rt}△ BOP$中,$\begin{cases} PA = PB, \\ OP = OP, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ AOP ≌ \mathrm{Rt}△ BOP (\mathrm{HL})$,$\therefore ∠ APO = ∠ BPO$,即$PO$平分$∠ APB$
(2)$\because \mathrm{Rt}△ AOP ≌ \mathrm{Rt}△ BOP$,$\therefore OA=OB$,又$\because PA=PB$,$\therefore OP$是$AB$的垂直平分线
(2)$\because \mathrm{Rt}△ AOP ≌ \mathrm{Rt}△ BOP$,$\therefore OA=OB$,又$\because PA=PB$,$\therefore OP$是$AB$的垂直平分线
解析
【分析】
要证明(1)中PO平分∠APB，只需证∠APO=∠BPO，可通过证明两角所在的Rt△AOP和Rt△BOP全等推导：首先根据角平分线的性质可得PA=PB，结合公共边OP，即可用HL判定两个直角三角形全等，得到对应角相等。要证明(2)中OP是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由全等可得OA=OB，即点O在AB的垂直平分线上，再结合已证的PA=PB，可知点P也在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可得证。
【解析】
(1) $\because OP$平分$∠ AOB$，$PA ⊥ OA$，$PB ⊥ OB$，
$\therefore PA = PB$，
在$\mathrm{Rt}△ AOP$和$\mathrm{Rt}△ BOP$中，
$\begin{cases} PA = PB, \\ OP = OP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOP ≌ \mathrm{Rt}△ BOP (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ APO = ∠ BPO$，即$PO$平分$∠ APB$。
(2) $\because \mathrm{Rt}△ AOP ≌ \mathrm{Rt}△ BOP$，
$\therefore OA=OB$，
又$\because PA=PB$，
$\therefore OP$是$AB$的垂直平分线。
【答案】
(1) PO平分∠APB，得证；
(2) OP是AB的垂直平分线，得证。
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了角平分线、全等三角形、线段垂直平分线的相关知识，解题核心是先利用角平分线性质得到线段相等，证明三角形全等后，再结合对应性质和判定定理推导结论，是几何模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
要证明(1)中PO平分∠APB，只需证∠APO=∠BPO，可通过证明两角所在的Rt△AOP和Rt△BOP全等推导：首先根据角平分线的性质可得PA=PB，结合公共边OP，即可用HL判定两个直角三角形全等，得到对应角相等。要证明(2)中OP是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，由全等可得OA=OB，即点O在AB的垂直平分线上，再结合已证的PA=PB，可知点P也在AB的垂直平分线上，两点确定一条直线，即可得证。
【解析】
(1) $\because OP$平分$∠ AOB$，$PA ⊥ OA$，$PB ⊥ OB$，
$\therefore PA = PB$，
在$\mathrm{Rt}△ AOP$和$\mathrm{Rt}△ BOP$中，
$\begin{cases} PA = PB, \\ OP = OP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AOP ≌ \mathrm{Rt}△ BOP (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ APO = ∠ BPO$，即$PO$平分$∠ APB$。
(2) $\because \mathrm{Rt}△ AOP ≌ \mathrm{Rt}△ BOP$，
$\therefore OA=OB$，
又$\because PA=PB$，
$\therefore OP$是$AB$的垂直平分线。
【答案】
(1) PO平分∠APB，得证；
(2) OP是AB的垂直平分线，得证。
【知识点】
角平分线的性质、直角三角形全等判定、线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，综合考查了角平分线、全等三角形、线段垂直平分线的相关知识，解题核心是先利用角平分线性质得到线段相等，证明三角形全等后，再结合对应性质和判定定理推导结论，是几何模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
11.(教材P93复习题T10变式)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=90°,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
(1)求证:CF=EB;
(2)连接CE,求证:AD垂直平分CE.
(1)求证:CF=EB;
(2)连接CE,求证:AD垂直平分CE.
答案
11.(1)$\because DE ⊥ AB$于点$E$,$\therefore ∠ DEB=90°$,又$AD$平分$∠ BAC$,$∠ ACB=90°$,$\therefore DC=DE$,在$\mathrm{Rt}△ DCF$和$\mathrm{Rt}△ DEB$中,$\begin{cases} DF=DB, \\ DC=DE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ DCF ≌ \mathrm{Rt}△ DEB (\mathrm{HL})$,$\therefore CF=EB$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED (\mathrm{HL})$,$\therefore AC=AE$,$\therefore$点$A$在$CE$的垂直平分线上,$\because DC=DE$,$\therefore$点$D$在$CE$的垂直平分线上,$\therefore AD$垂直平分$CE$
(2)在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中,$\begin{cases} AD=AD, \\ DC=DE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED (\mathrm{HL})$,$\therefore AC=AE$,$\therefore$点$A$在$CE$的垂直平分线上,$\because DC=DE$,$\therefore$点$D$在$CE$的垂直平分线上,$\therefore AD$垂直平分$CE$
解析
【分析】
(1)要证明CF=EB，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解：首先根据角平分线的性质，可得角平分线上的点D到角两边AC、AB的距离相等，即DC=DE；结合已知BD=DF，可利用HL定理证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可得到CF=EB。
(2)要证明AD垂直平分CE，根据线段垂直平分线的判定定理，只要证明点A和点D都在线段CE的垂直平分线上即可：先利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到AC=AE，说明点A在CE的垂直平分线上；再结合(1)中已得DC=DE，说明点D也在CE的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，即可推出AD垂直平分CE。
【解析】
(1)
∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
又
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在$\mathrm{Rt}△ DCF$和$\mathrm{Rt}△ DEB$中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ DCF ≌ \mathrm{Rt}△ DEB (\mathrm{HL})$，
∴CF=EB。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DC=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED (\mathrm{HL})$，
∴AC=AE，
∴点A在CE的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵DC=DE，
∴点D也在CE的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分CE。
【答案】
(1)CF=EB，得证；
(2)AD垂直平分CE，得证。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将角平分线、全等三角形、线段垂直平分线的相关性质判定结合考查，解题的关键是找准全等三角形的对应边条件，熟练应用垂直平分线的判定规则，掌握这类题型能为复杂几何证明打下扎实基础。
【难度系数】
0.7
(1)要证明CF=EB，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等求解：首先根据角平分线的性质，可得角平分线上的点D到角两边AC、AB的距离相等，即DC=DE；结合已知BD=DF，可利用HL定理证明Rt△DCF≌Rt△DEB，即可得到CF=EB。
(2)要证明AD垂直平分CE，根据线段垂直平分线的判定定理，只要证明点A和点D都在线段CE的垂直平分线上即可：先利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，得到AC=AE，说明点A在CE的垂直平分线上；再结合(1)中已得DC=DE，说明点D也在CE的垂直平分线上，根据两点确定一条直线，即可推出AD垂直平分CE。
【解析】
(1)
∵DE⊥AB于点E，
∴∠DEB=90°，
又
∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，
∴DC=DE（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在$\mathrm{Rt}△ DCF$和$\mathrm{Rt}△ DEB$中，
$\begin{cases} DF=DB \\ DC=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ DCF ≌ \mathrm{Rt}△ DEB (\mathrm{HL})$，
∴CF=EB。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中，
$\begin{cases} AD=AD \\ DC=DE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD ≌ \mathrm{Rt}△ AED (\mathrm{HL})$，
∴AC=AE，
∴点A在CE的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），
∵DC=DE，
∴点D也在CE的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AD垂直平分CE。
【答案】
(1)CF=EB，得证；
(2)AD垂直平分CE，得证。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，将角平分线、全等三角形、线段垂直平分线的相关性质判定结合考查，解题的关键是找准全等三角形的对应边条件，熟练应用垂直平分线的判定规则，掌握这类题型能为复杂几何证明打下扎实基础。
【难度系数】
0.7
12.(学科内综合)如图,在$△ ABC$中,D是BC的中点,过D点的直线EG交AB于点E,交AB的平行线CG于点G,DF⊥EG,交AC于点F.
(1)求证:$BE=CG$;
(2)判断$BE+CF$与$EF$的大小关系,并证明你的结论.
(1)求证:$BE=CG$;
(2)判断$BE+CF$与$EF$的大小关系,并证明你的结论.
答案
12.(1)$\because D$是$BC$的中点,$\therefore BD=CD$,$\because AB // CG$,$\therefore ∠ DBE = ∠ DCG$,$\because ∠ BDE = ∠ CDG$,$\therefore △ BDE ≌ △ CDG (\mathrm{ASA})$,$\therefore BE=CG$
(2)$BE+CF＞EF$.理由:连接$FG$,$\because △ BDE ≌ △ CDG$,$\therefore DE=DG$,又$\because FD ⊥ EG$,$\therefore FD$垂直平分$EG$,$\therefore EF=GF$,又$\because$在$△ CFG$中,$CG+CF＞GF$,$\therefore BE+CF＞EF$
(2)$BE+CF＞EF$.理由:连接$FG$,$\because △ BDE ≌ △ CDG$,$\therefore DE=DG$,又$\because FD ⊥ EG$,$\therefore FD$垂直平分$EG$,$\therefore EF=GF$,又$\because$在$△ CFG$中,$CG+CF＞GF$,$\therefore BE+CF＞EF$
解析
【分析】
(1)要证明线段相等，可先证明线段所在的三角形全等。已知D是BC中点，可得BD=CD；由AB//CG可推出内错角∠DBE=∠DCG，再结合对顶角∠BDE=∠CDG，满足ASA全等判定条件，证得△BDE≌△CDG后即可得到BE=CG。
(2)判断线段和的大小关系，可通过等线段转化，将三条线段放到同一个三角形中利用三边关系判断。首先借助第一问结论将BE替换为CG，只需比较CG+CF与EF的大小即可；连接FG，由全等得DE=DG，结合DF⊥EG可知FD是EG的垂直平分线，根据垂直平分线性质得EF=FG，此时CG、CF、GF是△CFG的三边，根据三角形三边关系即可推出结论。
【解析】
(1)证明：
∵D是BC的中点，
∴$BD=CD$，
∵$AB// CG$，
∴$∠DBE = ∠DCG$，
又
∵$∠BDE = ∠CDG$，
∴$△ BDE ≌ △ CDG (\mathrm{ASA})$，
∴$BE=CG$。
(2)$BE+CF＞EF$，证明如下：
连接$FG$，
∵$△ BDE ≌ △ CDG$，
∴$DE=DG$，
∵$FD⊥EG$，
∴FD垂直平分线段EG，
根据线段垂直平分线的性质可得$EF=GF$，
在$△ CFG$中，由三角形三边关系得$CG+CF＞GF$，
将$CG$替换为$BE$，$GF$替换为$EF$，可得$BE+CF＞EF$。
【答案】
(1)$BE=CG$，证明成立；
(2)$BE+CF＞EF$。
【知识点】
三角形全等的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是典型的几何综合题，核心解题思路是利用全等三角形完成等线段转化，再结合线段垂直平分线的性质将待比较的线段转移到同一三角形中，借助三角形三边关系完成判断，充分体现了几何解题的转化思想。
【难度系数】
0.7
(1)要证明线段相等，可先证明线段所在的三角形全等。已知D是BC中点，可得BD=CD；由AB//CG可推出内错角∠DBE=∠DCG，再结合对顶角∠BDE=∠CDG，满足ASA全等判定条件，证得△BDE≌△CDG后即可得到BE=CG。
(2)判断线段和的大小关系，可通过等线段转化，将三条线段放到同一个三角形中利用三边关系判断。首先借助第一问结论将BE替换为CG，只需比较CG+CF与EF的大小即可；连接FG，由全等得DE=DG，结合DF⊥EG可知FD是EG的垂直平分线，根据垂直平分线性质得EF=FG，此时CG、CF、GF是△CFG的三边，根据三角形三边关系即可推出结论。
【解析】
(1)证明：
∵D是BC的中点，
∴$BD=CD$，
∵$AB// CG$，
∴$∠DBE = ∠DCG$，
又
∵$∠BDE = ∠CDG$，
∴$△ BDE ≌ △ CDG (\mathrm{ASA})$，
∴$BE=CG$。
(2)$BE+CF＞EF$，证明如下：
连接$FG$，
∵$△ BDE ≌ △ CDG$，
∴$DE=DG$，
∵$FD⊥EG$，
∴FD垂直平分线段EG，
根据线段垂直平分线的性质可得$EF=GF$，
在$△ CFG$中，由三角形三边关系得$CG+CF＞GF$，
将$CG$替换为$BE$，$GF$替换为$EF$，可得$BE+CF＞EF$。
【答案】
(1)$BE=CG$，证明成立；
(2)$BE+CF＞EF$。
【知识点】
三角形全等的判定与性质；线段垂直平分线的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是典型的几何综合题，核心解题思路是利用全等三角形完成等线段转化，再结合线段垂直平分线的性质将待比较的线段转移到同一三角形中，借助三角形三边关系完成判断，充分体现了几何解题的转化思想。
【难度系数】
0.7
