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1.在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=70°$，则$∠ A=$（
A.$40°$
B.$70°$
C.$50°$
D.$60°$
A
）A.$40°$
B.$70°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知条件AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得两个底角∠B和∠C相等；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数，即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等边对等角的性质可得∠B=∠C。
已知∠B=70°，
∴∠C=70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。
因此本题选A选项。
【答案】A
【知识点】1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】本题属于基础题型，重点考查等腰三角形等边对等角性质的应用，以及三角形内角和定理的简单计算，熟练掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】0.9
解题思路：首先根据已知条件AB=AC，可判定△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，可得两个底角∠B和∠C相等；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去两个底角的度数，即可求出顶角∠A的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据等边对等角的性质可得∠B=∠C。
已知∠B=70°，
∴∠C=70°。
根据三角形内角和为180°，可得：
∠A=180°-∠B-∠C=180°-70°-70°=40°。
因此本题选A选项。
【答案】A
【知识点】1.等腰三角形的性质 2.三角形内角和定理
【点评】本题属于基础题型，重点考查等腰三角形等边对等角性质的应用，以及三角形内角和定理的简单计算，熟练掌握基础性质即可快速作答。
【难度系数】0.9
2.(2024·兰州)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=130°$,$DA⊥ AC$,则$∠ ADB=$ (
A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
B
)A.$100°$
B.$115°$
C.$130°$
D.$145°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，可先计算出两个底角∠B、∠C的度数；其次，由DA⊥AC的垂直关系可得∠DAC=90°，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可直接求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠BAC}{2}$=$\frac{180°-130°}{2}$=25°
∵DA⊥AC
∴∠DAC=90°
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠ADB=∠C+∠DAC=25°+90°=115°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，重点考查等腰三角形性质的应用，结合垂直的定义和三角形外角的性质即可快速解题，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，已知△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和为180°，可先计算出两个底角∠B、∠C的度数；其次，由DA⊥AC的垂直关系可得∠DAC=90°，再利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可直接求出∠ADB的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=130°
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠BAC}{2}$=$\frac{180°-130°}{2}$=25°
∵DA⊥AC
∴∠DAC=90°
∵∠ADB是△ADC的外角
∴∠ADB=∠C+∠DAC=25°+90°=115°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；垂直的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，重点考查等腰三角形性质的应用，结合垂直的定义和三角形外角的性质即可快速解题，熟练掌握基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3.(2025·太康期末)如图,等腰$△ ABC$的底角为$30°$,以$C$为圆心,$CA$的长为半径画弧,与底边交于点$D$,连接$AD$,则$∠ BAD$的度数为
$45°$
.答案
3.$45°$
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰△ABC入手，根据等腰三角形底角相等的性质，结合三角形内角和定理先求出顶角∠BAC的度数；再根据“同圆的半径相等”可得CA=CD，即△ACD也为等腰三角形，再次利用等腰三角形性质和内角和定理求出∠CAD的度数；最后用∠BAC减去∠CAD即可得到∠BAD的度数。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，底角为30°
∴∠B=∠ACB=30°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-30°=120°
由题意可知，以C为圆心、CA为半径画弧交BC于D，因此CA=CD
∴△ACD为等腰三角形，顶角∠ACD=30°
∴∠CAD=(180°-∠ACD)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠BAD=∠BAC - ∠CAD=120°-75°=45°
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，考查等腰三角形性质与三角形内角和的综合应用，解题的关键是结合作图条件得到CA=CD，构造出第二个等腰三角形，理清角之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰△ABC入手，根据等腰三角形底角相等的性质，结合三角形内角和定理先求出顶角∠BAC的度数；再根据“同圆的半径相等”可得CA=CD，即△ACD也为等腰三角形，再次利用等腰三角形性质和内角和定理求出∠CAD的度数；最后用∠BAC减去∠CAD即可得到∠BAD的度数。
【解析】
∵△ABC是等腰三角形，底角为30°
∴∠B=∠ACB=30°
根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-30°-30°=120°
由题意可知，以C为圆心、CA为半径画弧交BC于D，因此CA=CD
∴△ACD为等腰三角形，顶角∠ACD=30°
∴∠CAD=(180°-∠ACD)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠BAD=∠BAC - ∠CAD=120°-75°=45°
【答案】
45°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，考查等腰三角形性质与三角形内角和的综合应用，解题的关键是结合作图条件得到CA=CD，构造出第二个等腰三角形，理清角之间的和差关系即可求解。
【难度系数】
0.7
4.(易错题)(2025·武陟期末)若等腰三角形的一个内角为$70°$,则它的顶角的度数是
$70°或40°$
.答案
4.$70°或40°$
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的核心性质：两底角相等，同时结合三角形内角和为180°的定理解题。题目仅说明一个内角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算，最后验证两种情况是否都符合三角形内角要求，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若70°的角是等腰三角形的顶角，则顶角的度数直接为70°；
② 若70°的角是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为70°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 70° × 2 = 40°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$70°或40°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是易错题，易错点是默认已知角为顶角或底角，忽略分类讨论导致漏解。遇到等腰三角形已知内角度数求角的问题时，若未明确已知角是顶角还是底角，必须分情况讨论，同时要验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
首先回忆等腰三角形的核心性质：两底角相等，同时结合三角形内角和为180°的定理解题。题目仅说明一个内角为70°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况分别计算，最后验证两种情况是否都符合三角形内角要求，避免漏解。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若70°的角是等腰三角形的顶角，则顶角的度数直接为70°；
② 若70°的角是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，另一个底角也为70°，结合三角形内角和为180°，可得顶角度数为：$180° - 70° × 2 = 40°$。
两种情况均满足三角形内角和定理，均成立。
【答案】
$70°或40°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是易错题，易错点是默认已知角为顶角或底角，忽略分类讨论导致漏解。遇到等腰三角形已知内角度数求角的问题时，若未明确已知角是顶角还是底角，必须分情况讨论，同时要验证结果是否符合三角形的基本性质。
【难度系数】
0.6
5.(2025·宜春期末)如图，$AB=AC$，$∠ A=50°$，$AB$的垂直平分线$MN$交$AC$于$D$，求$∠ DBC$的度数.
答案
5.$\because AB=AC,∠ A=50°,\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=65°$,$\because MN$垂直平分$AB,\therefore AD=BD,\therefore ∠ ABD=∠ A=50°,\therefore ∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=65°-50°=15°$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件等腰三角形$AB=AC$、顶角$∠ A=50°$入手，利用等腰三角形两底角相等的性质结合三角形内角和，先求出底角$∠ ABC$的度数；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到$AD=BD$，推出$∠ ABD=∠ A$；最后用$∠ ABC$减去$∠ ABD$即可求出$∠ DBC$的度数。
【解析】
$\because AB=AC,∠ A=50°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
$\because MN$是$AB$的垂直平分线，点$D$在$MN$上，
$\therefore AD=BD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ A=50°$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=65°-50°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何角度计算的基础题型，是等腰三角形与线段垂直平分线性质的综合应用，解题核心是通过垂直平分线的性质将线段相等转化为角相等，结合等腰三角形的角度关系求解，是高频基础考点。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件等腰三角形$AB=AC$、顶角$∠ A=50°$入手，利用等腰三角形两底角相等的性质结合三角形内角和，先求出底角$∠ ABC$的度数；再根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到$AD=BD$，推出$∠ ABD=∠ A$；最后用$∠ ABC$减去$∠ ABD$即可求出$∠ DBC$的度数。
【解析】
$\because AB=AC,∠ A=50°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ C=\frac{1}{2}×(180°-∠ A)=\frac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
$\because MN$是$AB$的垂直平分线，点$D$在$MN$上，
$\therefore AD=BD$，
$\therefore ∠ ABD=∠ A=50°$，
$\therefore ∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=65°-50°=15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何角度计算的基础题型，是等腰三角形与线段垂直平分线性质的综合应用，解题核心是通过垂直平分线的性质将线段相等转化为角相等，结合等腰三角形的角度关系求解，是高频基础考点。
【难度系数】
0.8
6.(2025·洛阳期末)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是边BC上的高,则下列结论不正确的是 (
A.$BD=CD$
B.$∠BAC=∠ABC$
C.AD平分$∠BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
B
)A.$BD=CD$
B.$∠BAC=∠ABC$
C.AD平分$∠BAC$
D.$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
答案
6.B
解析
【分析】
首先明确题目给出AB=AC的等腰△ABC，AD是底边BC上的高，需结合等腰三角形的性质逐一判断选项正误，选出不正确的结论。思考路径：先回忆等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，据此判断A、C选项；再根据等底同高的三角形面积相等判断D选项；最后根据等腰三角形仅两个底角相等，顶角和底角不一定相等的特征，判断B选项即可。
【解析】
解：已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC。
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既是BC边上的中线，也是∠BAC的角平分线，因此可得BD=CD，∠BAD=∠CAD（即AD平分∠BAC），故A、C选项结论正确。
2. △ABD和△ACD的底BD=CD，高均为AD，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，故D选项结论正确。
3. 等腰三角形仅两个底角相等，即∠ABC=∠ACB，顶角∠BAC和底角∠ABC不一定相等，仅等边三角形中二者才相等，题目未说明△ABC是等边三角形，因此B选项结论错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形角的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的核心性质，熟练掌握“三线合一”和等腰三角形的角的特征即可快速判断正误，是等腰三角形性质的常规考查题。
【难度系数】
0.8
首先明确题目给出AB=AC的等腰△ABC，AD是底边BC上的高，需结合等腰三角形的性质逐一判断选项正误，选出不正确的结论。思考路径：先回忆等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，据此判断A、C选项；再根据等底同高的三角形面积相等判断D选项；最后根据等腰三角形仅两个底角相等，顶角和底角不一定相等的特征，判断B选项即可。
【解析】
解：已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC。
1. 根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD既是BC边上的中线，也是∠BAC的角平分线，因此可得BD=CD，∠BAD=∠CAD（即AD平分∠BAC），故A、C选项结论正确。
2. △ABD和△ACD的底BD=CD，高均为AD，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，故D选项结论正确。
3. 等腰三角形仅两个底角相等，即∠ABC=∠ACB，顶角∠BAC和底角∠ABC不一定相等，仅等边三角形中二者才相等，题目未说明△ABC是等边三角形，因此B选项结论错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形三线合一；等腰三角形角的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查等腰三角形的核心性质，熟练掌握“三线合一”和等腰三角形的角的特征即可快速判断正误，是等腰三角形性质的常规考查题。
【难度系数】
0.8
7. 现实生活 如图，在三角测平架中，AB=AC，在BC的中点D处挂一重锤，让它自然下垂.如果调整架身，使重锤线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置.这种做法依据的数学原理是
等腰三角形的三线合一
.答案
7.等腰三角形的三线合一
解析
【分析】
解题时先提取题中的几何条件：①由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形；②D是BC的中点，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线。重锤自然下垂的方向为竖直方向，要确认BC水平，只需证明AD与BC垂直，结合等腰三角形的性质，即可对应到等腰三角形三线合一的原理。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
又因为D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线；
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合，可得AD⊥BC。
由于重锤自然下垂时AD为竖直方向，因此与竖直方向垂直的BC就处于水平位置，所以该做法依据的是等腰三角形的三线合一。
【答案】
等腰三角形的三线合一
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合生活实际考查等腰三角形性质的应用，需要学生将生活场景抽象为几何模型，用所学数学知识解释实际应用原理，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题中的几何条件：①由AB=AC可判断△ABC是等腰三角形；②D是BC的中点，说明AD是等腰△ABC底边BC上的中线。重锤自然下垂的方向为竖直方向，要确认BC水平，只需证明AD与BC垂直，结合等腰三角形的性质，即可对应到等腰三角形三线合一的原理。
【解析】
已知AB=AC，因此△ABC是等腰三角形；
又因为D是BC的中点，所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线；
根据等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线互相重合，可得AD⊥BC。
由于重锤自然下垂时AD为竖直方向，因此与竖直方向垂直的BC就处于水平位置，所以该做法依据的是等腰三角形的三线合一。
【答案】
等腰三角形的三线合一
【知识点】
等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题结合生活实际考查等腰三角形性质的应用，需要学生将生活场景抽象为几何模型，用所学数学知识解释实际应用原理，体现了数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.8
8.如图,在等腰$△ ABC$中,$AC=BC$,点$D$是$AB$边上的中点,$DE // AC$,交$BC$于点$E$.若$∠ A=40°$,则$∠ CDE$的度数等于________.
答案
8.$50°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到等腰△ABC中AC=BC，结合∠A=40°，可利用等腰三角形等边对等角及三角形内角和求出顶角∠ACB的度数；②看到D是等腰三角形底边AB的中点，想到等腰三角形三线合一的性质，可得CD平分∠ACB，进而求出∠ACD的度数；③最后结合DE//AC的条件，利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵AC=BC，∠A=40°，
∴∠B=∠A=40°（等腰三角形等边对等角），
由三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°，
∵AC=BC，D是AB边上的中点，
∴CD平分∠ACB（等腰三角形三线合一），
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
又
∵DE//AC，
∴∠CDE=∠ACD=50°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
50°
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查等腰三角形和平行线性质的综合应用，解题的突破口是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，准确找到角之间的等量关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：①看到等腰△ABC中AC=BC，结合∠A=40°，可利用等腰三角形等边对等角及三角形内角和求出顶角∠ACB的度数；②看到D是等腰三角形底边AB的中点，想到等腰三角形三线合一的性质，可得CD平分∠ACB，进而求出∠ACD的度数；③最后结合DE//AC的条件，利用平行线内错角相等的性质，即可得到∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵AC=BC，∠A=40°，
∴∠B=∠A=40°（等腰三角形等边对等角），
由三角形内角和为180°可得：
∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-40°-40°=100°，
∵AC=BC，D是AB边上的中点，
∴CD平分∠ACB（等腰三角形三线合一），
∴∠ACD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
又
∵DE//AC，
∴∠CDE=∠ACD=50°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
50°
【知识点】
等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查等腰三角形和平行线性质的综合应用，解题的突破口是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质，准确找到角之间的等量关系。
【难度系数】
0.8
9.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$BC$的中点,点$E$在$AD$上,求证:$BE=CE$. 
答案
9.$\because AB=AC$,点$D$是$BC$的中点,$\therefore AD⊥ BC$,$\therefore AD$垂直平分$BC$,$\therefore BE=CE$
解析
【分析】
要证明BE=CE，可通过证明点E在BC的垂直平分线上推导。首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点的条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD垂直BC，即AD是BC的垂直平分线，再结合点E在AD上，利用垂直平分线的性质即可得到BE=CE的结论。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，点D是BC的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$AD⊥BC$，
∴ AD是线段BC的垂直平分线，
又
∵ 点E在AD上，
∴ 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$BE=CE$。
【答案】
$\because AB=AC$,点$D$是$BC$的中点,$\therefore AD⊥ BC$,$\therefore AD$垂直平分$BC$,$\therefore BE=CE$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质推出线段垂直平分线，再结合垂直平分线的性质得到结论，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要证明BE=CE，可通过证明点E在BC的垂直平分线上推导。首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，结合D是BC中点的条件，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD垂直BC，即AD是BC的垂直平分线，再结合点E在AD上，利用垂直平分线的性质即可得到BE=CE的结论。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，点D是BC的中点，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，$AD⊥BC$，
∴ AD是线段BC的垂直平分线，
又
∵ 点E在AD上，
∴ 根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可得$BE=CE$。
【答案】
$\because AB=AC$,点$D$是$BC$的中点,$\therefore AD⊥ BC$,$\therefore AD$垂直平分$BC$,$\therefore BE=CE$
【知识点】
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是利用等腰三角形三线合一的性质推出线段垂直平分线，再结合垂直平分线的性质得到结论，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
