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10.(2025·潼南期末)如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C,D的坐标分别为(1,2),(5,3),(2,4),(-1,-2).
(1)在图中画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁,其中点A,B,C的对称点分别是点A₁,B₁,C₁,并写出点C₁的坐标;
(2)在(1)条件下,在图中标出点E,使得以D,E,C₁,A₁为顶点的四边形是轴对称图形,且对称轴是y轴,并写出点E的坐标.
(1)在图中画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁,其中点A,B,C的对称点分别是点A₁,B₁,C₁,并写出点C₁的坐标;
(2)在(1)条件下,在图中标出点E,使得以D,E,C₁,A₁为顶点的四边形是轴对称图形,且对称轴是y轴,并写出点E的坐标.
答案
10.(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.由图可得,点C₁(2,-4)
(2)如图,点E即为所求.由图可得,E(-2,-4)
解析
【分析】
（1）求解第一问首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数。先分别计算点A、B、C的对称点坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，最后根据规律写出C₁的坐标。
（2）求解第二问首先明确：以y轴为对称轴的轴对称图形，图形上的点两两关于y轴对称，关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。观察已知点D(-1,-2)和A₁(1,-2)，二者恰好关于y轴对称，因此剩下的顶点E应为点C₁关于y轴的对称点，根据y轴对称的坐标规律即可求出E的坐标。
【解析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得：
点A(1,2)的对称点A₁坐标为(1,-2)，点B(5,3)的对称点B₁坐标为(5,-3)，点C(2,4)的对称点C₁坐标为(2,-4)。
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
（2）已知四边形以y轴为对称轴，因此顶点两两关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数。
观察得点D(-1,-2)与A₁(1,-2)关于y轴对称，因此点E是C₁(2,-4)关于y轴的对称点，横坐标变为-2，纵坐标不变，即E的坐标为(-2,-4)，在坐标系中标出该点即可。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.由图可得,点C₁(2,-4)
(2)如图,点E即为所求.由图可得,E(-2,-4)
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；关于y轴对称的坐标特征；轴对称图形的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，核心是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，结合图形分析可以降低解题难度，是轴对称坐标应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）求解第一问首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标保持不变，纵坐标变为原来的相反数。先分别计算点A、B、C的对称点坐标，再在坐标系中描出对应点，顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，最后根据规律写出C₁的坐标。
（2）求解第二问首先明确：以y轴为对称轴的轴对称图形，图形上的点两两关于y轴对称，关于y轴对称的点的坐标规律为纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数。观察已知点D(-1,-2)和A₁(1,-2)，二者恰好关于y轴对称，因此剩下的顶点E应为点C₁关于y轴的对称点，根据y轴对称的坐标规律即可求出E的坐标。
【解析】
（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得：
点A(1,2)的对称点A₁坐标为(1,-2)，点B(5,3)的对称点B₁坐标为(5,-3)，点C(2,4)的对称点C₁坐标为(2,-4)。
在坐标系中依次描出A₁、B₁、C₁三个点，顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
（2）已知四边形以y轴为对称轴，因此顶点两两关于y轴对称，关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数。
观察得点D(-1,-2)与A₁(1,-2)关于y轴对称，因此点E是C₁(2,-4)关于y轴的对称点，横坐标变为-2，纵坐标不变，即E的坐标为(-2,-4)，在坐标系中标出该点即可。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求.由图可得,点C₁(2,-4)
(2)如图,点E即为所求.由图可得,E(-2,-4)
【知识点】
关于x轴对称的坐标特征；关于y轴对称的坐标特征；轴对称图形的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换，核心是熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标变化规律，结合图形分析可以降低解题难度，是轴对称坐标应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
11.(教材 P74 例 2 变式)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1,1),B(3,5),C(4,3).
(1)在图中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A₁B₁C₁;
(2)通过平移,使 C₁移动到原点 O 的位置,画出平移后的△A₂B₂C₂;
(3)在△ABC 中有一点 P(m,n),则经过以上两次变换后点 P 的对应点 P₂的坐标为
(1)在图中画出△ABC 关于 x 轴对称的△A₁B₁C₁;
(2)通过平移,使 C₁移动到原点 O 的位置,画出平移后的△A₂B₂C₂;
(3)在△ABC 中有一点 P(m,n),则经过以上两次变换后点 P 的对应点 P₂的坐标为
(m−4,−n+3)
.答案
11.(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求
(3)(m−4,−n+3)
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 第(1)问：回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。先求出A、B、C三点关于x轴对称的点A₁、B₁、C₁的坐标，再顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
2. 第(2)问：先根据C₁和原点的坐标差，确定C₁平移到原点的平移规律，再将A₁、B₁按照相同规律平移得到A₂、B₂，顺次连接三点得到△A₂B₂C₂。
3. 第(3)问：先将点P按关于x轴对称的规律变换坐标，再按上述平移规律变换坐标，即可得到P₂的坐标。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此△ABC各顶点的对称点坐标为：A₁(1,-1)，B₁(3,-5)，C₁(4,-3)，顺次连接A₁、B₁、C₁即可。
(2) 已知C₁(4,-3)，平移到原点O(0,0)的规律为：横坐标减4，纵坐标加3。按照此规律计算得A₁平移后A₂(-3,2)，B₁平移后B₂(-1,-2)，C₁平移后C₂(0,0)，顺次连接A₂、B₂、C₂即可。
(3) 点P(m,n)先关于x轴对称变换，得到对应点坐标为(m,-n)；再按“横坐标减4，纵坐标加3”的规律平移，最终得到P₂的坐标为(m-4, -n+3)。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求
(3)(m−4,−n+3)
【知识点】
关于x轴对称的坐标规律，平移的坐标变化，坐标与图形变换
【点评】
本题考查轴对称变换和平移变换的坐标规律，属于基础题型，解题核心是牢记两种变换下坐标的变化规则，注意坐标符号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 第(1)问：回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数。先求出A、B、C三点关于x轴对称的点A₁、B₁、C₁的坐标，再顺次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
2. 第(2)问：先根据C₁和原点的坐标差，确定C₁平移到原点的平移规律，再将A₁、B₁按照相同规律平移得到A₂、B₂，顺次连接三点得到△A₂B₂C₂。
3. 第(3)问：先将点P按关于x轴对称的规律变换坐标，再按上述平移规律变换坐标，即可得到P₂的坐标。
【解析】
(1) 关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此△ABC各顶点的对称点坐标为：A₁(1,-1)，B₁(3,-5)，C₁(4,-3)，顺次连接A₁、B₁、C₁即可。
(2) 已知C₁(4,-3)，平移到原点O(0,0)的规律为：横坐标减4，纵坐标加3。按照此规律计算得A₁平移后A₂(-3,2)，B₁平移后B₂(-1,-2)，C₁平移后C₂(0,0)，顺次连接A₂、B₂、C₂即可。
(3) 点P(m,n)先关于x轴对称变换，得到对应点坐标为(m,-n)；再按“横坐标减4，纵坐标加3”的规律平移，最终得到P₂的坐标为(m-4, -n+3)。
【答案】
(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求
(2)如图,△A₂B₂C₂即为所求
(3)(m−4,−n+3)
【知识点】
关于x轴对称的坐标规律，平移的坐标变化，坐标与图形变换
【点评】
本题考查轴对称变换和平移变换的坐标规律，属于基础题型，解题核心是牢记两种变换下坐标的变化规则，注意坐标符号不要出错。
【难度系数】
0.7
12.(几何直观)(2025·荔湾期末)如图,点$A(-3,5),B(-5,2),C(-1,3)$,直线$l$经过点$(0,1)$且与$x$轴平行.
(1)在图中画出$△ ABC$关于直线$l$对称的$△ A'B'C'$,并写出点$A'$的坐标；
(2)若点$P(a,b)$是$△ ABC$内部一点,点$P$关于直线$l$的对称点为$Q$,且$PQ=6$,则$b$的值为
(1)在图中画出$△ ABC$关于直线$l$对称的$△ A'B'C'$,并写出点$A'$的坐标；
(2)若点$P(a,b)$是$△ ABC$内部一点,点$P$关于直线$l$的对称点为$Q$,且$PQ=6$,则$b$的值为
4
.答案
12.(1)如图,△A'B'C'即为所求.由图可得,点A'的坐标为(-3,-3)
(2)4
解析
【分析】
(1) 首先确定直线l的解析式：直线l与x轴平行且过(0,1)，故l为y=1。关于直线y=k对称的点的坐标规律为：横坐标不变，纵坐标满足对称点与原点点纵坐标的平均数为k。据此先计算△ABC三个顶点的对称点坐标，再顺次连接即可得到对称图形，直接读取A'坐标即可。
(2) 根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，故PQ的长度等于点P到直线l距离的2倍。先求出点P到l的距离，再结合P在△ABC内部（位于直线l上方）即可求出b的值。
【解析】
(1) 由题意得直线l的解析式为$y=1$。
关于直线$y=1$对称的点，横坐标不变，纵坐标满足：$y_{\mathrm{对称}} = 2×1 - y_{\mathrm{原}}$。
对于点$A(-3,5)$，其对称点$A'$的纵坐标为$2×1 -5=-3$，横坐标为$-3$，即$A'(-3,-3)$；
同理可得$B(-5,2)$的对称点$B'(-5,0)$，$C(-1,3)$的对称点$C'(-1,-1)$，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得$△ A'B'C'$即为所求。
(2) 点$P(a,b)$与$Q$关于直线$l:y=1$对称，根据轴对称性质，$PQ=2×|b-1|$。
已知$PQ=6$，代入得$2×|b-1|=6$，解得$|b-1|=3$，即$b=4$或$b=-2$。
又因为点$P$是$△ ABC$内部一点，$△ ABC$所有点的纵坐标均大于1，故$b＞1$，因此$b=4$。
【答案】
(1)如图,△A'B'C'即为所求.由图可得,点A'的坐标为(-3,-3)
(2)4
【知识点】
坐标表示轴对称；轴对称的性质；平行于x轴的直线的性质
【点评】
本题侧重考查轴对称的坐标应用，核心是掌握关于平行于x轴的直线对称的点的坐标变化规律，第二问需要注意结合点的位置排除不符合要求的解，整体考查基础，侧重几何直观的应用。
【难度系数】
0.8
(1) 首先确定直线l的解析式：直线l与x轴平行且过(0,1)，故l为y=1。关于直线y=k对称的点的坐标规律为：横坐标不变，纵坐标满足对称点与原点点纵坐标的平均数为k。据此先计算△ABC三个顶点的对称点坐标，再顺次连接即可得到对称图形，直接读取A'坐标即可。
(2) 根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴垂直平分，故PQ的长度等于点P到直线l距离的2倍。先求出点P到l的距离，再结合P在△ABC内部（位于直线l上方）即可求出b的值。
【解析】
(1) 由题意得直线l的解析式为$y=1$。
关于直线$y=1$对称的点，横坐标不变，纵坐标满足：$y_{\mathrm{对称}} = 2×1 - y_{\mathrm{原}}$。
对于点$A(-3,5)$，其对称点$A'$的纵坐标为$2×1 -5=-3$，横坐标为$-3$，即$A'(-3,-3)$；
同理可得$B(-5,2)$的对称点$B'(-5,0)$，$C(-1,3)$的对称点$C'(-1,-1)$，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$，所得$△ A'B'C'$即为所求。
(2) 点$P(a,b)$与$Q$关于直线$l:y=1$对称，根据轴对称性质，$PQ=2×|b-1|$。
已知$PQ=6$，代入得$2×|b-1|=6$，解得$|b-1|=3$，即$b=4$或$b=-2$。
又因为点$P$是$△ ABC$内部一点，$△ ABC$所有点的纵坐标均大于1，故$b＞1$，因此$b=4$。
【答案】
(1)如图,△A'B'C'即为所求.由图可得,点A'的坐标为(-3,-3)
(2)4
【知识点】
坐标表示轴对称；轴对称的性质；平行于x轴的直线的性质
【点评】
本题侧重考查轴对称的坐标应用，核心是掌握关于平行于x轴的直线对称的点的坐标变化规律，第二问需要注意结合点的位置排除不符合要求的解，整体考查基础，侧重几何直观的应用。
【难度系数】
0.8
