10.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD ⊥ BC$于点$D$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ AC$于点$F$，下列结论：①$∠ BAD = ∠ CAD$；②$BD = CD$；③$AD$上任意一点到$AB$，$AC$的距离相等；④若点$P$在直线$AD$上，则$PB = PC$。其中正确的是。

10.①②③④

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，再结合AD⊥BC的条件，优先调用等腰三角形“三线合一”的性质判断结论①②；接着根据①的结论确定AD是角平分线，结合角平分线的性质判断③；再根据②的结论确定AD是BC的垂直平分线，结合垂直平分线的性质判断④，逐个验证即可得到所有正确结论。
【解析】
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等腰三角形，又AD⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得：
1. AD是∠BAC的角平分线，也是BC边上的中线，因此∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①②正确；
2.
∵ AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等，因此AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故③正确；
3.
∵ AD垂直且平分BC，即AD是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等，因此直线AD上的任意点P都满足PB=PC，故④正确。
综上，4个结论都正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
等腰三角形三线合一；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何判断题，综合考查了三类基础几何性质的应用，熟练掌握各性质的内容和适用场景即可快速判断所有结论，解题时可结合图形辅助理解，避免漏判。
【难度系数】
0.8

11. 跨学科 建筑 如图,一钢架$NAM$中,$∠ A=15°$,现要在角的内部焊上等长的钢条(相邻钢条首尾相接)来加固钢架.如$AP_1=P_1P_2=P_2P_3=···$,则这样的钢条最多只能焊上.

11.5根

【分析】
要解决这道题，我们可以利用等腰三角形两底角相等、三角形外角的性质，推导每增加一根等长钢条后对应等腰三角形底角的变化规律，同时结合三角形内角和定理：等腰三角形的底角必须小于90°，当底角≥90°时无法构成三角形，以此确定最多能焊的钢条数量。
【解析】
已知∠A=15°，所有焊接的钢条长度相等，因此每相邻两根钢条与角的边围成的三角形均为等腰三角形：
1. 焊第1根钢条$P_1P_2$时，$AP_1=P_1P_2$，得$∠ AP_2P_1=∠ A=15°$，由三角形外角性质，$∠ P_1P_2P_3=∠ A+∠ AP_2P_1=30°$；
2. 焊第2根钢条$P_2P_3$时，$P_1P_2=P_2P_3$，得$∠ P_2P_3P_1=∠ P_1P_2P_3=30°$，同理可得下一个等腰三角形的底角为$45°$；
3. 以此类推，每新增1根钢条，对应等腰三角形的底角增加$15°$。
由于等腰三角形的底角必须小于$90°$（若底角≥$90°$，两底角和≥$180°$，不符合三角形内角和定理），设最多能焊$n$根钢条，则$15° × n ＜90°$，解得$n＜6$，$n$为正整数，故$n$最大取5。
【答案】
5根
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题结合钢架加固的实际场景，考查等腰三角形相关性质的应用，解题关键是找到底角逐次增加15°的规律，同时注意三角形内角和的隐含限制条件，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7

12.(教材P80练习T2变式)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BDC = 105°$,$∠ ABD = 11°$,求$∠ DBC$的度数.

12.$∠ A=∠ BDC-∠ ABD=105°-11°=94°$,$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-94°}{2}=43°$,$\therefore ∠ DBC=∠ ABC-∠ ABD=43°-11°=32°$

【分析】
解题可按三步思考：第一步，观察角的位置，∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，可求出△ABC的顶角∠A；第二步，已知AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，结合三角形内角和定理，利用等腰三角形两底角相等的性质，可求出底角∠ABC的度数；第三步，根据角的和差关系，用∠ABC减去∠ABD，即可得到∠DBC的度数。
【解析】
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠A=∠BDC-∠ABD=105°-11°=94°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
由三角形内角和为180°可得：
$∠ ABC=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-94°}{2}=43°$，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=43°-11°=32°。
【答案】
$32°$
【知识点】
三角形外角的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查三角形相关角的性质的综合应用，解题关键是先通过外角性质求出等腰三角形的顶角，再结合等腰三角形的性质逐步推导计算，解题思路清晰，运算量小。
【难度系数】
0.7

13.(教材P79例1变式)如图,在△ABC中,D为BC上一点,连接AD,AB=AC=CD,且AD=BD,求∠BAC的度数.

13.设$∠ B=x$,$\because AD=BD$,$\therefore ∠ BAD=∠ B=x$,$\because AB=AC$,$\therefore ∠ C=∠ B=x$,$\because AC=CD$,$\therefore ∠ CAD=∠ CDA=∠ B+∠ BAD=x+x=2x$,$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=3x$,在$△ ABC$中,$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$,$\therefore x+3x+x=180°$,解得$x=36°$,$\therefore ∠ BAC=3x=108°$

【分析】
题目给出多组线段相等的条件，对应多个等腰三角形，解题时可先设最小的底角∠B为x，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，逐步将△ABC的三个内角都用含x的式子表示，再结合三角形内角和为180°的定理列方程求解即可。
【解析】
解：设$∠ B=x$，
$\because AD=BD$，$\therefore ∠ BAD=∠ B=x$，
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ C=∠ B=x$，
$\because AC=CD$，$\therefore ∠ CAD=∠ CDA$，
又$\because ∠ CDA$是$△ ABD$的外角，$\therefore ∠ CDA=∠ B+∠ BAD=x+x=2x$，
$\therefore ∠ CAD=2x$，
$\therefore ∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=x+2x=3x$，
在$△ ABC$中，$∠ BAC+∠ B+∠ C=180°$，
代入得：$3x+x+x=180°$，
解得$x=36°$，
$\therefore ∠ BAC=3x=3×36°=108°$。
【答案】
$108°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型题型，解题核心是通过“等边对等角”建立不同角之间的数量关系，结合方程思想求解角度，能很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

14.(构造法)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$E$,$D$,$F$分别在$AB$,$BC$和$AC$边上,且$BE=CD$,$BD=CF$,过$D$作$DG ⊥ EF$于$G$.求证:$EG=\dfrac{1}{2}EF$.

14.连接$DE$,$DF$,$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C$,又$\because BE=CD$,$BD=CF$,$\therefore △ EBD≌ △ DCF(\mathrm{SAS})$,$\therefore DE=DF$,$\because DG⊥ EF$,$\therefore EG=FG$,$\therefore EG=\frac{1}{2}EF$

【分析】
要证明$EG=\dfrac{1}{2}EF$，本质是证明$G$是$EF$的中点。已知$DG ⊥ EF$，若能证明$△ DEF$是等腰三角形（即$DE=DF$），就可以利用等腰三角形“三线合一”的性质得到$EG=FG$，从而推出结论。要证$DE=DF$，可通过证明$△ EBD$和$△ DCF$全等实现：由$AB=AC$可得等腰$△ ABC$两底角$∠ B=∠ C$，结合已知的$BE=CD$、$BD=CF$，用SAS判定定理即可证明两三角形全等，得到对应边$DE=DF$，即可完成推导。
【解析】
证明：连接$DE$，$DF$。
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$，
又$\because BE=CD$，$BD=CF$，
$\therefore △ EBD≌ △ DCF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=DF$，即$△ DEF$为等腰三角形。
$\because DG⊥ EF$，根据等腰三角形三线合一的性质，
$\therefore EG=FG$，
$\therefore EG=\frac{1}{2}EF$。
【答案】
$EG=\dfrac{1}{2}EF$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合典型题，解题的突破口是合理添加辅助线构造全等三角形，再结合等腰三角形三线合一的性质推导线段关系，能够有效考查对几何基础性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

15.(学科内综合)如图,在$△ ABC$中,$AB=BC$,$BE⊥ AC$于点$E$,$AD⊥ BC$于点$D$,$AD=BD$,$AD$与$BE$交于点$F$,连接$CF$,求证:$BF=2AE$.

15.$\because BE⊥ AC$,$AD⊥ BC$,$\therefore ∠ BEC=∠ ADC=∠ BDF=90°$,$\therefore ∠ DAC+∠ ACB=90°$,$∠ DBF+∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ DAC=∠ DBF$,$\because AD=BD$,$\therefore △ BDF≌ △ ADC(\mathrm{ASA})$,$\therefore BF=AC$,$\because AB=BC$,$BE⊥ AC$,$\therefore AE=CE$,即$AC=2AE$,$\therefore BF=2AE$

【分析】
要证明$BF=2AE$，首先结合已知$AB=BC$、$BE⊥ AC$，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AC=2AE$，因此只需证明$BF=AC$即可。观察图形可知$BF$在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$AC$在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，已知$AD=BD$，可通过同角的余角相等推出两个三角形的一组锐角相等，即可用ASA证明两个三角形全等得到$BF=AC$，进而推出待证结论。
【解析】
证明：$\because BE⊥ AC$，$AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ BEC=∠ ADC=∠ BDF=90°$，
$\therefore ∠ DAC+∠ ACB=90°$，$∠ DBF+∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ DAC=∠ DBF$（同角的余角相等）。
在$△ BDF$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠ DBF=∠ DAC \\BD=AD \\∠ BDF=∠ ADC=90°\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ ADC(\mathrm{ASA})$，
$\therefore BF=AC$。
又$\because AB=BC$，$BE⊥ AC$，
$\therefore AE=CE$（等腰三角形三线合一），即$AC=2AE$，
$\therefore BF=2AE$。
【答案】
$BF=2AE$，得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质；同角的余角相等
【点评】
本题是等腰三角形性质与全等三角形的综合应用题，解题核心是利用转化思想，将线段倍分关系的证明转化为线段相等的证明，通过推导角的等量关系证明全等，再结合三线合一的性质得到结论，能够锻炼几何逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7