1:若二次函数 $y=ax^2+4x+c$ 过点$(-2,-1)$，$(1,5)$，则此二次函数的表达式为 （）

A.$y=2x^2+4x-1$
B.$y=x^2+4x-2$
C.$y=-2x^2+4x+1$
D.$y=2x^2+4x+1$

1.A

【分析】
本题考查用待定系数法求二次函数的表达式，解题思路如下：首先明确二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，我们已知函数图象经过两个点，且解析式中仅含a、c两个未知系数，因此可将两个点的坐标分别代入解析式，得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，再回代到原式即可得到二次函数的表达式，也可通过代入选项验证的方法快速得出答案。
【解析】
将点$(-2,-1)$代入$y=ax^2+4x+c$，得：
$a· (-2)^2 + 4× (-2) + c = -1$
整理得：$4a + c = 7$ ①
将点$(1,5)$代入$y=ax^2+4x+c$，得：
$a· 1^2 + 4× 1 + c = 5$
整理得：$a + c = 1$ ②
用①式减去②式消去c，得：
$3a = 6$，解得$a=2$
将$a=2$代入②式，得：$2 + c = 1$，解得$c=-1$
因此二次函数的表达式为$y=2x^2+4x-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.待定系数法求解析式
2.二次函数点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是熟练掌握函数图象上的点与解析式的关系，能正确代入坐标列方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

2.若二次函数$y=ax^2+bx+c$中$x$与$y$的部分对应值如下表.

则此二次函数的表达式为.

2.$y=-2x^2-12x-13$

【分析】
已知二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，表格给出了多组x、y的对应值，我们可以利用待定系数法求解：首先选取$x=0$的点可直接求出常数$c$，再另外选取两组对应值代入得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出$a$、$b$的值，最后验证所得表达式是否符合表格其他对应值即可。
【解析】
设二次函数表达式为$y=ax^2+bx+c$：
1. 把$x=0$，$y=-13$代入表达式，得$c=-13$；
2. 再选取$x=-2,y=3$和$x=-1,y=-3$两组值代入$y=ax^2+bx-13$，得到方程组：
$\begin{cases}4a-2b-13=3 \\ a-b-13=-3 \end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a-b=8 ① \\ a-b=10 ② \end{cases}$
用①-②消去$b$，得：$a=-2$；
把$a=-2$代入②，得：$-2 - b=10$，解得$b=-12$；
3. 验证：将$x=-3$代入$y=-2x^2-12x-13$，得$y=-2×9 +36 -13=5$，与表格对应值一致，表达式正确。
【答案】
$y=-2x^2-12x-13$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数一般式；解二元一次方程组
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，选择x=0的点代入可直接得到常数c，大幅简化计算，熟练掌握待定系数法的代入、解方程、验证步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. 如图，抛物线$y=x^2+bx+c$（b，c是常数）与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点A和点B，若OA=OB=3，则抛物线的函数表达式为。

3.$y=x^2+2x-3$

【分析】
解题时首先根据OA=OB=3结合点A、B所在的坐标轴及象限，确定两点的坐标，再利用待定系数法，将两点坐标代入抛物线的解析式，依次求出未知系数c和b的值，即可得到抛物线的函数表达式。
【解析】
解：
∵点A在x轴负半轴，且OA=3，
∴点A的坐标为$(-3,0)$；
∵点B在y轴负半轴，且OB=3，
∴点B的坐标为$(0,-3)$。
将$B(0,-3)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
当$x=0$时，$y=c=-3$，即$c=-3$，此时抛物线解析式为$y=x^2+bx-3$。
再将$A(-3,0)$代入$y=x^2+bx-3$，得：
$(-3)^2 + b×(-3) -3 = 0$
化简得：$9-3b-3=0$，即$6-3b=0$，解得$b=2$。
∴抛物线的函数表达式为$y=x^2+2x-3$。
【答案】
$y=x^2+2x-3$
【知识点】
点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题，解题核心是先根据已知线段长度和点的位置确定图象上两点的坐标，再代入解析式求解未知系数，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

4.已知一个二次函数的图象经过点(-1,-5)，(0,-4)和(1,1)，求这个二次函数的表达式.

4.解:设这个二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$. 把 $(-1,-5),(0,-4),(1,1)$ 代入,得$\begin{cases}a-b+c=-5,\\c=-4,\\a+b+c=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=2,\\b=3,\\c=-4.\end{cases}$
∴这个二次函数的表达式为 $y=2x^2+3x-4$.

【分析】
已知二次函数经过三个普通点的坐标，无顶点或与x轴交点的特殊条件，因此选择设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$求解。由于函数图象上的点坐标满足函数表达式，因此将三个点的横、纵坐标分别代入一般式，即可得到含参数$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个参数的值，再代回一般式就能得到所求的二次函数表达式。
【解析】
解：设这个二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c(a≠0)$。
把 $(-1,-5),(0,-4),(1,1)$ 分别代入表达式，得：
$\begin{cases}a-b+c=-5,\\c=-4,\\a+b+c=1,\end{cases}$
将$c=-4$代入其余两个方程，化简得：
$\begin{cases}a-b=-1,\\a+b=5,\end{cases}$
两式相加得$2a=4$，解得$a=2$，将$a=2$代入$a+b=5$，解得$b=3$，因此方程组的解为$\begin{cases}a=2,\\b=3,\\c=-4.\end{cases}$
∴这个二次函数的表达式为 $y=2x^2+3x-4$。
【答案】
$y=2x^2+3x-4$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 二次函数一般式
3. 三元一次方程组求解
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础典型题，核心考查待定系数法的应用，解题关键是根据已知点的特征合理选择函数表达式的形式，熟练掌握三元一次方程组的解法即可快速解题。
【难度系数】
0.8

5.已知抛物线的顶点坐标是$(2,-1)$，且与$y$轴交于点$(0,3)$，则该抛物线的函数表达式是（）

A.$y=x^2 -4x +3$
B.$y=x^2 +4x +3$
C.$y=x^2 +4x -1$
D.$y=x^2 -4x -1$

5.A

【分析】
已知抛物线的顶点坐标，解题时优先选用顶点式求解更简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$，$(h,k)$为顶点坐标），先代入顶点坐标得到仅含参数$a$的表达式，再将抛物线与$y$轴的交点坐标代入求出$a$的值，最后将顶点式展开为一般式，与选项对比即可；也可结合二次函数对称轴公式、常数项的意义用排除法快速筛选正确选项。
【解析】
方法一：顶点式法
设该抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2-1$（$a≠0$），
∵抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$，
∴将$x=0$，$y=3$代入表达式得：
$3=a(0-2)^2-1$，
即$3=4a-1$，解得$a=1$，
∴抛物线表达式为$y=(x-2)^2-1$，
展开得$y=x^2-4x+4-1=x^2-4x+3$。
方法二：排除法
二次函数一般式为$y=ax^2+bx+c$，已知四个选项中$a=1$，
∵顶点横坐标为对称轴，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}=2$，
∴$-\frac{b}{2}=2$，解得$b=-4$，排除B、C选项；
∵抛物线与$y$轴交于$(0,3)$，即$x=0$时$y=c=3$，
D选项中常数项为$-1$，不符合，排除D选项。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式；二次函数的性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，既可以用待定系数法直接求解，也可结合二次函数的性质用排除法快速得到答案，掌握顶点式的适用场景能有效提高解题效率。
【难度系数】
0.8

6.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）

A.$y=2(x+1)^2+8$
B.$y=2(x+1)^2-8$
C.$y=2(x-1)^2+8$
D.$y=2(x-1)^2-8$

6.D

【分析】
解题时先观察二次函数图像特征，我们可以直接获取顶点坐标、与x轴的交点坐标，优先选用顶点式求解更简便。首先回忆二次函数顶点式为$ y=a(x-h)^2+k(a≠0) $，其中$(h,k)$为顶点坐标。第一步先从图中读出顶点坐标，确定h、k的数值，排除不符合的选项；第二步代入已知点坐标求出a的值，或者直接用顶点坐标排除剩余错误选项即可得到答案。
【解析】
解法1（待定系数法）：
由图像可知，二次函数的顶点坐标为$(1,-8)$，因此设二次函数的解析式为$ y=a(x-1)^2-8(a≠0) $。
∵函数图像与x轴交于点$(3,0)$，将$x=3,y=0$代入解析式得：
$ 0=a(3-1)^2-8 $
即$4a=8$，解得$a=2$。
∴该二次函数的表达式为$ y=2(x-1)^2-8 $。
解法2（排除法）：
二次函数顶点式$ y=a(x-h)^2+k $的顶点坐标为$(h,k)$，由图可知顶点坐标为$(1,-8)$：
选项A顶点为$(-1,8)$，选项B顶点为$(-1,-8)$，选项C顶点为$(1,8)$，均不符合顶点坐标特征，直接排除，仅选项D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，关键在于从图像中提取顶点、交点等有效信息，选择顶点式求解可大幅简化计算，也可通过排除法快速锁定答案，需熟练掌握二次函数不同形式解析式对应的图像特征。
【难度系数】
0.7

7. 半开放性题 新趋势 已知某二次函数，当$x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小，且函数图象经过原点，则该二次函数的表达式可能是。（写出一个即可）

7.$y=-2(x-1)^2+2$(答案不唯一)

【分析】
首先根据二次函数的增减性特征分析：二次函数在x=1两侧增减性相反，说明直线x=1是该函数的对称轴；x＜1时y随x增大而增大、x＞1时y随x增大而减小，说明函数开口向下，即二次项系数为负数。又已知函数过原点(0,0)，优先选择顶点式设解析式，代入已知条件即可得到参数的关系，任选符合要求的参数值就能写出解析式。
【解析】
步骤1：确定函数的基本特征
由增减性可知，该二次函数的对称轴为直线$x=1$，且开口向下（二次项系数$a＜0$）。
步骤2：设顶点式解析式
设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2+k$（$a＜0$）。
步骤3：代入过原点的条件求参数关系
∵函数图象经过原点$(0,0)$，将$x=0,y=0$代入解析式得：
$0=a(0-1)^2+k$，化简得$a+k=0$，即$k=-a$。
步骤4：赋值写出解析式
取$a=-2$（任意负数均可），则$k=2$，代入得解析式为$y=-2(x-1)^2+2$。
【答案】
$y=-2(x-1)^2+2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质；待定系数法求解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题属于半开放类基础题，重点考查对二次函数增减性、对称轴的理解，选择顶点式求解可简化计算过程，只要满足题目要求的二次函数解析式均正确。
【难度系数】
0.7

8.二次函数的图象经过点$(4,-3)$，且当$x=3$时，有最大值$-1$，求该二次函数的表达式.

8.解:
∵当 $x=3$ 时,有最大值 $-1$,
∴该二次函数图象的顶点坐标为 $(3,-1)$. 设该二次函数的表达式为 $y=a(x-3)^2-1$. 把 $(4,-3)$ 代入,得 $-3=a·(4-3)^2-1$,解得 $a=-2$.
∴该二次函数的表达式为 $y=-2(x-3)^2-1$.

【分析】
拿到这道题首先观察已知条件：题目明确给出二次函数在x=3时取得最大值-1，根据二次函数的性质，函数的最值对应顶点的纵坐标，取得最值时的自变量值对应顶点的横坐标，因此可直接得到该二次函数的顶点坐标为(3,-1)。已知顶点坐标时，选择顶点式设二次函数表达式比一般式更简便，此时表达式仅含一个未知参数a，再将函数经过的已知点(4,-3)代入表达式求解出a，即可得到完整的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵当x=3时，二次函数有最大值-1，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(3, -1)。
设该二次函数的表达式为顶点式$ y=a(x-3)^2 -1 $（$ a≠0 $），
将点(4, -3)代入上述表达式，得：
$ -3 = a · (4-3)^2 -1 $，
计算得$ -3 = a - 1 $，解得$ a=-2 $。
将$ a=-2 $代入所设顶点式，即可得到二次函数表达式。
【答案】
$ y=-2(x-3)^2 -1 $（或展开为一般式$ y=-2x^2+12x-19 $）
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求解析式；二次函数最值性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是根据题目给出的最值条件快速确定顶点坐标，选择顶点式简化计算，同学们要学会根据已知条件选择合适的解析式形式，提升解题效率。
【难度系数】
0.8