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9.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线$x=-1$，则这个二次函数的表达式为（
A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=x^2 + 2x + 3$
C.$y=-x^2 - 2x - 3$
D.$y=-x^2 - 2x + 3$
D
）A.$y=-x^2 + 2x + 3$
B.$y=x^2 + 2x + 3$
C.$y=-x^2 - 2x - 3$
D.$y=-x^2 - 2x + 3$
答案
9.D
解析
【分析】
解题时首先从图像提取有效信息：二次函数开口向下、与y轴交于(0,3)、与x轴一个交点为(-3,0)，且对称轴为x=-1。我们可以先通过开口方向、y轴交点排除明显错误的选项，再结合二次函数的对称性求解解析式，也可以设交点式代入已知点计算系数，两种思路都能快速得到答案。
【解析】
步骤1：排除错误选项
观察图像可知二次函数开口向下，故二次项系数$a＜0$，选项B中$a=1＞0$，排除B；
二次函数与y轴交于$(0,3)$，故常数项$c=3$，选项C中$c=-3$，排除C；
步骤2：求二次函数与x轴的另一个交点
已知对称轴为直线$x=-1$，二次函数关于对称轴对称，已知一个x轴交点为$(-3,0)$，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，即另一个交点为$(1,0)$；
步骤3：设交点式求解析式
设二次函数解析式为$y=a(x+3)(x-1)$，将点$(0,3)$代入得：
$3=a(0+3)(0-1)$，解得$a=-1$；
步骤4：展开得到一般式
$y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3$，对应选项D；也可验证选项A的对称轴为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，不符合对称轴$x=-1$，排除A。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数对称性；二次函数解析式确定
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题时可灵活结合排除法快速缩小选项范围，再利用图像给出的交点、对称轴信息求解，能有效降低解题难度，提升正确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先从图像提取有效信息：二次函数开口向下、与y轴交于(0,3)、与x轴一个交点为(-3,0)，且对称轴为x=-1。我们可以先通过开口方向、y轴交点排除明显错误的选项，再结合二次函数的对称性求解解析式，也可以设交点式代入已知点计算系数，两种思路都能快速得到答案。
【解析】
步骤1：排除错误选项
观察图像可知二次函数开口向下，故二次项系数$a＜0$，选项B中$a=1＞0$，排除B；
二次函数与y轴交于$(0,3)$，故常数项$c=3$，选项C中$c=-3$，排除C；
步骤2：求二次函数与x轴的另一个交点
已知对称轴为直线$x=-1$，二次函数关于对称轴对称，已知一个x轴交点为$(-3,0)$，设另一个交点横坐标为$x$，则$\frac{-3+x}{2}=-1$，解得$x=1$，即另一个交点为$(1,0)$；
步骤3：设交点式求解析式
设二次函数解析式为$y=a(x+3)(x-1)$，将点$(0,3)$代入得：
$3=a(0+3)(0-1)$，解得$a=-1$；
步骤4：展开得到一般式
$y=-(x+3)(x-1)=-x^2-2x+3$，对应选项D；也可验证选项A的对称轴为$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，不符合对称轴$x=-1$，排除A。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数对称性；二次函数解析式确定
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题时可灵活结合排除法快速缩小选项范围，再利用图像给出的交点、对称轴信息求解，能有效降低解题难度，提升正确率。
【难度系数】
0.7
10. 某抛物线与抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2 -x +3$ 的形状、开口方向相同，与抛物线 $y=x^2 +6x +11$ 顶点相同，则此抛物线的函数表达式为（
A.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +2$
B.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$
C.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -2$
D.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 -2$
B
）A.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 +2$
B.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$
C.$y=\frac{1}{2}(x-3)^2 -2$
D.$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 -2$
答案
10.B
解析
【分析】
解题时先抓住两个核心条件：①抛物线的形状、开口方向由二次项系数a决定，两个抛物线形状、开口方向相同则a相等，由此可先确定所求抛物线的a值；②两个抛物线顶点相同，需要先求出已知抛物线$y=x^2+6x+11$的顶点坐标，再结合求出的a值，用顶点式写出所求抛物线的表达式，最后对应选项即可。
【解析】
1. 确定二次项系数a
∵ 所求抛物线与$y=\frac{1}{2}x^2 -x +3$形状、开口方向相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=\frac{1}{2}$
2. 求抛物线$y=x^2 +6x +11$的顶点坐标
用配方法将一般式化为顶点式：
$y=x^2 +6x +11 = x^2 +6x +9 +2 = (x+3)^2 +2$
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(-3,2)$
3. 写出所求抛物线的表达式
∵ 所求抛物线顶点为$(-3,2)$，$a=\frac{1}{2}$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）
得表达式为$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数顶点式；表达式确定
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是理解二次项系数对抛物线开口方向、形状的决定作用，熟练掌握一般式与顶点式的转化方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先抓住两个核心条件：①抛物线的形状、开口方向由二次项系数a决定，两个抛物线形状、开口方向相同则a相等，由此可先确定所求抛物线的a值；②两个抛物线顶点相同，需要先求出已知抛物线$y=x^2+6x+11$的顶点坐标，再结合求出的a值，用顶点式写出所求抛物线的表达式，最后对应选项即可。
【解析】
1. 确定二次项系数a
∵ 所求抛物线与$y=\frac{1}{2}x^2 -x +3$形状、开口方向相同
∴ 所求抛物线的二次项系数$a=\frac{1}{2}$
2. 求抛物线$y=x^2 +6x +11$的顶点坐标
用配方法将一般式化为顶点式：
$y=x^2 +6x +11 = x^2 +6x +9 +2 = (x+3)^2 +2$
∴ 该抛物线的顶点坐标为$(-3,2)$
3. 写出所求抛物线的表达式
∵ 所求抛物线顶点为$(-3,2)$，$a=\frac{1}{2}$，代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标）
得表达式为$y=\frac{1}{2}(x+3)^2 +2$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像性质；二次函数顶点式；表达式确定
【点评】
本题属于二次函数基础题，解题关键是理解二次项系数对抛物线开口方向、形状的决定作用，熟练掌握一般式与顶点式的转化方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
11.已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + 9 $ 的图象经过点 $ A(-1,0), B(3,0) $。
(1)求二次函数的表达式；
(2)若将点 $ P(0,n) $ 向左平移 $ m $ 个单位长度或向右平移 $ 2m $ 个单位长度，都能与该二次函数图象上的点重合，求 $ m,n $ 的值。
(1)求二次函数的表达式；
(2)若将点 $ P(0,n) $ 向左平移 $ m $ 个单位长度或向右平移 $ 2m $ 个单位长度，都能与该二次函数图象上的点重合，求 $ m,n $ 的值。
答案
11.解:(1)把 $ A(-1,0),B(3,0) $ 代入 $ y=ax^2+bx+9 $,得$\begin{cases}a-b+9=0,\\9a+3b+9=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-3,\\b=6.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为 $ y=-3x^2+6x+9 $.
(2)设向左平移后得到点 $ P_1 $,向右平移后得到点 $ P_2 $. 由题意,得点 $ P_1(-m,n),P_2(2m,n) $ 均在该二次函数图象上.
∵函数图象的对称轴为直线 $ x=-\frac{6}{2×(-3)}=1 $,
∴$\frac{-m+2m}{2}=1$,解得 $ m=2 $.
∴$ P_1(-2,n) $. 把 $ P_1(-2,n) $ 代入 $ y=-3x^2+6x+9 $,得 $ n=-3×(-2)^2+6×(-2)+9=-15 $.
∴二次函数的表达式为 $ y=-3x^2+6x+9 $.
(2)设向左平移后得到点 $ P_1 $,向右平移后得到点 $ P_2 $. 由题意,得点 $ P_1(-m,n),P_2(2m,n) $ 均在该二次函数图象上.
∵函数图象的对称轴为直线 $ x=-\frac{6}{2×(-3)}=1 $,
∴$\frac{-m+2m}{2}=1$,解得 $ m=2 $.
∴$ P_1(-2,n) $. 把 $ P_1(-2,n) $ 代入 $ y=-3x^2+6x+9 $,得 $ n=-3×(-2)^2+6×(-2)+9=-15 $.
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知二次函数过A(-1,0)、B(3,0)两点，且解析式常数项已知，因此将两点坐标代入解析式即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，就能得到二次函数的表达式。
(2) 先根据点平移的坐标变化规律（左减右加，纵坐标不变）得到平移后两个点的坐标；由于两个点纵坐标相同，可知它们是抛物线上关于对称轴对称的点，因此先求出二次函数的对称轴，再根据“对称两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值”列方程求出m，最后将点坐标代入解析式即可求出n的值。
【解析】
(1) 把$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+9$，得：
$\begin{cases}a-b+9=0\\9a+3b+9=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3\\b=6\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-3x^2+6x+9$。
(2) 设点P向左平移m个单位得到$P_1$，向右平移2m个单位得到$P_2$，根据平移规律可得$P_1(-m,n)$、$P_2(2m,n)$，两点均在二次函数图象上。
二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-3)}=1$。
由于$P_1$、$P_2$纵坐标相同，两点关于对称轴对称，因此：
$\frac{-m+2m}{2}=1$
解得$m=2$，即$P_1(-2,n)$。
把$P_1(-2,n)$代入$y=-3x^2+6x+9$，得：
$n=-3×(-2)^2+6×(-2)+9=-15$。
【答案】
(1) $y=-3x^2+6x+9$
(2) $m=2$，$n=-15$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，点的平移规律
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问是待定系数法求解析式的常规考法，第二问结合平移与二次函数对称性设置考点，解题核心是抓住抛物线上纵坐标相等的点关于对称轴对称的性质，能有效提升学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，已知二次函数过A(-1,0)、B(3,0)两点，且解析式常数项已知，因此将两点坐标代入解析式即可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，就能得到二次函数的表达式。
(2) 先根据点平移的坐标变化规律（左减右加，纵坐标不变）得到平移后两个点的坐标；由于两个点纵坐标相同，可知它们是抛物线上关于对称轴对称的点，因此先求出二次函数的对称轴，再根据“对称两点横坐标的平均值等于对称轴对应的x值”列方程求出m，最后将点坐标代入解析式即可求出n的值。
【解析】
(1) 把$A(-1,0),B(3,0)$代入$y=ax^2+bx+9$，得：
$\begin{cases}a-b+9=0\\9a+3b+9=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-3\\b=6\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=-3x^2+6x+9$。
(2) 设点P向左平移m个单位得到$P_1$，向右平移2m个单位得到$P_2$，根据平移规律可得$P_1(-m,n)$、$P_2(2m,n)$，两点均在二次函数图象上。
二次函数的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-3)}=1$。
由于$P_1$、$P_2$纵坐标相同，两点关于对称轴对称，因此：
$\frac{-m+2m}{2}=1$
解得$m=2$，即$P_1(-2,n)$。
把$P_1(-2,n)$代入$y=-3x^2+6x+9$，得：
$n=-3×(-2)^2+6×(-2)+9=-15$。
【答案】
(1) $y=-3x^2+6x+9$
(2) $m=2$，$n=-15$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，点的平移规律
【点评】
本题是二次函数基础综合题，第一问是待定系数法求解析式的常规考法，第二问结合平移与二次函数对称性设置考点，解题核心是抓住抛物线上纵坐标相等的点关于对称轴对称的性质，能有效提升学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于点$A(-1,0),B(3,0)$，与$y$轴交于点$C$，$D$是直线$BC$上方抛物线上一动点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点$D$作$DE⊥ x$轴于点$E$，交直线$BC$于点$M$.求$DM$的最大值.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)过点$D$作$DE⊥ x$轴于点$E$，交直线$BC$于点$M$.求$DM$的最大值.
答案
12.解:(1)把 $ A(-1,0),B(3,0) $ 代入 $ y=-x^2+bx+c $,得$\begin{cases}-1-b+c=0,\\-9+3b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=2,\\c=3.\end{cases}$
∴抛物线的函数表达式为 $ y=-x^2+2x+3 $.
(2)在 $ y=-x^2+2x+3 $ 中,当 $ x=0 $ 时, $ y=3 $,
∴点 $ C $ 的坐标为 $ (0,3) $. 设直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y=kx+n $. 把 $ B(3,0),C(0,3) $ 代入,得$\begin{cases}3k+n=0,\\n=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\n=3.\end{cases}$
∴直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y=-x+3 $. 设 $ D(m,-m^2+2m+3) $,且 $ 0＜m＜3 $,则 $ M(m,-m+3) $.
∴$ DM=-m^2+2m+3-(-m+3)=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4} $.
∵$-1＜0,0＜m＜3 $,
∴当 $ m=\frac{3}{2} $ 时, $ DM $ 有最大值,最大值为 $ \frac{9}{4} $.
∴抛物线的函数表达式为 $ y=-x^2+2x+3 $.
(2)在 $ y=-x^2+2x+3 $ 中,当 $ x=0 $ 时, $ y=3 $,
∴点 $ C $ 的坐标为 $ (0,3) $. 设直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y=kx+n $. 把 $ B(3,0),C(0,3) $ 代入,得$\begin{cases}3k+n=0,\\n=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\n=3.\end{cases}$
∴直线 $ BC $ 的函数表达式为 $ y=-x+3 $. 设 $ D(m,-m^2+2m+3) $,且 $ 0＜m＜3 $,则 $ M(m,-m+3) $.
∴$ DM=-m^2+2m+3-(-m+3)=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4} $.
∵$-1＜0,0＜m＜3 $,
∴当 $ m=\frac{3}{2} $ 时, $ DM $ 有最大值,最大值为 $ \frac{9}{4} $.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$经过$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点，两点坐标满足抛物线解析式，因此可将两点坐标代入解析式，得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组即可求出$b$、$c$的值，进而得到抛物线的函数表达式。
(2) 要求$DM$的最大值，首先需要确定直线$BC$的解析式：先将$x=0$代入抛物线解析式求出点$C$的坐标，再用待定系数法求出直线$BC$的解析式；由于$DE⊥ x$轴，点$D$和点$M$横坐标相同，设点$D$的横坐标为$m$（$0＜m＜3$，因为$D$在直线$BC$上方的抛物线上），分别用抛物线和直线$BC$的解析式表示出$D$、$M$的纵坐标，$DM$的长度等于$D$的纵坐标减去$M$的纵坐标（$D$在$M$上方），整理后得到关于$m$的二次函数，结合二次函数的开口方向和$m$的取值范围，即可求出$DM$的最大值。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1-b+c=0\\-9+3b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 在$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，因此点$C$的坐标为$(0,3)$。
设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入，得：
$\begin{cases}3k+n=0\\n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\n=3\end{cases}$
因此直线$BC$的函数表达式为$y=-x+3$。
设点$D$的坐标为$(m,-m^2+2m+3)$（$0＜m＜3$），由于$DE⊥ x$轴，点$M$横坐标与$D$相同，因此$M$的坐标为$(m,-m+3)$。
则$DM$的长度为：
$\begin{aligned}DM&=(-m^2+2m+3)-(-m+3)\\&=-m^2+3m\\&=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-1＜0$，且$0＜m＜3$，
$\therefore$当$m=\frac{3}{2}$时，$DM$取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；(2) $\dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式 2. 二次函数的最值 3. 一次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问是待定系数法求二次函数表达式的基础应用，属于必须掌握的基础考点；第二问将线段最值问题转化为二次函数最值问题，是二次函数应用的典型考法，解题关键是掌握“同横坐标的两点，线段长度为纵坐标相减”的坐标法技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线$y=-x^2+bx+c$经过$A(-1,0)$、$B(3,0)$两点，两点坐标满足抛物线解析式，因此可将两点坐标代入解析式，得到关于$b$、$c$的二元一次方程组，解方程组即可求出$b$、$c$的值，进而得到抛物线的函数表达式。
(2) 要求$DM$的最大值，首先需要确定直线$BC$的解析式：先将$x=0$代入抛物线解析式求出点$C$的坐标，再用待定系数法求出直线$BC$的解析式；由于$DE⊥ x$轴，点$D$和点$M$横坐标相同，设点$D$的横坐标为$m$（$0＜m＜3$，因为$D$在直线$BC$上方的抛物线上），分别用抛物线和直线$BC$的解析式表示出$D$、$M$的纵坐标，$DM$的长度等于$D$的纵坐标减去$M$的纵坐标（$D$在$M$上方），整理后得到关于$m$的二次函数，结合二次函数的开口方向和$m$的取值范围，即可求出$DM$的最大值。
【解析】
(1) 将$A(-1,0)$、$B(3,0)$代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-1-b+c=0\\-9+3b+c=0\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=2\\c=3\end{cases}$
因此抛物线的函数表达式为$y=-x^2+2x+3$。
(2) 在$y=-x^2+2x+3$中，令$x=0$，得$y=3$，因此点$C$的坐标为$(0,3)$。
设直线$BC$的函数表达式为$y=kx+n$，将$B(3,0)$、$C(0,3)$代入，得：
$\begin{cases}3k+n=0\\n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\n=3\end{cases}$
因此直线$BC$的函数表达式为$y=-x+3$。
设点$D$的坐标为$(m,-m^2+2m+3)$（$0＜m＜3$），由于$DE⊥ x$轴，点$M$横坐标与$D$相同，因此$M$的坐标为$(m,-m+3)$。
则$DM$的长度为：
$\begin{aligned}DM&=(-m^2+2m+3)-(-m+3)\\&=-m^2+3m\\&=-(m-\frac{3}{2})^2+\frac{9}{4}\end{aligned}$
$\because$二次项系数$-1＜0$，且$0＜m＜3$，
$\therefore$当$m=\frac{3}{2}$时，$DM$取得最大值，最大值为$\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $y=-x^2+2x+3$；(2) $\dfrac{9}{4}$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式 2. 二次函数的最值 3. 一次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，第一问是待定系数法求二次函数表达式的基础应用，属于必须掌握的基础考点；第二问将线段最值问题转化为二次函数最值问题，是二次函数应用的典型考法，解题关键是掌握“同横坐标的两点，线段长度为纵坐标相减”的坐标法技巧。
【难度系数】
0.7
