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9.将抛物线$y=-x^2 -2x +3$先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过点 （
A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
B
）A.$(-2,2)$
B.$(-1,1)$
C.$(0,6)$
D.$(1,-3)$
答案
9.B
解析
【分析】
要解决这道题，需先得到平移后的抛物线解析式，再代入各选项的点验证是否在抛物线上。解题思路如下：1. 先将原抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，方便应用平移规律；2. 根据“左加右减（针对x），上加下减（针对解析式整体）”的平移规则，求出平移后的抛物线解析式；3. 依次将各选项的横坐标代入平移后的解析式，计算对应的纵坐标，与选项给出的纵坐标对比，一致的即为正确答案。
【解析】
步骤1：将原抛物线配方为顶点式
原解析式为$y=-x^2-2x+3$，配方得：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+1+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
步骤2：根据平移规则求新解析式
将抛物线向右平移1个单位长度（将x替换为$x-1$），再向下平移2个单位长度（解析式整体减2），可得：
$\begin{aligned}y&=-[(x-1)+1]^2+4-2\\&=-x^2+2\end{aligned}$
步骤3：代入各选项验证
选项A：当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2=-2≠2$，抛物线不经过该点；
选项B：当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2=1$，与选项纵坐标一致，抛物线经过该点；
选项C：当$x=0$时，$y=0+2=2≠6$，抛物线不经过该点；
选项D：当$x=1$时，$y=-1^2+2=1≠-3$，抛物线不经过该点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数配方；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，核心是熟练掌握平移规则，也可通过平移顶点坐标直接写出新抛物线的顶点式，再代入点验证即可，属于基础题型，掌握平移规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先得到平移后的抛物线解析式，再代入各选项的点验证是否在抛物线上。解题思路如下：1. 先将原抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，方便应用平移规律；2. 根据“左加右减（针对x），上加下减（针对解析式整体）”的平移规则，求出平移后的抛物线解析式；3. 依次将各选项的横坐标代入平移后的解析式，计算对应的纵坐标，与选项给出的纵坐标对比，一致的即为正确答案。
【解析】
步骤1：将原抛物线配方为顶点式
原解析式为$y=-x^2-2x+3$，配方得：
$\begin{aligned}y&=-(x^2+2x)+3\\&=-(x^2+2x+1-1)+3\\&=-(x+1)^2+1+3\\&=-(x+1)^2+4\end{aligned}$
步骤2：根据平移规则求新解析式
将抛物线向右平移1个单位长度（将x替换为$x-1$），再向下平移2个单位长度（解析式整体减2），可得：
$\begin{aligned}y&=-[(x-1)+1]^2+4-2\\&=-x^2+2\end{aligned}$
步骤3：代入各选项验证
选项A：当$x=-2$时，$y=-(-2)^2+2=-2≠2$，抛物线不经过该点；
选项B：当$x=-1$时，$y=-(-1)^2+2=1$，与选项纵坐标一致，抛物线经过该点；
选项C：当$x=0$时，$y=0+2=2≠6$，抛物线不经过该点；
选项D：当$x=1$时，$y=-1^2+2=1≠-3$，抛物线不经过该点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数平移规律；二次函数配方；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，核心是熟练掌握平移规则，也可通过平移顶点坐标直接写出新抛物线的顶点式，再代入点验证即可，属于基础题型，掌握平移规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
10.(福建中考)已知点$A(-2,y_1)$,$B(1,y_2)$在抛物线$y=3x^2+bx+1$上,若$3＜b＜4$,则下列判断正确的是（
A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
A
）A.$1＜y_1＜y_2$
B.$y_1＜1＜y_2$
C.$1＜y_2＜y_1$
D.$y_2＜1＜y_1$
答案
10.A
解析
【分析】
要判断y₁、y₂与1的大小关系，首先可将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，用含b的代数式表示出y₁和y₂，再结合b的取值范围3＜b＜4，利用不等式的性质分别求出y₁、y₂的取值范围，最后比较三者大小即可得到结论。
【解析】
将点A(-2,y₁)代入抛物线$y=3x^2+bx+1$得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1 = 12 - 2b + 1 = 13 - 2b$
将点B(1,y₂)代入抛物线$y=3x^2+bx+1$得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b$
已知$3＜b＜4$：
① 求$y_1$的范围：对$3＜b＜4$两边同乘$-2$，不等号方向改变，得$-8 ＜ -2b ＜ -6$，两边同时加13，得$5 ＜ 13 - 2b ＜ 7$，即$5＜y_1＜7$，可知$y_1＞1$；
② 求$y_2$的范围：对$3＜b＜4$两边同时加4，得$7 ＜ 4 + b ＜ 8$，即$7＜y_2＜8$，可知$y_2＞y_1$；
综上可得$1＜y_1＜y_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【点评】
本题解题方法灵活，既可以直接代入坐标求函数值表达式，结合参数范围用不等式性质判断大小，也可以利用二次函数的开口方向、对称轴与点的位置关系结合增减性求解，是二次函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要判断y₁、y₂与1的大小关系，首先可将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，用含b的代数式表示出y₁和y₂，再结合b的取值范围3＜b＜4，利用不等式的性质分别求出y₁、y₂的取值范围，最后比较三者大小即可得到结论。
【解析】
将点A(-2,y₁)代入抛物线$y=3x^2+bx+1$得：
$y_1=3×(-2)^2 + b×(-2) + 1 = 12 - 2b + 1 = 13 - 2b$
将点B(1,y₂)代入抛物线$y=3x^2+bx+1$得：
$y_2=3×1^2 + b×1 + 1 = 3 + b + 1 = 4 + b$
已知$3＜b＜4$：
① 求$y_1$的范围：对$3＜b＜4$两边同乘$-2$，不等号方向改变，得$-8 ＜ -2b ＜ -6$，两边同时加13，得$5 ＜ 13 - 2b ＜ 7$，即$5＜y_1＜7$，可知$y_1＞1$；
② 求$y_2$的范围：对$3＜b＜4$两边同时加4，得$7 ＜ 4 + b ＜ 8$，即$7＜y_2＜8$，可知$y_2＞y_1$；
综上可得$1＜y_1＜y_2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【点评】
本题解题方法灵活，既可以直接代入坐标求函数值表达式，结合参数范围用不等式性质判断大小，也可以利用二次函数的开口方向、对称轴与点的位置关系结合增减性求解，是二次函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
11.(教材P24练习T1变式)一次函数$y=ax+b$和二次函数$y=ax^2+bx+c$在同一平面直角坐标系中的图象可能为（
A
）答案
11.A
解析
【分析】
解决这类同一坐标系中两个函数图象的问题，核心是利用两个函数中相同参数的符号一致性逐步排除错误选项：①先判断参数a的符号：二次函数的开口方向由a决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下；一次函数的斜率为a，a＞0直线呈上升趋势，a＜0直线呈下降趋势，先排除a符号矛盾的选项。②再判断参数b的符号：二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，结合已确定的a的符号可推出b的符号，再和一次函数与y轴交点体现的b的符号对比，符号一致的即为正确选项。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 分析选项A：二次函数开口向下，可得$a＜0$；一次函数呈下降趋势，斜率为负，也符合$a＜0$，a符号一致。接下来看b：二次函数对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，代入$a＜0$，可推出$b＜0$；一次函数与y轴交于负半轴，也满足$b＜0$，b符号一致，符合要求。
2. 分析选项B：二次函数开口向上，可得$a＞0$；一次函数呈下降趋势，斜率为负即$a＜0$，a符号矛盾，排除。
3. 分析选项C：二次函数开口向上，可得$a＞0$；一次函数呈上升趋势，斜率为正也符合$a＞0$，a符号一致。再看b：二次函数对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，代入$a＞0$可推出$b＜0$；但一次函数与y轴交于正半轴，即$b＞0$，b符号矛盾，排除。
4. 分析选项D：二次函数开口向上，可得$a＞0$；一次函数呈下降趋势，斜率为负即$a＜0$，a符号矛盾，排除。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数参数与图象的关系
【点评】
本题是函数图象类的典型考题，解题时不需要分析参数c，只需抓住a、b两个参数在两个函数中符号的一致性，逐步排除错误选项即可快速求解，能有效考查学生对两类函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决这类同一坐标系中两个函数图象的问题，核心是利用两个函数中相同参数的符号一致性逐步排除错误选项：①先判断参数a的符号：二次函数的开口方向由a决定，a＞0开口向上，a＜0开口向下；一次函数的斜率为a，a＞0直线呈上升趋势，a＜0直线呈下降趋势，先排除a符号矛盾的选项。②再判断参数b的符号：二次函数的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，结合已确定的a的符号可推出b的符号，再和一次函数与y轴交点体现的b的符号对比，符号一致的即为正确选项。
【解析】
我们逐一分析选项：
1. 分析选项A：二次函数开口向下，可得$a＜0$；一次函数呈下降趋势，斜率为负，也符合$a＜0$，a符号一致。接下来看b：二次函数对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，代入$a＜0$，可推出$b＜0$；一次函数与y轴交于负半轴，也满足$b＜0$，b符号一致，符合要求。
2. 分析选项B：二次函数开口向上，可得$a＞0$；一次函数呈下降趋势，斜率为负即$a＜0$，a符号矛盾，排除。
3. 分析选项C：二次函数开口向上，可得$a＞0$；一次函数呈上升趋势，斜率为正也符合$a＞0$，a符号一致。再看b：二次函数对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，代入$a＞0$可推出$b＜0$；但一次函数与y轴交于正半轴，即$b＞0$，b符号矛盾，排除。
4. 分析选项D：二次函数开口向上，可得$a＞0$；一次函数呈下降趋势，斜率为负即$a＜0$，a符号矛盾，排除。
综上只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一次函数图象性质；二次函数图象性质；函数参数与图象的关系
【点评】
本题是函数图象类的典型考题，解题时不需要分析参数c，只需抓住a、b两个参数在两个函数中符号的一致性，逐步排除错误选项即可快速求解，能有效考查学生对两类函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
12. 半开放性题新趋势（广东中考）已知二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是
$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
.(写出一个即可)答案
12.$y=-x^2+x+2$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，根据“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，将已知点$(c,0)$代入二次函数解析式，得到关于参数$b$、$c$的方程；其次，结合“函数不经过原点”的条件，可推出常数项$c≠0$，对上述方程化简就能得到$b$和$c$的数量关系；最后，任意选取一个不为0的$c$值，求出对应的$b$值，即可写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，
∴把$x=c$，$y=0$代入解析式，得：
$0=-c^2+bc+c$，
又
∵二次函数不经过原点，
∴当$x=0$时，$y=c≠0$，
将等式$0=-c^2+bc+c$两边同时除以$c$，整理得：$b=c-1$，
取$c=2$（$c$为不等于0的任意实数均可），则$b=2-1=1$，
代入解析式可得$y=-x^2+x+2$。
【答案】
$y=-x^2+x+2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是半开放类基础题，主要考查对二次函数基本性质的灵活运用，解题核心是抓住“图象上的点满足函数解析式”这一规律，注意排除函数过原点的情况即可快速求解，试题灵活性较强。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，根据“函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式”的性质，将已知点$(c,0)$代入二次函数解析式，得到关于参数$b$、$c$的方程；其次，结合“函数不经过原点”的条件，可推出常数项$c≠0$，对上述方程化简就能得到$b$和$c$的数量关系；最后，任意选取一个不为0的$c$值，求出对应的$b$值，即可写出符合要求的二次函数表达式。
【解析】
解：
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$的图象经过点$(c,0)$，
∴把$x=c$，$y=0$代入解析式，得：
$0=-c^2+bc+c$，
又
∵二次函数不经过原点，
∴当$x=0$时，$y=c≠0$，
将等式$0=-c^2+bc+c$两边同时除以$c$，整理得：$b=c-1$，
取$c=2$（$c$为不等于0的任意实数均可），则$b=2-1=1$，
代入解析式可得$y=-x^2+x+2$。
【答案】
$y=-x^2+x+2$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是半开放类基础题，主要考查对二次函数基本性质的灵活运用，解题核心是抓住“图象上的点满足函数解析式”这一规律，注意排除函数过原点的情况即可快速求解，试题灵活性较强。
【难度系数】
0.7
13.如图,已知抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 经过点 $A(-1,0),B(5,0)$,顶点为 $P$.
(1)求该抛物线的对称轴及 $b,c$ 的值;
(2)求$△ ABP$的面积.
思维拓展 强化素养
(1)求该抛物线的对称轴及 $b,c$ 的值;
(2)求$△ ABP$的面积.
思维拓展 强化素养
答案
13.解:(1)$\because$抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1,0),B(5,0)$,$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$.$\therefore -\frac{b}{-2}=2$,解得$b=4$.$\therefore y=-x^2+4x+c$.把$A(-1,0)$代入,得$0=-1-4+c$,解得$c=5$.
(2)由(1),得抛物线的函数表达式为$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$.$\therefore$点$P$的坐标为$(2,9)$.$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×[5-(-1)]×9=27$.
(2)由(1),得抛物线的函数表达式为$y=-x^2+4x+5=-(x-2)^2+9$.$\therefore$点$P$的坐标为$(2,9)$.$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}AB· y_P=\frac{1}{2}×[5-(-1)]×9=27$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点，根据二次函数的对称性，A、B两点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值就是对称轴的值；再结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（其中$a=-1$）即可求出b；最后将A或B点坐标代入解析式就能求出c的值。
(2) 求$△ ABP$的面积时，AB边在x轴上，先计算AB的长度；再将(1)得到的解析式配方为顶点式，得到顶点P的纵坐标，该纵坐标就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$，$B(5,0)$，
$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，$a=-1$，代入得$-\frac{b}{2×(-1)}=2$，解得$b=4$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=-x^2+4x+c$，
将$A(-1,0)$代入得：$0=-(-1)^2+4×(-1)+c$，
解得$c=5$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-x^2+4x+5$，
配方得$y=-(x-2)^2+9$，
$\therefore$顶点$P$的坐标为$(2,9)$，
$\because AB=5-(-1)=6$，AB边上的高为P点的纵坐标9，
$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB × y_P=\frac{1}{2}×6×9=27$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=2$，$b=4$，$c=5$；
(2) $△ ABP$的面积为27。
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数章节的典型基础题，围绕二次函数的基本性质设计，解题逻辑清晰，熟练掌握二次函数的对称性、待定系数法、顶点式相关知识即可快速求解。
【难度系数】
0.8
(1) 已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(5,0)两点，根据二次函数的对称性，A、B两点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值就是对称轴的值；再结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$（其中$a=-1$）即可求出b；最后将A或B点坐标代入解析式就能求出c的值。
(2) 求$△ ABP$的面积时，AB边在x轴上，先计算AB的长度；再将(1)得到的解析式配方为顶点式，得到顶点P的纵坐标，该纵坐标就是AB边上的高，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$抛物线$y=-x^2+bx+c$经过点$A(-1,0)$，$B(5,0)$，
$\therefore$对称轴为直线$x=\frac{-1+5}{2}=2$，
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，$a=-1$，代入得$-\frac{b}{2×(-1)}=2$，解得$b=4$，
$\therefore$抛物线解析式为$y=-x^2+4x+c$，
将$A(-1,0)$代入得：$0=-(-1)^2+4×(-1)+c$，
解得$c=5$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-x^2+4x+5$，
配方得$y=-(x-2)^2+9$，
$\therefore$顶点$P$的坐标为$(2,9)$，
$\because AB=5-(-1)=6$，AB边上的高为P点的纵坐标9，
$\therefore S_{△ ABP}=\frac{1}{2}× AB × y_P=\frac{1}{2}×6×9=27$。
【答案】
(1) 对称轴为直线$x=2$，$b=4$，$c=5$；
(2) $△ ABP$的面积为27。
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 待定系数法求解析式
3. 二次函数顶点坐标
【点评】
本题是二次函数章节的典型基础题，围绕二次函数的基本性质设计，解题逻辑清晰，熟练掌握二次函数的对称性、待定系数法、顶点式相关知识即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14. 代数推理 新趋势（界首期末）已知二次函数的表达式为$y=x^2 -4x +c$。
（1）若点$(t,c)$在该二次函数的图象上，求t的值；
（2）当$-2≤ x≤4$时，函数有最大值m和最小值n，求证：$mn+64≥0$。
（1）若点$(t,c)$在该二次函数的图象上，求t的值；
（2）当$-2≤ x≤4$时，函数有最大值m和最小值n，求证：$mn+64≥0$。
答案
14.(1)解:$\because$点$(t,c)$在该二次函数的图象上,$\therefore c=t^2-4t+c$,$\therefore t^2-4t=0$,解得$t_1=0,t_2=4$. 即$t$的值为0或4.
(2)证明:$\because y=x^2-4x+c=(x-2)^2+c-4$,$\therefore$抛物线开口向上,顶点坐标为$(2,c-4)$,对称轴为直线$x=2$.$\because a=1＞0$,$\therefore$离对称轴越远,函数值越大.$\because -2≤ x≤4$,$\therefore$当$x=-2$时,函数有最大值,最大值为$(-2)^2-4×(-2)+c=12+c$,当$x=2$时,函数有最小值,最小值为$c-4$.$\therefore n=c-4$,$m=12+c$.$\therefore mn+64=(12+c)(c-4)+64=c^2+8c+16=(c+4)^2≥0$.$\therefore mn+64≥0$.
(2)证明:$\because y=x^2-4x+c=(x-2)^2+c-4$,$\therefore$抛物线开口向上,顶点坐标为$(2,c-4)$,对称轴为直线$x=2$.$\because a=1＞0$,$\therefore$离对称轴越远,函数值越大.$\because -2≤ x≤4$,$\therefore$当$x=-2$时,函数有最大值,最大值为$(-2)^2-4×(-2)+c=12+c$,当$x=2$时,函数有最小值,最小值为$c-4$.$\therefore n=c-4$,$m=12+c$.$\therefore mn+64=(12+c)(c-4)+64=c^2+8c+16=(c+4)^2≥0$.$\therefore mn+64≥0$.
解析
【分析】
（1）根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，将点$(t,c)$代入二次函数表达式，消去公共项后解一元二次方程即可求出t的值。
（2）要证明$mn+64≥0$，首先需求出定区间$-2≤x≤4$内二次函数的最大值m和最小值n：先将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合开口向上时离对称轴越远函数值越大的性质，找到区间内最值对应的x值，求出m、n后代入$mn+64$化简，利用完全平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because$点$(t,c)$在二次函数$y=x^2-4x+c$的图象上，
$\therefore$将$x=t$，$y=c$代入解析式得：$c=t^2-4t+c$，
移项化简得：$t^2-4t=0$，
因式分解得：$t(t-4)=0$，
解得$t_1=0$，$t_2=4$。
(2) 证明：将二次函数解析式配方得：
$y=x^2-4x+c=(x-2)^2+c-4$，
$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,c-4)$，对称轴为直线$x=2$。
开口向上的二次函数中，点离对称轴越远，对应函数值越大，
已知$-2≤x≤4$，$x=-2$到对称轴的距离为$|-2-2|=4$，$x=4$到对称轴的距离为$|4-2|=2$，
$\therefore$当$x=-2$时，函数取得最大值$m$：$m=(-2)^2-4×(-2)+c=12+c$，
当$x=2$时，函数取得最小值$n$：$n=c-4$，
代入$mn+64$得：
$mn+64=(12+c)(c-4)+64$
$=c^2+8c-48+64$
$=c^2+8c+16$
$=(c+4)^2$，
$\because$任意实数的平方为非负数，即$(c+4)^2≥0$，
$\therefore mn+64≥0$，得证。
【答案】
(1) $t$的值为$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{4}$；
(2) $mn+64≥0$成立。
【知识点】
1. 二次函数点坐标特征
2. 二次函数区间最值
3. 完全平方的非负性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，第一问难度较低，直接对应点与函数图象的关系考点；第二问结合定区间最值求解和代数变形，既需要学生熟练掌握二次函数图象的增减性，也要求具备基本的代数式化简能力，是二次函数章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.7
（1）根据函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式的性质，将点$(t,c)$代入二次函数表达式，消去公共项后解一元二次方程即可求出t的值。
（2）要证明$mn+64≥0$，首先需求出定区间$-2≤x≤4$内二次函数的最大值m和最小值n：先将二次函数配方为顶点式，确定开口方向与对称轴，结合开口向上时离对称轴越远函数值越大的性质，找到区间内最值对应的x值，求出m、n后代入$mn+64$化简，利用完全平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 解：$\because$点$(t,c)$在二次函数$y=x^2-4x+c$的图象上，
$\therefore$将$x=t$，$y=c$代入解析式得：$c=t^2-4t+c$，
移项化简得：$t^2-4t=0$，
因式分解得：$t(t-4)=0$，
解得$t_1=0$，$t_2=4$。
(2) 证明：将二次函数解析式配方得：
$y=x^2-4x+c=(x-2)^2+c-4$，
$\because a=1＞0$，$\therefore$抛物线开口向上，顶点坐标为$(2,c-4)$，对称轴为直线$x=2$。
开口向上的二次函数中，点离对称轴越远，对应函数值越大，
已知$-2≤x≤4$，$x=-2$到对称轴的距离为$|-2-2|=4$，$x=4$到对称轴的距离为$|4-2|=2$，
$\therefore$当$x=-2$时，函数取得最大值$m$：$m=(-2)^2-4×(-2)+c=12+c$，
当$x=2$时，函数取得最小值$n$：$n=c-4$，
代入$mn+64$得：
$mn+64=(12+c)(c-4)+64$
$=c^2+8c-48+64$
$=c^2+8c+16$
$=(c+4)^2$，
$\because$任意实数的平方为非负数，即$(c+4)^2≥0$，
$\therefore mn+64≥0$，得证。
【答案】
(1) $t$的值为$\boldsymbol{0}$或$\boldsymbol{4}$；
(2) $mn+64≥0$成立。
【知识点】
1. 二次函数点坐标特征
2. 二次函数区间最值
3. 完全平方的非负性
【点评】
本题考查二次函数的基础性质，第一问难度较低，直接对应点与函数图象的关系考点；第二问结合定区间最值求解和代数变形，既需要学生熟练掌握二次函数图象的增减性，也要求具备基本的代数式化简能力，是二次函数章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.7
